高考数学二轮复习考点突破专题12立体几何中的平行与垂直问题

高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 二轮复习考点突破专题专题12立体几何中的平行与垂直问题【自主热身，归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 】1、设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β.其中正确命题的序号为________．【答案】.④　【解析】：对于①，直线m可能在平面α内，故①错误；对于②，没有m与n相交的条件，故②错误；对于③，m与n也可能异面，故③错误．2、已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中是真命题的是________(填序号)．【答案】③④　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD∥平面ABC1D1，BC∥平面ADC1B1，且BC⊥CD，又因为平面ABC1D1与平面ADC1B1不垂直，故①不正确；因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且B1C1∥平面ABCD，AB∥平面A1B1C1D1，但AB与B1C1不平行，故②不正确．同理，我们以正方体的模型来观察，可得③④正确．3、若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．【答案】：②④4、已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；　②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；　④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．【答案】：①④　【解析】：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m；②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交；③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β；④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m⊂β，所以m∥α.5、设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)【答案】：④　【解析】：①b和c可能异面，故①错；②可能c⊂α，故②错；③可能c∥β，c⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．6、在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：(1)BC∥平面PDF；(2)DF∥平面PAE；(3)平面PDF⊥平面ABC；(4)平面PDF⊥平面PAE.其中正确命题的序号为________．【答案】：(1)(4)【解析】由条件可证BC∥DF，则BC∥平面PDF，从而(1)正确；因为DF与AE相交，所以(2)错误；取DF中点M(如图)，则PM⊥DF，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，则DM⊥平面PAE.又DM⊂平面PDF，故平面PDF⊥平面PAE，所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．7、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，正确结论的序号是________．【答案】：①③【解析】　过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以①③正确．【问题探究，变式训练】:例1、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：(1)平面AB1E⊥平面B1BCC1；(2)A1C∥平面AB1E.【解析】：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因为AE⊂平面ABC，所以CC1⊥AE因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为BC⊂平面B1BCC1，CC1⊂平面B1BCC1，且BC∩CC1＝C，所以AE⊥平面B1BCC1.因为AE⊂平面AB1E，所以平面AB1E⊥平面B1BCC1(2)如图，连结A1B，设A1B∩AB1＝F，连结EF.在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点．又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C因为EF⊂平面AB1E，A1C⊄平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E.【变式1】、【如图，在三棱锥PABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点，点N在棱PC上，点D是BN的中点．求证：(1)MD∥平面PAC；又因为CE⊂平面BEC，所以AH⊥CE.(14分)【变式6】、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的高为eq\r(6)，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点．求证：(1)B1M∥平面A1BN；(2)AD⊥平面A1BN.【解析】：(1)如图，连结MN，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ACC1是矩形．因为M，N分别是棱A1C1，AC的中点，所以四边形A1ANM也是矩形，从而MN∥A1A.(2分)又因为A1A∥B1B，所以MN∥B1B.所以四边形B1BNM是平行四边形，则B1M∥BN.(4分)因为B1M⊄平面A1BN，BN⊂平面A1BN,所以B1M∥平面A1BN.(6分)(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，所以AA1⊥BN.因为N是正三角形ABC的边AC的中点，所以AC⊥BN.又因为A1A∩AC＝A，A1A，AC⊂平面A1ACC1，所以BN⊥平面A1ACC1.因为AD⊂平面A1ACC1，所以BN⊥AD.(10分)在平面A1ACC1中，tan∠A1NA·tan∠DAC＝eq\f(\r(6),1)·eq\f(\f(\r(6),3),2)＝1，所以∠A1NA与∠DAC互余，得AD⊥A1N.(12分)因为AD⊥BN，AD⊥A1N，BN∩A1N＝N，且A1N，BN⊂平面A1BN，所以AD⊥平面A1BN.(14分)【关联1】、如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，点D，E分别是A1C，AB的中点．(1)求证：ED∥平面BB1C1C；(2)若AB＝eq\r(2)BB1，求证：A1B⊥平面B1CE.【解析】(1)连结AC1，BC1，因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点．(2分)在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DE∥BC1.(4分)因为DE⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以ED∥平面BB1C1C.(6分)(2)因为△ABC是正三角形，E是AB的中点，所以CE⊥AB.又因为正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，CE⊂平面ABC，所以CE⊥平面ABB1A1.从而CE⊥A1B.(9分)在矩形ABB1A1中，因为eq\f(A1B1,B1B)＝eq\r(2)＝eq\f(B1B,BE)，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，从而∠B1A1B＝∠BB1E.因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，所以A1B⊥B1E.又因为CE，B1E⊂平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE.(14分)例2、如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．（1）若，求证：；（2）求证：//平面．【解析】：证明：（1）取的中点，连结，因为，所以△为等腰三角形，所以．因为，所以△为等腰三角形，所以．又，所以平面．因为平面，所以．（2）由为中点，连，则，又平面，所以平面．由，以及，所以，又平面，所以平面．又，所以平面平面，而平面，所以平面．【变式1】、如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平面ABD；（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解析】：（1）因为BD∥平面AEF，BD平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，所以BD∥EF．因为BD平面ABD，EF平面ABD，所以EF∥平面ABD．（2）因为AE⊥平面BCD，CD平面BCD，所以AE⊥CD．因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，又AE∩EF＝E，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD⊥平面AEF．又CD平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．【变式2】、如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）若平面平面，求证：．【变式3】、如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．【解析】（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB．又平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，M为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD，平面PCD，，所以AM⊥平面PCD．【易错警示】立几的证明必须严格按教材所给的公理、定理、性质作为推理的理论依据，严禁生造定理，在运用定理证明时必须在写全定理的所有条件下，才有相应的结论，否则会影响评卷得分.【变式4】、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．(1)求证：PC∥平面BDE；(2)若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB.易错警示在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时，一定要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将予以扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求较高．【关联1】、如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD交于点O，且平面PAC⊥平面ABCD，E为棱PA上一点．(1)求证：BD⊥OE；(2)若AB＝2CD，AE＝2EP，求证：EO∥平面PBC.【解析】(1)因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊥AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.又因为OE⊂平面PAC，所以BD⊥OE.(6分)(2)因为AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD交于点O，所以CO∶OA＝CD∶AB＝1∶2.又因为AE＝2EP，所以CO∶OA＝PE∶EA，所以EO∥PC.又因为PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC，所以EO∥平面PBC.(14分)【关联2】、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝eq\r(2)AB，D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若点P在线段BB1上，且BP＝eq\f(1,4)BB1，求证：AP⊥平面A1CD.【解析】(1)连结AC1，交A1C于点O，连结OD.因为四边形AA1C1C是矩形，所以O是AC1的中点.(2分)在△ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，所以OD∥BC1.(4分)又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(6分)(2)因为CA＝CB，D是AB的中点，所以CD⊥AB﹒又因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，交线为AB，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面AA1B1B﹒(8分)因为AP⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AP.(9分)因为BB1＝AA1＝eq\r(2)BA，BP＝eq\f(1,4)BB1，所以eq\f(BP,BA)＝eq\f(\r(2),4)＝eq\f(AD,AA1)，所以Rt△ABP∽Rt△A1AD，从而∠AA1D＝∠BAP，所以∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，所以AP⊥A1D.(12分)又因为CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以AP⊥平面A1CD.(14分)【关联3】、如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.【解析】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.(2分)因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC,所以PB∥平面MNC.(4分)(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.　(6分)因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.　(8分)因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以CM⊥平面PAB.　(12分)因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.因为PA⊥MN，MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.　(14分)【关联4】、如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.【解析】(1)如图，取PB的中点E，连结AE，NE.因为E，N分别是PB，PC的中点，所以EN∥BC且EN＝eq\f(1,2)BC.因为底面ABCD是平行四边形，M是AD的中点，所以AM∥BC且AM＝eq\f(1,2)BC，(3分)所以EN∥AM且EN＝AM，四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE，(5分)因为MN⊄平面PAB，AE⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB.(7分)(2)如图，在平面PAD内，过点A作AH⊥PM，垂足为H.因为平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，因为AH⊂平面PAD，AH⊥PM，所以AH⊥平面PMC，从而AH⊥CM.(10分)因为PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，所以PA⊥CM.(12分)因为PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAD，所以CM⊥平面PAD，因为AD⊂平面PAD，所以CM⊥AD.(14分)例3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱BC上一点．(1)若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)若A1B∥平面ADC1，求eq\f(BD,DC)的值．【解析】：(1)因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC.(2分)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD.(4分)因为BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.因为AD⊂平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.(6分)(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点．(8分)因为A1B∥平面ADC1，A1B⊂平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD.(12分)因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以eq\f(BD,DC)＝1.(14分)【变式1】、如图，在四面体ABCD中，AB＝AC＝DB＝DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且eq\f(AF,AC)＝λ.(1)若EF∥平面ABD，求实数λ的值；(2)求证：平面BCD⊥平面AED.【解析】(1)因为EF∥平面ABD，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EF∥AB.(3分)又E是BC的中点，点F在线段AC上，所以F为AC的中点．由eq\f(AF,AC)＝λ得λ＝eq\f(1,2).(6分)(2)因为AB＝AC＝DB＝DC，E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE.(9分)又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED.(12分)而BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面AED.(14分)【变式2】、如图，在四棱锥PABCD中，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.(1)求证：BC⊥平面PAC；若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN∶PB的值．【解析】(1)连结AC.不妨设AD＝1.因为AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，所以CD＝1，AB＝2.因为∠ADC＝90°，所以AC＝eq\r(2)，∠CAB＝45°.在△ABC中，由余弦定理得BC＝eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2.所以BC⊥AC.(3分)因为PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PC.(5分)因为PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC.(7分)(2)因为AB∥DC，CD⊂平面CDMN，AB⊄平面CDMN，所以AB∥平面CDMN.(9分)因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面CDMN＝MN，所以AB∥MN.(12分)在△PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PN∶PB的值为eq\f(1,2).(14分)【关联1】、如图，在三棱锥PABC中，D为AB的中点．(1)与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由；(2)若PA＝PB，且锐角三角形PCD所在平面与平面ABC垂直，求证：AB⊥PC.【解析】(1)E为AC的中点．理由如下：平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC＝DE，而BC∥平面PDE，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE.(4分)在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC的中点．(7分)(2)因为PA＝PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD，如图，在锐角三角形PCD所在平面内过点P作PO⊥CD于点O，因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC＝CD，所以PO⊥平面ABC.(10分)因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO∩PD＝P，PO，PD⊂平面PCD，所以AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC.(14分)【关联2】、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.(1)求证：BD⊥PC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.【解析】(1)如图，连结AC，交BD于点O，连结PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.(2分)又因为O为BD的中点，PB＝PD，所以BD⊥PO.(4分)又因为AC∩PO＝O，所以BD⊥平面APC.又因为PC⊂平面APC，所以BD⊥PC.(7分)(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.(9分)因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.(11分)又因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l.所以BC∥l.(14分)【关联3】、如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：(2)若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.ABCDEFP(第16题)PAGE1