勾股定理证明和逆定理及详解 中考题

深圳市菁优网络科技有限公司   一、选择题（共13小题） 1、（2010?南宁）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（  ） A、3        B、4 C、5        D、6 2、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（  ） A、4个        B、5个 C、6个        D、8个 3、下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（  ） A、3，4，5        B、4，5，6 C、5，6，7        D、6，7，8 4、给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能组成直角三角形的有（  ） A、①②        B、②③ C、②④        D、③④ 5、△ABC的三边满足 ，则△ABC为（  ） A、直角三角形        B、等腰三角形 C、等边三角形        D、等腰直角三角形 6、以下列各线段为边，能组成直角三角形的是（  ） A、2，5，8        B、1，1，2 C、3，5，4        D、2，4，6 7、以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（  ） A、3、4、6        B、9、12、15 C、5、12、14        D、10、16、25 8、如图，一块四边形ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，则这块地的面积为（  ）㎡． A、24        B、30 C、48        D、60 9、若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣b）?（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC是（  ） A、直角三角形        B、等腰三角形 C、等腰直角三角形        D、等腰三角形或直角三角形 10、直角三角形中两个直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，那么c+h，a+b，h为三边构成的三角形是（  ） A、直角三角形        B、锐角三角形 C、等边三角形        D、钝角三角形 11、一个三角形的三边分别是m2+1、2m、m2﹣1，则此三角形是（  ） A、锐角三角形        B、直角三角形 C、钝角三角形        D、等腰三角形 12、若a、b、c为三角形三边长，则下列各项中不能构成直角三角形的是（  ） A、a=6，b=8，c=10        B、a=7，b=24，c=25 C、a=1，b=2，c=3        D、 （n，0） 13、△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）=c2，则（  ） A、a边的对角是直角        B、b边的对角是直角 C、c边的对角是直角        D、△ABC不是直角三角形 二、 填空题 分式填空题10以内加减法填空题无人机航拍概论填空题系动词填空题练习10以内填空题库免费下载 （共9小题） 14、（2008?湖州）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名 的定理，这个定理称为　_________　，该定理的结论其数学表达式是　_________　． 15、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为　_________　． 16、在△ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=　_________　． 17、在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=　_________　． 18、如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+ =0，则a=　_________　，b=　_________　，c=　_________　，△ABC是　_________　三角形． 19、若a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，则这个三角形的形状是　_________　． 20、如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为　_________　． 21、△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=　_________　度． 22、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2=0，则△ABC的形状是 　_________　． 三、解答题（共8小题） 23、（2010?孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言． 请根据图1中直接三角形叙述勾股定理． 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理； 利用图2中的直角梯形，我们可以证明 ＜ ．其证明步骤如下： ∵BC=a+b，AD=　_________　； 又∵在直角梯形ABCD中有BC　_________　AD（填大小关系），即　_________　． ∴ ＜ ． 24、已知（如图）： 用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，你不难找到： 解法（1）小正方形的面积=　_________　； 解法（2）小正方形的面积=　_________　； 由解法（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为：　_________　． 25、如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理． 26、美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理． 27、4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？ 28、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理． 29、请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明） 30、用下面的图形验证勾股定理（虚线代表辅助线）： 赵君卿图． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 一、选择题（共13小题） 1、（2010?南宁）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（  ） A、3        B、4 C、5        D、6 考点：勾股定理的证明。 分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 解答：解：过D点作DE⊥BC于E． ∵∠A=90°，AB=4，BD=5， ∴AD= = =3， ∵BD平分∠ABC，∠A=90°， ∴点D到BC的距离=AD=3． 故选A． 点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质． 2、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（  ） A、4个        B、5个 C、6个        D、8个 考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理。 分析：当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 解答：解：∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴，点C到距离AB为5，并且在平行于AB的两条直线上． ∴满足条件的C点有：（1，6），（6，6），（11，6），（1，﹣4），（6，﹣4），（11，﹣4） 故选C． 点评：用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 3、下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（  ） A、3，4，5        B、4，5，6 C、5，6，7        D、6，7，8 考点：勾股定理的逆定理。 分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解答：解：A、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意； B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、52+62≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、62+72≠82，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选A． 点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4、给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能组成直角三角形的有（  ） A、①②        B、②③ C、②④        D、③④ 考点：勾股定理的逆定理。 分析：判定是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 解答：解：①12+22=5≠22，故不是直角三角形，故错误； ②122+52=132，故是直角三角形，故正确； ③62+72=85≠82，故不是直角三角形，故错误； ④42+32=52，故是直角三角形，故正确． 故选C． 点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5、△ABC的三边满足 ，则△ABC为（  ） A、直角三角形        B、等腰三角形 C、等边三角形        D、等腰直角三角形 考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根。 分析：由题意可知a+b=50，a﹣b=32，c=40，就可求出a、b长分别为41，9，而412=402+92，所以△ABC为直角三角形． 解答：解：由题意可知a+b=50，a﹣b=32，c=40， ∴a=41，b=9 ∵412=402+92 ∴△ABC为直角三角形． 故选A． 点评：本题考查了勾股定理的应用，以及非负数的性质，是一道综合性的题目，难度中等． 6、以下列各线段为边，能组成直角三角形的是（  ） A、2，5，8        B、1，1，2 C、3，5，4        D、2，4，6 考点：勾股定理的逆定理。 分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解答：解：A、22+52=29≠82，故不是直角三角形，错误； B、12+12=2≠22，故不是直角三角形，错误； C、32+42=52，故是直角三角形，正确； D、22+42=20≠62，故不是直角三角形，错误． 故选C． 点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 7、以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（  ） A、3、4、6        B、9、12、15 C、5、12、14        D、10、16、25 考点：勾股定理的逆定理。 分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解答：解：A、32+42≠62，故不是直角三角形，故不正确； B、92+122=152，故是直角三角形，故正确； C、52+122≠142，故不是直角三角形，故不正确； D、102+162≠252，故不是直角三角形，故不正确． 故选B． 点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 8、如图，一块四边形ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，则这块地的面积为（  ）㎡． A、24        B、30 C、48        D、60 考点：勾股定理的逆定理；勾股定理。 专题： 计算题 一年级下册数学竖式计算题下载二年级余数竖式计算题 下载乘法计算题下载化工原理计算题下载三年级竖式计算题下载 。 分析：连接AC，由AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°利用勾股定理可求出AC的长，在根据AB=13m，BC=12m，利用勾股定理的逆定理可证△ACB为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 解答：解：连接AC， ∵AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°， ∴AC= = =5， ∵AB=13m，BC=12m， ∴AB2=BC2+CD2，即△ABC为直角三角形， ∴这块地的面积为S△ABC﹣S△ACD= AC?BC﹣ AD?CD= ×5×12﹣ ×3×4=24． 故选A． 点评：此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大，解答此题的关键是连接AC，求出三角形ABC的面积，再减去三角形ACD的面积即可． 9、若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣b）?（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC是（  ） A、直角三角形        B、等腰三角形 C、等腰直角三角形        D、等腰三角形或直角三角形 考点：勾股定理的逆定理；等腰三角形的判定。 分析：了解等腰三角形和直角三角形判定标准，是解题的关键． 解答：解：∵（a﹣b）?（a2+b2﹣c2）=0，∴（a﹣b）=0或（a2+b2﹣c2）=0， 即a=b或a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 故选D． 点评：本题利用了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理求解． 10、直角三角形中两个直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，那么c+h，a+b，h为三边构成的三角形是（  ） A、直角三角形        B、锐角三角形 C、等边三角形        D、钝角三角形 考点：勾股定理的逆定理。 专题：应用题。 分析：先利用勾股定理得到a，b，c，h之间的关系，再根据勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形． 解答：解：根据题意可知： a2+b2=c2，ab=ch， ∵（c+h）2=c2+2ch+h2， （a+b）2=a2+2ab+b2， ∴（a+b）2+h2=（c+h）2， ∴三角形是直角三角形． 故选A． 点评：主要考查了勾股定理逆定理的运用．要会熟练利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形． 11、一个三角形的三边分别是m2+1、2m、m2﹣1，则此三角形是（  ） A、锐角三角形        B、直角三角形 C、钝角三角形        D、等腰三角形 考点：勾股定理的逆定理。 专题：探究型。 分析：根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 解答：解：∵（2m）2+（m2﹣1）2=4m2+m4+1﹣2m2=m4+1+2m2=（m2+1）2． ∴此三角形是直角三角形． 故选B． 点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 12、若a、b、c为三角形三边长，则下列各项中不能构成直角三角形的是（  ） A、a=6，b=8，c=10        B、a=7，b=24，c=25 C、a=1，b=2，c=3        D、 （n，0） 考点：勾股定理的逆定理。 分析：根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先确定能否构成三角形，再根据勾股定理的逆定理，判断能否构成直角三角形． 解答：解：A、∵6+8＞10，且62+82=102，∴能构成直角三角形； B、∵7+24＞13，且72+242=252，∴能构成直角三角形； C、∵1+2=3，∴不能构成三角形，∴更不能构成直角三角形； D、∵n+ n＞2n，且n2+（ n）2=（2n）2，∴能构成直角三角形． 故选C． 点评：本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形必须符合勾股定理的逆定理，三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 13、△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）=c2，则（  ） A、a边的对角是直角        B、b边的对角是直角 C、c边的对角是直角        D、△ABC不是直角三角形 考点：勾股定理的逆定理。 分析：把式子写成a2﹣b2=c2的形式，确定a为最长边，则可判断边a的对角是直角． 解答：解：∵（a+b）（a﹣b）=c2， ∴a2﹣b2=c2， ∴a为最长边， ∴边a的对角是直角． 故选A． 点评：此题考查勾股定理逆定理的应用，判断最长边是关键． 二、填空题（共9小题） 14、（2008?湖州）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名 的定理，这个定理称为　勾股定理　，该定理的结论其数学表达式是　a2+b2=c2　． 考点：勾股定理的证明。 专题：证明题。 分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理． 解答：解：用图（2）较简单， 如图正方形的面积=（a+b）2， 用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4× ab+c2， 即（a+b）2=4× ab+c2化简得a2+b2=c2． 这个定理称为 勾股定理． 故答案为：勾股定理、a2+b2=c2． 点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 15、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为　45°　． 考点：正弦定理与余弦定理；勾股定理；勾股定理的逆定理。 专题：数形结合。 分析：首先由已知可得△ABC是直角三角形，则可求得∠B与∠C的余弦值，在△ABD与△AEC中利用余弦定理即可求得AD与AE的值，再在△ADE中用余弦定理求得∠DAE的余弦值，即可求得∠DAE的度数． 解答：解：∵AB=5，AC=12，CB=13， ∴AB2+AC2=CB2， ∴∠BAC=90°， ∴cos∠B= ，cos∠C= ， ∵BD=1，CE=8， ∴DE=4， ∴AD2=AB2+BD2﹣2?AB?BD?cos∠A=25+1﹣2×5×1× =26﹣ = ， AE2=AC2+CE2﹣2?AC?CE?cos∠C=144+64﹣2×12×8× =208﹣ = ， ∴AD= ，AE= ， ∴cos∠DAE= = ， ∴∠DAE=45°． 故答案为：45°． 点评：此题考查了余弦定理的知识以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，解题时注意数形结合思想的应用． 16、在△ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=　4.8　． 考点：勾股定理；三角形的面积；勾股定理的逆定理。 专题：计算题。 分析：根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC为直角三角形，用两条直角边和斜边及斜边的高分别求三角形ABC的面积，运用面积法可以计算CD． 解答：解：已知BC=6，CA=8，AB=10， 且BC2+CA2=AB2， ∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边， 所以Rt△ABC面积= BC?CA= AB?CD， 解得CD=4.8． 故答案为：4.8． 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，本题中正确的判定三角形是直角三角形是解题的关键． 17、在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=　5　． 考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。 专题：计算题。 分析：根据BD，AD，AB的长度可以判定△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，又∵D为BC的中点，可以判定△ABC为等腰三角形，且AB=AC． 解答：解：在△ABD中，已知AB=5，AD=4，BD=3， 满足AB2=AD2+BD2， ∴△ABD是直角三角形， 即AD⊥BC， 又∵D为BC的中点， ∴△ABC为等腰三角形，且AB=AC， ∴AC=5． 故答案为 5． 点评：本题考查了根据勾股定理的逆定理来判定直角三角形，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△ABC是等腰三角形是解题的关键． 18、如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+ =0，则a=　24　，b=　18　，c=　30　，△ABC是　直角　三角形． 考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根。 分析：先根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理解答． 解答：解：∵（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+ =0， ∴ ， ∴a=24，b=18，c=30， ∵242+182=302， ∴△ABC是直角三角形． 点评：本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 19、若a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，则这个三角形的形状是　直角三角形　． 考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式。 分析：利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可． 解答：解：∵a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50 ∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0 ∴a=3，b=4，c=5 ∴这个三角形的形状是直角三角形． 点评：本题考查完全平方公式和勾股定理的逆定理在实际中的运用，注意运用几个非负数的和为0，那么这几个数均为0这个知识点． 20、如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为　6　． 考点：勾股定理的逆定理；含30度角的直角三角形。 分析：运用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算． 解答：解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE． 得∠A=∠ABE 根据折叠，得∠ABE=∠CBE 再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30° ∴CE= BE=2 则AC=4+2=6． 点评：此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统． 21、△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=　30　度． 考点：勾股定理的逆定理；等边三角形的判定。 分析：由题意得出△AEO和△OEC全等以及△OCF和△OFB全等，再根据全等三角形的定义，求得对应的边相等．而OC=CB=OB，则△OCB为等边三角形，得出∠B=60°，最后求出∠A的度数． 解答：解：如图所示，OE，OF分别是边AC，BC的中垂线 ∵OE，OF分别是边AC，BC的中垂线 ∴△AEO≌△CEO，△OCF≌△OBF ∴AO=CO，CO=BO ∴△ACB为直角三角形． ∵CO=BC ∴△OBC为等边三角形 ∴∠B=60° ∴∠A=30°， 故填为30°． 点评：此题主要考查了学生对直角三角形的判定及等边三角形的判定的运用． 22、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2=0，则△ABC的形状是 　等腰直角三角形　． 考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。 专题：推理填空题。 分析：根据绝对值和偶次方的性质，|c2﹣a2﹣b2|=0，（a﹣b）2=0，由此可得出△ABC的三边关系，利用勾股定理的逆定理，即可作出判断． 解答：解：△ABC是等腰直角三角形． ∵|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2=0， ∴|c2﹣a2﹣b2|=0，（a﹣b）2=0， ∴c2=a2+b2，a=b， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理，非负数的性质（绝对值，偶次方）的理解和掌握，解答此题的关键是根据|c2﹣a2﹣b2|=0，（a﹣b）2=0，得出△ABC的三边关系． 三、解答题（共8小题） 23、（2010?孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言． 请根据图1中直接三角形叙述勾股定理． 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理； 利用图2中的直角梯形，我们可以证明 ＜ ．其证明步骤如下： ∵BC=a+b，AD=　 c　； 又∵在直角梯形ABCD中有BC　＜　AD（填大小关系），即　a+b＜ c　． ∴ ＜ ． 考点：勾股定理的证明；全等三角形的判定与性质。 专题：阅读型。 分析：利用SAS可证△ABE≌△ECD，可得对应角相等，结合90°的角，可证∠AED=90°，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a2+b2=c2，在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD= c，从而可证 ＜ ． 解答：解：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． ∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴∠AEB=∠EDC； 又∵∠EDC+∠DEC=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°； ∴∠AED=90°；（5分） S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED （a+b）（a+b）= + + ； （a2+2ab+b2）= + + ； 整理得a2+b2=c2（7分）． AD= c，BC＜AD，a+b c．（10分） 点评：本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识． 24、已知（如图）： 用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，你不难找到： 解法（1）小正方形的面积=　c2﹣2ab　； 解法（2）小正方形的面积=　b2﹣2ab+a2　； 由解法（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为：　c2=a2+b2　． 考点：勾股定理的证明。 分析：（1）用拼成的大正方形的面积减去四个三角形的面积； （2）直接求出小正方形的边长，然后求面积； （3）得到勾股定理． 解答：解：（1）S=c2﹣ ab×4=c2﹣2ab； （2）S=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2； （3）c2=a2+b2． 点评：本题主要在于验证勾股定理，比较简单． 25、如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理． 考点：勾股定理的证明。 专题：计算题。 分析：由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理． 解答：解：由图可得， ×（a+b）（a+b）= ab+ c2+ ab， 整理得， = ， ∴a2+2ab+b2=2ab+c2， ∴a2+b2=c2． 点评：本题主要考查了勾股定理的证明，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 26、美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理． 考点：勾股定理的证明。 专题：证明题。 分析：此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理． 解答：解：因为 ， 又因为 所以 = ， 得c2=a2+b2． 点评：此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 27、4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？ 考点：勾股定理的证明。 分析：根据已知可求得大正方形的面积，四个直角三角形的面积和及中间的正方形的面积，根据大正方形的面积=中间的正方形的面积+四个直角三角形的面积，即可得到勾股定理． 解答：解：∵大正方形的面积=（a+b）2，四个直角三角形的面积和=4× ab=2ab，中间的正方形的面积=c2∴2ab+c2=（a+b）22ab+c2=a2+b2+2ab ∴c2=a2+b2 点评：此题主要考查学生对勾股定理的掌握情况． 28、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理． 考点：勾股定理的证明。 分析：根据大正方形面积=四个相同直角三角形面积+小正方形面积，得c2=4× ab+（a﹣b）2即得c2=a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理． 解答：解：∵大正方形面积为：c2，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为：（a﹣b）2， 所以c2=4× ab+（a﹣b）2， 即c2=a2+b2， 在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理． 点评：本题主要考查了勾股定理的证明，要认真理解勾股定理． 29、请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明） 考点：勾股定理的证明。 专题：证明题；开放型。 分析：选第一个图形证明，都来表示中间正方形的面积．有两种表示方法：直接表示正方形的面积；用大正方形的面积﹣4个全等的直角三角形的面积． 解答：解：∵外部是四个全等的直角三角形， ∴中间的四边形为正方形 正方形的面积=c2， 正方形的面积=（a+b）2﹣4× ×ab=a2+b2 ∴a2+b2=c2 点评：用构图法来解释勾股定理，通常情况下是运用不同的方式来表示面积得到的结果． 30、用下面的图形验证勾股定理（虚线代表辅助线）： 赵君卿图． 考点：勾股定理的证明。 专题：证明题。 分析：根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 解答：解：根据题意，中间小正方形的面积（b﹣a）2=c2﹣4× ab； 化简得a2+b2=c2， 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． 点评：本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形、正方形面积公式的熟练掌握和运用．