反函数教案
反函数-教案
教学目标
1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.
2.通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.
3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.
教学重点,难点
重点是反函数概念的形成与认识.
难点是掌握求反函数的方法.
教学用具
投影仪
教学方法
自主学习与启发结合法
教学过程
一. 揭示课题
提出问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函
数呢? (让学生思考后回答,要讲明理由)好的，今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.
二.讲解新课
1.定义
对上面的问题回答:可以根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则
都有唯一的与之相对应.(画出函数的图象,解释“任一对唯一”)
不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反函数,而且把这个函数称为
的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?(是)
? :它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的
表
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示习惯,按习惯用表示自 变量,用表示因变量,故它又可以改写成,改动之后带来一个新问题:
和是同一函数吗?
由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出: 有反
函数吗,是哪个函数?
然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.(若将当自 变量,当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个时不能构成函数,说明此函数
没有反函数.)
所以我们可以得出反函数的定义:(
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) 一般地，设函数y=f(x)(x?A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y?C)叫做函数y=f(x)(x?A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 2.对概念得理解
(1)“三定”
反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍以与为例来说)
学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把与的位置换位了,教师再追问它们的互
换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论:的定义域
和值域分别由的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数
的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.
(2)“三反”
然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中与的位置互换.(放PPT如图)
“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是 与 的位置的反置,正是由
于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.
如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己
对概念的理解来求一下它们的反函数.
的反函数. 例1. 求
解:由得, 所求反函数为.
例2. 求,的反函数.
解:由得,又得,
故所求反函数为.
老师指出例2中问题,结果应为,.
,与,有什么不同?让学生明确指出两个函数定
义域分别是和,所以它们是不同的函数.再追问从何而来呢?让学生能从三定 和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.
由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以
求反函数,就必须先求出原来函数的值域.重新解答:
解: 由得,又得,
又的值域是,
故所求反函数为,.
3.求反函数的步骤
(1) 反解: (2) 互换; (3) 改写:
对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了. 三.巩固练习
练习:求下列函数的反函数.
(1) (2).
四(总结
(1)反函数的定义 (2)反函数的“三定”和“三反” (3)求反函数的步骤和要点 (4)课后作业:
浙公网安备 33021202002483