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F_p+uF_p+u~2F_p上长为p~s的循环码.doc

F_p+uF_p+u~2F_p上长为p~s的循环码

bruce闫
2017-11-23 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《F_p+uF_p+u~2F_p上长为p~s的循环码doc》,可适用于高等教育领域

Fp+uFp+u~Fp上长为p~s的循环码FpuFpu~Fp上长为p~s的循环码第卷第期年O月佳木斯大学(自然科学版)JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)VNoMav文章编号:()一o上长为P的循环码高芳同力(合肥工业大学数学学院安徽合肥)摘要:研究了R=llG(p为素数)上长为=P的循环码的生成元的形式,即R=nix一所有的理想关键词:循环码环上的码重根码中图分类号:TN文献标识码:A引言近几年来,对有限环上码的结构研究成为纠错码研究领域的热点,当循环码的码长被环的特征整除时,此时的循环码称为重根循环码,重根循环码的结构较为复杂,文献对重根循环码的性质进行了研究,文献给出了环上长度为的循环码的结构,文献给出了环u的扩环上长度为的循环码的结构,本文研究了FuFpF(P为素数)上长为P的循环码的生成元的具体形式基本概念及引理环尺=u是指剩余类环u,其中的元素可表示为口Hd,~,口,b,cFR是局部环,其唯一的极大理想是,是R的一个子环对于中的任一非零元素,若存在非零元素卢R,使得卢=,则称是R中的一个单位,尺中共有(P一)P个单位引理l【设尺,是有单位元的交换环),R均为非零多项式,并且g(x)的首项g(x)系数是尺中的单位,则存在唯一的多项式g(),r()ER,使得厂()=q()g()r(x),且degr(x)degg(x),其中degr(x)表示r(x)的次数R上长为n的线性码是R的加法子模设C是尺上长为n的线性码,若对C中任意元素c=(c,c,c一),均有(cl'c,一,C)EC,则称C为上长为rt的循环码码字c=(c,C,c一)对应的多项式表示为c()=cC…On在一般情况下,上长为的循环码可看作是商环R=R一的理想当P整除l"t时,特征为P的环上长为n的循环码称作是重根循环码,在本文以下讨论中,n=P,则在尺中(一)=一,从而l是幂零指数为的幂零元定义模映射:RI~,,ubcI,其中,b,C引理R的唯一极大理想为H,一,不是主理想环证明:将模映射延伸至中,:RI~)=()()()I(),,()()()F,从而是满同态在F中一=(一),从而一的所有因子为一=(一)',in,贝一是一的唯一的极大理想从而一的原象(一)=H,一是的唯一的极大理想我们说一方面一若一,则存在多项~Lel()()R,使得u=(一)()(一)(),令=,贝=,矛盾另一方面因为一的幂零指数为n,而u=,从而一隹"从而H,一不是尺的主理想,不是主理想环收稿日期:作者简介:高芳(一),女,安徽东至人,合肥工业大学硕士生佳木斯大学(自然科学版)年主要结果由引理知,R并非主理想环,则R上并非所有理想都只有一个生成元设c是中的非零理想,令g(x)=g(戈)l()g(),其中go(x),g(),g:(),表示C中次数最小的非零多项式,则以下定理成立定理l设C是尺上长为n的非零循环码,则以下命题之一成立:()C=g(),其中degg(),degg()均小于degg(x),且在中go()l一()C=ug()g(),其中degg()degg(),且在中gl()l一()C=ug()ug()()()u(),其中()()()E,且在中g()lfo()Jo()I一deg(),deg()均小于degg(x)degg()小于deggl()()C=ug(),在'p中g()l"一()C=ug(),i"()ur()r(),其中r(),r(),I"(),且在中g()lro(x),ro(x)l一ldegr(),degr()均小于degg()()C=g(),II,F()ur(),其中degr()degrl(),degF()degg(x),且在中g()l"一,g()IrI()()C="g(),IH"l()uF()()()(),其中g(),rl(),r:(戈),()(戈)(),且在中g:()Irl(),r()l()()l一I,degg()degrl(),degr()degg(),deg()degg(x)证明:令degg(x)=t,并设g()的首项系数为t,则to=u,其中i{,,}是R中的单位,用J表示J在R中的逆元,则有『,g()Cgjg(x)也是c中次数为t的多项式,因此我们可以约定tE{I,M,}情形lt=此时g()的首项系数为I,由带余除法,存在唯一的多项式(),()ER,使得一=a()g()卢(),其oe~(x)=或者deg卢()t,则()EC,由g(x)次数的最小性知,p(戈)=,从而g(x)I"一同理可证对于c中任意多项式c(),都有g(x)Ic(),从而C=g(x)C在模映射下的象C=go()是上的循环码,从而g()满足在中,go(X)l"一情形t=此时g(x)的首项系数为M,则deggo()degg(),degg()degg()由于ug(x)=ugo()C,贝u~g(x)=,从而g(x)=ugl()g()由带余除法,存在唯一的多项式(),()ER,使得一=仅()g()ug()(),其中()=或者deg()t从而M(一)=()g()ug()B(),由g()次数的最小性知,()=,从而存在y(),使得一=()g()ug()uy(x),即有在戈中g()l一(i)如果C中不含首项系数为的多项式,则C中所有多项式都能被g(x)整除,若不然,设h(x)为C中所有不能被g(x)整除的多项式中次数最小的一个,设degh()=k,并设h()的首项系数为',其中{,},是尺中的单位令()=()一()',则w(x)=或者deg()k,当w(x)=时显然g(x)I()当deg()k时,可得g(x)l(),从而g(x)I(),无论哪种情况,均产生矛盾因此C=ug()g()(ii)如果c中含有首项系数为的多项式设C中所有首项系数为的多项式中次数最小的多项式为)=厂()()u(),其中,设deg厂()=令()()()表示C中次数小于d的多项式之集,则g()同(i)可证,中所有多项式都能被g(x)整除设c(x)为c中任一多项式,则由带余除法可得,存在唯一多项式c(戈),C()R,使得:c()=Cl()I厂()C(),其中c()=或者degC()d,从而c()则有C=厂(),g()=ug()ug()()()()由带余除法,存在唯一的多项式(),()R,使得()=(戈)g()B(),其中卢()=或者degp()deggl())=()=U()g()JB()=M()g()u~(x),从而口()C,由g()次数的最小性知u()=从而存在()R,使得厂()=第期高芳,等:上长为P的循环码()g()uy(x)即有在中g()I,()C在模映射下的象C=fo()是F上的循环码,且fo()为C中次数最小的多项式,从而在中()I一由带余除法,存在唯一多项式(戈),()R,i=,,使得()=Ot()gl()ug()(),其中i()=或者deg()degg(x),从而厂()=fo()()u()=fo()Hl()g()g()()()g()ug()M卢()用)一UOt()g()ug()一U,l:()g,()Hg:()替换),用卢,()替换(),用()替换f(),则可得到degfl()deg()degg()情形t=此时g(x)的首项系数为u,则deggo()degg(x),degg()degg(x)由于ug(x)=ugo()gl(),从而ug(x)=贝g(x)=ug:(),可证g:()I一(i)若C中所有多项式均能被g(x)整除,则C=g()=uZg()(ii)若c中存在多项式不能被g(x)整除,设r(x)为C中所有不被g()整除的多项式中次数最小的多项式,设degr(x)=d,首项系数为d同理,只需对{,u,"},的情况进行讨论若do=u,设W(X)=r(x)一Hg(x)x',其中w(x)=或者degw(x)d无论哪种情况,均有g()lF(X),矛盾故do若do=u,设w(x)=ur(x)一u(x)x',其中w(x)=或者deg()()=时,显然g()Iur(x)degw(x)d时,由r(x)次数的最小性,有g()w(x),从而"g:()lur(x)无论哪种情况,均有g:()Iur(x)从而存在多项式a()R,使得ur(x)=g()仅(),贝ur(x)一ug()()=,从而存在()ER,使得r(x)=ug()()U~(X)=ur()"r(),其中r(),r()且degF()degrl()由带余除法,存在(),()R,使得"()=l()g()l(),其中卢l()=或者degl(戈)degg()贝r(X)=ur()ul"()=url()l()g()l()用r(X)一ul()g()替换r(X),用卢l()替换r(),可得到degF()degg:()如情形中的讨论,可证得在F中g:()I一由于g(X)=g()整除ur(x)=Ur,(),从而存在y(X)R,使得Ur()="y(x)g:()则存在y()R,使得r()一y(x)g()=uy()从而在中,g()Ir()I若c中不含首项系数为的多项式,则C=g(),r(),若不然,设^()为C一g(),r(X)中次数最小的多项式,设degh(x)=,首项系数为'『,其中i{,}是尺中的单位令w(x)=h(x)一ui(),则w(x)=或者degW(),无论哪种情况,都有h()g(x),r(x),矛盾因此C:g(x),r(x)=ug(),rl()r()若C中含有首项系数为的多项式,g~f(x)=厂()()(),其中厂()(),()Fp为c中所有首项系数为的多项式中次数最小的多项式,设deg)=d令表示C中次数小于d的多项式之集,则g(x)E可证得,中所有多项式都在g(),r()中设c(x)为c中任一多项式,则由带余除法可得,存在唯一多项式c(),C:()R,使得:c()=c(x)Ax)c(),其中c()=或者degc()d,从而c()则有C=),g(x),r(X)=ug(),Hr()r()()()()C在模映射下的象C=()是上的循环码,且()为C中次数最小的多项式,从而在F中()I"一由带余除法,存在:(),()R,使得()=Ot:(x)g:():(),其中()=或者deg()degg()则)=()()()=厂()()()g()()用)一u:(x)g()替换厂(),用卢()替换(),可得到deg厂()degg:()由于厂()()=厂()Eg(x),r(x),从而存在,(),,()ER,使得()()=ug()()r()r()()贝"()()一ug()()一(r(),"())岛()=,从而存在,()R,使得()()一g()()佳木斯大学(自然科学版)血一(r()ur())岛()=uy()因此在中,r()I()若=l,设()=,()一u(),tt其中W()=或者degw()d无论哪种情况,均有ug()lur(x)从而存在多项式()ER,使得ur(x)=z'g()(),则r(x)一ug()a()=o,从而存在卢(),()ER,使得r()=g()()()uy(x)=ro()$rl()r(),其中r(),rl(),()Gx且deg"()degr(),degr】()degr()令表示C中次数小于d的多项式之集,则占()如情形中可证得,中所有多项式都能被g()整除设c()为c中任一多项式,则由带余除法可得,存在唯一多项式c,(),c:()ER,使得:c()=c()r(x)c(),其中c()=或者degc()degr(),从而c()则有C=g(x),r(x)=ug(),r()url()r()C在模M映射下的象C=r()是上的循环码,且()为中次数最小的多项式,从而在中r()l一由带余除法,存在ot(),()R,使得r()=ot()g()(),其中卢()=或者deg()degg()则ur()=uro(x)=a()g()()=UOl()g()u()从而()c,由g()次数的最小性知uf()=从而存在()ER,使得r()=(x)g(x)uy()即有在中g()Ir()由带余除法,存在唯一多项式a(),()R,i=I,,使得ri()=ai(x)g()bl(),其中bi()=或者degbi()degg(),从而r(x)=r(x)ur()ur()=r()ual(x)g()ubl()tt()g()Ixb()用r(x)一ual()g()一tta(x)g()替换r(x),用b()替换r()可得到degr()deg(),,用b()替换r(),则g(),degr()deg定理R上长为n:P的循环码的生成元共有以下几种形式:(),()u(一),in一一()ix(一)u,in一qE=oFp,i一i一i一()(一)Hcuui=i=凡一c玎,,,i一^,f一,()"(戈一),u(一)c,x"uJ=,in一cl,,』,i一()u(一)i,(一)'i,一cl,,c,,i一,it一Li一』=ilcJ=OiXj,in一ci,Cy,C,,:itn一i一()u(一)i,u(x)酩,(:occi=i=,『i一)',in一,u,c』t后n参考文献:VanLintTRepeatedrootCyclicCedesJIEEETramInfoTheory,,():AbualrubTandOehmkeT,OntleGeneratorsofCyclicCodesJIEEETranslnfoTheory,,():DinhConstacyclicCodesofLengthOverGaloisExtensionRingsofJ】IEEETransInfoTheory,,():McDonaldsBR,FiniteRingsWithIdentityMNewYork:MamelDekkerIncCyclicCodeofaLengthpsoverFpuFpFpGAOF叽g(MathCollege,HefeiUniversityofTechnology,Hc砧,China)Abstract:GeneratorpolynomialsofcyclccodesofIengthPover(Pisaprime),orequivalenfly,allidealsoftheringRx一,werestudiedinthispaperKeywords:cycliccodecodeoverringrepeatedrootcodeLVCH,l一,【==,,l一,,【

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