空间曲线的方程空间曲线的方程
?4 空间曲线的方程
一
Fxyz(,,),0,1 1 设L为空间曲线,为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,,Fxyz(,,),02,
若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都
Fxyz(,,),0,1在曲线L上,则称为曲线L的,又称,记作 ,Fxyz(,,),02,
Fxyz(,,),0,1 L: ,Fxyz(,,),02,
(图2.8)
: 1?在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组;
2?用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线...
空间曲线的方程
?4 空间曲线的方程
一
Fxyz(,,),0,1 1 设L为空间曲线,为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,,Fxyz(,,),02,
若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都
Fxyz(,,),0,1在曲线L上,则称为曲线L的,又称,记作 ,Fxyz(,,),02,
Fxyz(,,),0,1 L: ,Fxyz(,,),02,
(图2.8)
: 1?在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组;
2?用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线(如图2.8);
3?空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如
x,0x,y,0,,与 均表示z轴 ,,y,0x,y,0,,
2 用曲线的射影柱面的方程来表达曲线
以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面
的方程为 F (x,y)=0, F(y,z)=0, (z,x)=0,则 F213
Fzx(,),0FyzFxy(,),0(,),0,,,321 ,, ,,,FyzFzx(,),0(,),0Fxy(,),032,,1,
便是L的用射影柱面表达的方程
F(x,y,z),01 若已知曲线L:,只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面 F(x,y,z),02
的方程GG(y,z)=0, (z,x)=0, (x,y)=0 G123
22,2x,z,4y,4z, ,试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达 ,22,x,3z,8y,12z,
:设有曲线L:曲线.
从L的方程中分别消去x,y,z得到
z?-4y=4z,x?+z?=4z,x?+4z=0
它们即为L的射影柱面,而
2222,,,z,4y,4z,,4x,4y,0xzz,,, (1), (2), (3) ,,,2222,,,x,z,4z,4,0z,4y,4zxy,,,
便均是L的用射影柱面表达的方程
利用方程(2)即可作出L的草图
二 :
1.:设L为一空间曲线,r=r(t),t?A为一元矢函数,在空间坐标系下,若对,P?L,
,t?A,使 =r(t),而且对t?A,必有P?L,使r(t)= ,则称r=r(t), OPOP,
t?A为曲线L的,记作L=r=r(t),t?A,t ——参数
若点r(t)={x(t),y(t),z(t)}
x,x(t),, 则称 t?A y,y(t),
,z,z(t),
为L的
:空间曲线的参数方程中,仅有一个参数,而曲面的参数方程中,有两个参数,所以
习惯上,称曲线是单参数的,而曲面是双参数的。
2.:
:一质点,在半径=a的圆柱面上,一方面绕圆柱面的轴作匀速转动,一方面沿圆柱
面的母线方向作匀速直线运动,求质点的运动轨迹。
:以圆柱面的轴作为z轴,建立直角坐标系{O;i,j,k},如图,不妨设质点的起始
点在x轴上,质点的角速率与线速率分别为ω。,ν。,质点的轨迹为L,则对,M
MM?L,在x。y面上的投影为′,
(图2.9) ,, = + =acos i+asin j+k OMOMMM,t,tvtr=v 若令,t,,,=b,则 ,
r=0,,,,,,,,acos i+asin j+b k
————L的矢量式参数方程
,,xacos,, 而,0,,,,, ,yasin,
,,zb,,
————L的坐标式参数方程,L称为圆柱螺线。
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