三角形的等积变形

三角形的等积变形三角形的等积变形博师堂国际教育 www.bosteud.com 标准中级奥数教程三角形的等积变形【知识点与基本方法】 1.全等形:如果两个平面图形叠合在一起，能够处处重合，则称这两个图形为全等形。 2.等积形:面积相等的两个图形称为等积形。 3(把一个封闭的图形分成若干部分，则这个图形的面积等于分成的所有各个部分面积的总和。 4.三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。前三条是等积变形理论的基础，同时也为我们计算某些图形的面积提供了方法。 5.三角形面积计算公式: S,底，高,2, 6...

三角形的等积变形博师堂国际教育 www.bosteud.com 标准中级奥数教程三角形的等积变形【知识点与基本方法】 1.全等形:如果两个平面图形叠合在一起，能够处处重合，则称这两个图形为全等形。 2.等积形:面积相等的两个图形称为等积形。 3(把一个封闭的图形分成若干部分，则这个图形的面积等于分成的所有各个部分面积的总和。 4.三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。前三条是等积变形理论的基础，同时也为我们计算某些图形的面积提供了方法。 5.三角形面积计算公式: S,底，高,2, 6.三角形的等积变形中常用的几个重要结论: (1)平行线间的距离处处相等. (2)等底等高的两个三角形面积相等. (3)底在同一条直线上并且相等，他们所对的角的顶点是同一个，这样的两个三角形的面积相等. (4)若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形的面积的几倍. (5)若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一条直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条边上，则这几个三角形的面积相等. 【例题精讲】例1:用三种不同的方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形. 方法一:如图1-a，将BC四等分，连AD、AE、AF，则?ABD、?ADE、?AEF和?AFC等积. 方法二:如图1-b先将BC两等分，连AD，得到两个等积的三角形?ADC和?ABD，再取AD的中点E，连BE，CE，可将这两个等积的三角形分成两个等积的三角形. 11BCAD,方法三:先将BC四等分,即BD=，连AD，再将AD三等分，即AE=EF=FD=所得的四个三角形?ABD、43AB?CFD、?CEF和?CEA等积.(如图1-c) AAAFM EHE F EDCCBBCEFDCDBD1-C1-a图41-b 例2:(如图,)已知正方形ABCD和正方形DEFG，且正方形ABCD的边长为8分米。请问图中阴影部分的面积是多少平方分米, 解:连接,,( 11S,，AD，FGS,，DC，FE，，由于,,,,,，,,,,,， ,AFD,FDC22 S,S所以， ,AFD,FDC 而?,,,是它们的公共部分，因此，?,,,是它们的公共部分，因此，?,,,与?,,,的面积相等( 11S,S，S,S,S,，64,32(平方分米).可得 ,AFC,AHC,HCD,ADC正方形ABCD22 例,(如图,，正方形,,,,的变长为,厘米，长方形,,,,的长为,,为,,厘米(求长方形的宽( 分析:长方形的长知，为求长方形的宽，须知长方形的面积(问题转化为如何从已知正方形的面积(,×,,,,(平方厘米))来寻长方形的面积(为此，连接,,( 在正方形,,,,中，?,,,的底和高分别为正方形边,,与,,(所以，它的面积是正方形,,,,面积的一半(同样，在长方形,,,,中，三角形,,,的底为长方形的长,,，高为长方形的宽,,，所以它的面积也是第1页共4页博师堂国际教育 www.bosteud.com 长方形,,,,面积的一半(由此说明长方形,,,,的面积与正方形的面积相等(即长方形,,,,的面积也为,,平方厘米( E解:连,,，由分析可知， DA长方形,,,,的面积,长方形,,,,的面积 AB ,,×,,,,(平方厘米)，所以，长方形,,,,的宽为 108F ,,?,,,,.,(厘米)( BCC图6 DG 图5 例,.如图,，已知正方形,,,,的边长是,，,、,、,分别是AD、CE、BP的中点，求?DBF的面积解:如图连接PD和BE. 12因为 S,4,16，所以S,，16,8; ,DBC正方形ABCD2 1因为 E是AD的中点，所以 S,S,4. ,DEC正方形ABCD4 11又因为 P是CE的中点，所以 S,S,2;S,S,4; ,DPC,DEC,PBC,EBC22 从而所以 ?DBF的面积为1. S,1.,DBF 例5.如图7，已知梯形ABCD的面积为5，DA与EB平行，ED与CA平行，求四边形EDAC的面积. 解:如图7，连接EA，DB， S,S,由 ED//CA,得 E,EDCEDA 由DA//EB,得 S,S,,EDA,DAB DS,S,S,S.由DC//AB，得综上述: ,DAB,CAB,EDCCABC S,S，S,S，S,S,5所以 ,EDC,CDACABCDAEDAC四边形梯形ABCD AB图7 【课后练习】 1(在?ABC中，E、D、G分别是AB、BC、AD的中点，图中与?AGC等积的三角形一共有多少个,. 2图10，在?ABC中，BD=DE=EC，BF=FA，?EDF的面积是1，那么?ABC的面积是多少, 3.如图11中由等边三角形ABO，AOD，DOC围成的等腰梯形，它的面积是1，又知M是AB的中点，那么?COM面积等于 ( ) 4.如图12，在?ABC中，EF//BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是( ) 5.如图13，?ABC的面积是52平方厘米，AC=13，?FDC是等腰三角形，又?ADC与?ABD等积，则?ADF面积是___________ 。 6.画图:把任意一个三角形(如图14)分成三个小三角形，使它们的面积比为2:3:5. 7.如图15，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点.DF=2BF.三角形DEF(图中阴影部分)的面积是8平方厘米.求:平行四边形的面积 9.如图16，四边形EFGH的面积是66平方米.EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA.求四边形ABCD的面积. 10. 一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5平方米，(如图)，那么原来三角形的面积是多少平方米? 第2页共4页博师堂国际教育 www.bosteud.com H ADAD CF GDM B CEBCBO A图15图11 EF图16 第3页共4页博师堂国际教育 www.bosteud.com 第4页共4页

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