求极限的方法

求极限的方法 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 浅谈微积分中求极限的方法 孟凡洲 (河南大学数学与信息科学学院 开封475004) 摘 要 极限是微积分的一条基本线索～本文概述了微积分中几种常用的求极限的方法:利用极限的定义验证极限,利用单调有界定理求极限,利用初等变换求极限,利用夹逼性求极限,利用两个主要极限求极限,利用洛必达法则求极限,利用等价量代换求极限,利用定积分求极限,利用上下极限法求极限,利用压缩性条件求极限,利用递推公式求极限,利用泰勒展开式求极限等. 关键词 极限;洛必达法则;单调有界. 1利用数列极限的定义验证极限 利用极限的定义验证极限，应先根据极限的唯一性求出 [1]在极限，然后再证明极限的存. 22n,12lim例1 求=. 2n,,33n，2 解 因 2222n126n36n47111,,,,3,,,,,,,222233n3n23(3n2)3n23n，，， 1要证: ,,,0,,,n 1 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 1只需证: n,, ,,11n,N,1N=max 因此 只要 既有: n,,,,,,, 所以， 2212,n0,,,,,，,,有:,,,NnN,2332，n 22n12,即:lim,2,,n33n2， 2利用单调有界定理求极限 利用单调有界定理求极限的依据是单调有界数列必有 所以我们在求极限时一般分三个步骤:1 证单调性 2 极限. 证有界性 3 设出极限，求解关于极限的方程. 2x(x，3a)nn例2 证明序列 的极限x,0,x,(a,0)n0，123x，an limx存在，并求. n,,n 2x(x，3a)f(x)证明 令= 23x，a 223(x,a)'则: f(x),,022(3x，a) f(x)x,f(x)故，由及的单调递增性知: n，1n x,xx,f(x),f(x),x(1)若 ，则 102101 x,f(x),f(x),xn,kx,x设时 则 kk,1k，1kk,1k 2 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 2(3)xx，annx,x,x由归纳法可知: 于是 n，1nn23x，an 2x,a即 n x,x,0x,x,a显然: 故 . n00n ,,,,xx于是:单调递增且有上界，于是收敛，我们记收敛nn 0,x,x,a于，则 x0 2x(x，3a)nn于是在中取极限值，得: x,(a,0)n，123x，an 2x(x，3a)a 可得 而. limx,ax,x,n2,,n3x，a x,x(2)时 10 x,x(n,0)则同理可证: n，1n 2(3)xx，a2nn,xx,a于是: 即 nn23x，an x,0a,x,x显然 故 nn0 ,,x故 单调递减，且有下界，故收敛. n 同样可知 limx,a. n,,n 3 利用初等变换求极限 x利用初等变换是将变形，然后求极限。利用初等变换n 求极限也是求极限的一个重要方法，应该熟练的掌握。利用初等变换求极限时要注意变形的准确性，要做有利于解题的 3 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 变形. xxxxx例3 设= 求. limx？coscoscoscosnn23n,,n2222 xn2sinn2解 两边同乘以 ，则可以得到: xn2sinn2 xxxxx= ？coscoscoscosn23n2222 sinx= xn2sinn2 nxxx2sinsin =. ,,nxxxsin2 4 利用夹逼性定理求极限 Nn,N夹逼性是指若存在自然数，当时，恒有x,y,z若limx,limz,a 则 limy,a，利用夹逼nnnnnnn,,,,,,nn x性求极限时，应注意将做适当的放大或缩小. n 例4 求极限 n12，，，. lim(...)222n,,n，n，n，n，n，n，n12 解 记 n12G,，，， ...222n，n，n，n，n，n，n12 则 1，2，3，,,,，n，，，,,,，n123. ,G,22n，n，1n，n，n 又 4 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com n(n1)n(n1)，，1 limlim,,22n,,n,,22(nnn)2(nn1)，，，， 1从而 ,. limGn,,2 1nn例5 . 求lim(n,1),,n 解 由: n1n1,,nn1,,,,12n1,2n1nnnlnnlnnlnn？1(n)(n)(n)，，，，nnn？1eee，，，， n12(n1)2,,,,,123n1,2(n1)lnnlnn，,？1lnnlnnlnnlnn，，，，，nnnn 从而 12n ,n,1,,42lnnn 不等式两边同时开次得: n 11nnn ,(n,1),42n(n) 因为 nnlimn,1，lim4,1 n,,n,, n1n由夹逼定理知:lim(n,1),1. n,, 5 利用两个重要极限求极限 两个重要极限是: xsin1x(1) (2) . lim,1lim(1，),ex,0,,xxx xsin其中第一种重要极限可理解为lim,1x,0x 5 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com sin，1x，而第二种极限可以理解为lim,1lim(1，),e，,0,,x，x 11，，或者. lim(1，),elim(1，，),e，,,，,0， 两个重要求极限是求极限的一个重要手段。我们要根据题目中给出的条件灵活的选择适当的形式，以使运算更加 [2]捷便. 21n例6 求. lim(cos),,nn 解 112(cos1),,n1ncos1,211nn，,,，,lim[1(cos1)]lim[1(cos1)],,,,nnnn 11112[()],,,,，n;22112nncos1,,112ne,，,,,lim[1(cos1)],,nne 6 利用洛必达法则求极限 'f(x)利用洛必达法则求极限的时候应该注意到lim'x,x0g(x) 'f(x)f(x)f(x)limlim或不存在不能得出或也不存lim'x,xx,,x,,0g(x)g(x)g(x) 在. 洛必达法则是处理未定式极限的重要手段，且非常有 ,00效.但它只能应用于()型和型的未定式.只要是()()00, ,型和型的，都可一直进行下去.每完成一次法则都要将(), 6 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 00,0式子化简.而对于,,,,0,,,,,1,0等形式，需化为()0 ,型和型的形式求解. (), x22t2edt(),0例7 求 lim02x,,t2edt,x3 x2x2222tt4x22edt2eedt(),,00lim 解= lim20218x,,xx,,t2,3eedt,x3 2x2tedt4,0,lim = 214x,,x3e 44x42elim= ,214x,,x328xe 411= ,，lim210x,,x314xe = 0 1,1nnln 证明:例8. lim(n,1),en,, 证明 7 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 1nlnnlimln(n,1)n,, 1lnn1n,limln(e,1)n,,lnn lnx1x,limln(e,1)x,,lnx lnxx1,lnxx,lime() lnx2x,,xxe,1 lnxlnx1xx,lime(,1)lnxx,,lnxxe,1 t,,limtx,,e1, ,,1 1lnx,1nnln其中用了变量代换例 . t,,故lim(n,1),en,,x Stolz7 利用定理求极限 Stolz定理是求分式数列极限的常用方法，是求极限的重 要手段. ,,y定理:设是单调增加的正无穷大量，n x,xnn,1，,,,,(可以是有限量，)，则alim,an,,y,ynn,1 xn . lim,ax,,yn nklnC,n0,k,例 9 设 (其中Sn2n 8 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com n(n,1),,,(n,k，1)k). C,n1,2,3,,,k 求 . limsn,,x 2n单调递增且趋近于，,Stolz解 因，应用公式， 1n，nkklnC,lnC1,,n，n00k,,k limlims,n22n,,n,,(n，1),n kn，1Cn，1n，1ln，lnC,n，1kCk,0nlim= n,,n，1 nn，1ln,n,k，1,0k,lim ,,n2n，1 n，1 (n，1)ln(n，1),lnk,k,0,lim n,,2n，1 Stolz(再次用公式) (n，1)ln(n，1),nlnk,ln(n，1),lim n,,(2n，1),(2n,1) 1n，nln()nlim ,,,n2 1,. 2 8 利用等价量代换求极限 等价量代换是我们求解极限问题常用的方法.解题时要 9 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 注意无穷小量的代换，熟悉常用的无穷小量代换，能便捷的求出极限. 注意几个几个常用的无穷小量等价替换: xx~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(x，1)~e,1 12,x1,cosx~x,(1，x),1~,x,a,1~xlna2 x,0,a,0,a,1,,其中且 为常数 . 1，tanx,1,tanxlim 求极限. 例10xx,0e,1 1，tanx,1,tanxlim解 xx,0e,1 2tanxlim= x,0x(e,1)(1，tanx，1,tanx) ;2x，(x)lim = x,0(x，;(x))(1，tanx，1,tanx) 2xlim= x,0x(1，tanx，1,tanx) =1 . 9 利用定积分求极限 定义:若f(x)在[a,b]上可积，则对[a,b]的任一分割 a,x,x,,,,,x,b,,[x,x],T :，及介点都有 01nii,1ib f(x)dx,limf(,),xii,a,0T 10 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com ,x,x,x其中 ， . ,,T,max,xiii,1i1,,in n1n例11 求极限 . lim(n，k),,,nn,1k nnk1nn解 记 则， (1，)a,(n，k),,n,nn,1kk,1 nk1f(x),ln(1，x)[0,1]a，它可看作在上对应ln,ln(1，),nnn,1k kT于等分割以及介点的积分和.于是， ,,nkn n11k limlna,limln(1，),ln(1，x)dx,2ln2,1,n,0,,,,nnnn,1k 42ln2,1ae故. ,,limnn,,e 10 利用上下极限法求极限 利用上下极限法求极限是一个很好的求极限方法，适用 于一般的求数列极限，要很好的掌握. ____ 收敛的充分必要条件是:. limxlimx,limxnnn,,n,,n,,n a,0,b,0例12 设， 11. a,a,a,b,a,2，，,n,1,2,,,,n，12222aan，n1 ,,a则收敛 n _________1lim,证明 若，则. limx,0n,,nn,,xlimn,,n ____ n,2a,2由时，知，，设lima,, lima,0lima,,,nnnnn,,n,,n,, 11 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 在已知等式中，分别取上下极限，知: 22,,,,,，易知 ,，,，2,222,, ,,a收敛. 故n 11 利用微分中值定理求极限 微分中值定理和其他求极限的方法联系起来，能使问题更简便 1,,，，例13 求极限. ，,，limtan(3x)tan(x),,x,0x44，， ,,f(t),tantf(t)解 设，在与所构成的区间，3x，x44上应用Lagrange中值定理: 1,,,，，'(tant)[(，3x),limtan(，3x),tan(，x),,,t,,x,04x44，， ,1 (，x)]x4 2 lim4 ,,2x,0cos, ,,,(介于). ，3x与，x之间44 12 利用压缩性条件求极限 ,,x原理:设满足:n ,,x,x,kx,x,0,k,1,n,2,3,,,x则收敛. n，1nnn,1n 1limx例14 设，求. x,0,x,,(n,1)nn1，1,,n2，xn 12 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 解 首先证明的存在: limxn,,n 由已知条件: x,x11n,1n x,x,,,n，1n2，x2，x(2，x)(2，x)nn,1nn,1 1又显然, 0,x,,(n,1)n2 (2，x)(2，x),4于是， nn,1 1故 于是limx存在，记为 x,x,x,xann，1nnn,1,,n4 1a,2,1a,则在上式中求极限:，即 2，a 110,a,又0,, 故: xn22 2，1于是:(舍去). limx,2,1nn,, 13 利用递推公式求极限 x,f(x)理论:我们常常见到一些数列满足 ,我们n，1n f(x)可以利用的规律性来推得某些关系再结合其他求极限 [3],,x限的方法，可求得的极. n 例15 Fibonacci数列 , a,a,0,a,a，a,n,0,1,2,,,,， 那么01n，2n，1n a51，n，1lim. ,n,,a2n a1n，1证明 记 则:，bb,1,b,1，,n,1,2,,,,,0nnabn,1n (1). 13 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com bb,11n,1n则 bb(1)(1),,，,，,n，1nbbbbnn,1nn,1 bb,b，1由(1)可得: nn,1n,1 b,bn,1n于是 b,b,n，1n1，bn,1 b,1,n,0,1,2,,,,n显然; n 于是: 11 . b,b,b,b,b,bn，1nnn,1nn,112，bn,1 ,,bb满足压缩性条件，故收敛于，在(1)中两端取极限，n 15，1b,1，b,1b,，且由，可知, b2 a5，1n，1lim,,. 即bblim,n,,nn,,2an nx,0,x,x，n,n,1,2,,,,例16 设 ，求. lim0n，1nn,,xn 1 令解 则 y,nxn 1111 ,，,yyyyn，1nnn 0,y,y从而, n，1n ,,a,0y于是单调有界 从而收敛，记收敛于，则. an 14 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com yana,0由，知:从而 y,a,,n，11，y1，an 1y，1ynn1n，1nlim,lim,lim,limn,,n,,n,,n,,1y,1yx1y1y,1yn，1nnnn，1n Stolz(利用公式) 1y，1yyn，1nn,lim,lim(，1),lim(1，y，1),2nn,,n,,n,,y1yn，1n . 14 利用泰勒展开求极限 用泰勒公式求极限是将复合函数在某点展开，化为统一的多项式形式. tan(tanx),sin(sinx)lim例17 求极限. x,0tanx,sinx 33xx33解 由 tanx,x，，;(x),sinx,x,，;(x),36可得: 15 教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学” heda2007@163.com 3x;3xxxtan(tan),tan[(，，()]3 33xx;;33xxx,，，()，，()33 3x23;xx,，，(),3 xsin(sin) 3x3;xx,sin[,，()]6 33xx33;;xxx,,，(),，()66 3x3;xx,,，()3 33xx233xxxx;;，，(),，，()33xx，();33于是原极限,lim,lim,233300x,x,xxx333xxxxox，，(),，，()，();;362 . 当然还有一综上所述，以上归纳了求极限的几种求法.些其他的方法，如利用麦克劳林公式、利用柯西准则等等.由于篇幅有限，不再赘述. 参考文献 [1]陈纪修,於崇华等,数学分析,高等教育出版社,2002 . [2]陆庆乐,高等数学,西安交通大学出版社,1998. [3]裴礼文,数学分析问题中的典型例题和方法,高等教育出版社,2001. 16