[word格式] 关于收敛数列定义与几个等价命题关系的探讨

[word 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 ] 关于收敛数列定义与几个等价命题关系的探讨 关于收敛数列定义与几个等价命题关系的 探讨 昌吉学院2004年第2期 关于收敛数列定义与几个等价命题关系的探讨 马雪雅 (昌吉学院数学系新疆昌吉831100) 摘要:本文从数列收敛的,一N定义出发,讨论了数列收敛问题,并从数列收敛的本身特点展开,得到 了数列收敛的几个等价命题,使初学者对数列收敛问题有了更深一步的认识,并为进一步从理论上探讨奠定 了理论基础. 关键词:数列;收敛的,一N定义;数列收敛;柯西收敛准则 6469(2OO4)O2一 中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:l671—O1l2一O2 一 ,引言 《数学分析》一直是数学专业的一门重要的基础理论 课程.一般都在大学一年级开设.它为高年级的专业课和 相关后继课程学习奠定非常重要的基础.这在我们教学的 过程中,必将或多或少地涉及或遇到一些疑问与难题.而 这些问题又往往在现行各个版本教材中尚缺详尽的阐明. 作为开篇部分,关于数列的收敛问题,特别是数列中:”在 无限的过程中由此达彼”的构想,对于刚入学的学生们来 讲从思维方式上感到抽象,难以理解,在学习方法上更是 无从下手,但它是学好《数学分析》的一个坎.本文通过多 年教学体会,从定义与收敛数列几个等价命题入手进行探 讨,使教学和初学者教能有所启发. 二,收敛数列的特点 在我们熟悉的数列{Qn}中有这样一类数列,其特点 是:当自然数n无限增大时.数列{a}的通项a无限地接 r11r1, 近某一常数.例如数列{?,{等数列都具这种特 点,当n无限增大时,它们都无限地接近于0.我们称这样 的数列为收敛的数列,并称常数0分别是数列{?. r1, 去极限.由此引出数列极限的精确定义,在各版本的,’ 教材中也称为数列极限的《e—N》定义. 定义I:设{an}为数列,a为常数,若对任意给定的正 数,,总存在正整数N,使得当n>N时,有Ia一aI<,则 称数列{a}收敛,且收敛于a, 记作:lima一a,常数a为数列{a}的极限. 从定义I可以看出收敛数列一定有极限.其等价定义 是: 定义2:任意的,>O,若在U(a;,)之外,数列{an)中项 只有有限个,则称数列{a)收敛,且收敛于a. 定义I与定义2给出了数列收敛定义,且有着明显的 几何意义.通常我们都是对定义I,2中的,,N在进行讨 沦,由此来研究或 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 数列的收敛问题.其特点是将数列 JQn}与…个常数联系在一起进行论证.疑惑的是如果预先 不知道这个常数怎么判断其收敛?这个定义对证明命题起 什么作用?这就是关键所在.从数列本身特点去探讨就会 发现其收敛的等价命题. 三,收敛数列的几个等价命题 1,收敛数列与子数列的关系 对于数列而言,可以抽出若干个子数列.就可以建立 收敛数列和子数列的收敛关系. 命题I:若数列{a}收敛,则它的任何子数列{}也 收敛. 且:lima=limank—a. k—.. 由定义I就可以证明此命题 命题2:数列{a}收敛的充要条件是偶子数列与奇子 数列都收敛, 且:!imazk—lima2l【+1一a.K—o.K—.. 同样可以由定义I证明此命题. 例如:在数列{a}中抽出子数列{a啦一z),{a盐一?)和 {}都收敛,且有相同的极限值,这时数列{an}一定收敛. 实质上命题I,命题2都是在一个数列收敛的前提下 给出的,因此可以说这两个命题是收敛数列的一种判别 收稿日期:20O4一O2—26 作者简介:马雪雅(1954一),女,回,新疆乌鲁木齐市人,副教授.研究方向:基础数学. 112 昌吉学院2004年第2期 法.它和收敛数列的定义相比不一定和常数联系在一起. 其实,在学习的过程中,会发现用这两个命题判别一个数 列是否收敛非常方便. 2,收敛数列与单调数列的关系 为了确定某个数列是否收敛,还可以从数列本身所具 有单调的特征来做出判断. 命题3:在实数系中,单调有界数列必收敛. 例如:a1一?2,一?2+”,an一?2+%”. 研究数列{%)的收敛. 首先数列{)是单调上升:anna+,(Vn),这可以用 归纳法子以验证. 其次,同关样可以验证数列{%)它有界:<2,(Vn). 因此,由命题3数列{an)必收敛. 命题3有两种情形的叙述:单调上升有上界的数列必 收敛;单调下降有下界的数列必收敛. 命题3也是数列收敛的判别方法,和命题l,命题2一 样不用刻意地和常数联系在一起,就可以判别某些数列的 收敛问题,或解决极限的存在问题,为理论上探讨数列的 收敛问题奠定了基础,而且在学习的过程中我们会发现用 命题3又导出实数完备性的基本定理. 3,收敛数列与项的关系(柯西收敛准则) 有时我们可以从数列本身项来研究数列的收敛问题, 例如:让数列{%)在无穷远点的两项之间的距离非常之 小,即:对任意给定,>O,存在正整数N,当n,m>N时,有 {‰一a{<,,像这样的数列{a)我们称为柯西数列.因此 有: 命题5:数列{a)收敛的充要条件是{a)为柯西数列. 在各个版本教材中都称为柯西收敛准则. 此命题指出:数列收敛只要数列中无穷远的任意两项 的距离能够任意小就可以了.这是收敛数列的最本质的特 征.其优点在于不需要借助数列以外的任何数,只须数列 自身各项之间的相互关系就能判别数列的收敛性.我们也 可以形象的说:”收敛数列的各项越到后面越挤在一起.这 时若把定义l中的%与a的关系换成a与‰关系,其好 处就是无须借助数列以外的常数a了,这就是柯西收敛准 则. 此命题的等价命题:数列{a)收敛的充要条件是:对 任意给定,>0,存在正整数N,当n>N时,对任意自然 数,有{%+p一%{<,, 例如:数列一r++…+.它是一 个柯西数列,由准则是一个收敛的数列,这里只须判断有I a一‰1<e就可以了,而无须借助数列以外的常数a,对 V,>O用1%一al<,确定N来讨论了. 又如:研究任一无限十进制小数a=0.b.b.…bn…的n 位不足近似(n—l,2,…)所组成的数列%++… 十(其中bk为0,l,2,…9,中的一个数)的收敛问题. 首先不妨设n>m,有 %一‰l一+苷+…+?9 [?叶] 1r1,11 一 高l卜J<<素<e. 两题的特点是:在讨论有些数列时,用定义1是不好 确定其收敛问题的,但是用柯西收敛准则就非常方便.因 此柯西收敛准则不仅可以判别数列收敛性,而且在数学分 析课程中贯穿始终,是实数完备性理论的基本定理之一. 我们从定义l出发,从构思方式上建立了数列收敛的 定义及与数列收敛等价的几个命题,而这些命题又都是建 立在数列收敛定义的基础上,甚至是由此定义论证的,但 决不仅限于讨论定义l中的a与a的关系了,而是根据 数列自身特点(单调,有界,子数列,数列的项)进一步扩展 和延伸,增加了研究列收敛问题的灵活度.同时也为初学 者研究数列收敛提供了有效的方法. 例如:数列an一素+南+…+1的收敛问题 就可以用 (1)用数列收敛的极限定义证明 (2)用单调有界定理证明数列存在极限 (3)用柯西收敛准则证明数列存在极限 等不同的方法去讨论,读者不妨一试. 四,小结 数列收敛问题始终是数学分析课程入门的重要概念, 本文仪从数列收敛的极限定义与数列收敛等价的几个命 题入手进行探讨.当然也可以从另一个角度探讨,如用数 列收敛与不收敛的关系探讨数列收敛问题,数列收敛与有 界的关系等.随着知识的积累对数列收敛问题理解将会更 深刻,在函数极限,多元函极限,级数及后继的专业理论课 中对不同的问题,不同的概念都会研究收敛问题,在此基 础上将会更深刻和更加广泛的实际意义. ll3