三角函数周期的几种求法
三角函数周期的几种求法
深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏
高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1(定义法:
定义:一般地,,c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，
,(,，T),,(,)
都成立，那么就把函数,,,(,)叫做周期函数;不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
2,x，(求函数y=3sin()的周期 例133
2,2,x，解:?y=f(x)=3sin()=3sin(+2) ,x，3333
22,,2(3)x，，x，， =3sin()=3sin[] ,,3333
= f(x+3) ,
这就是说，当自变量由,增加到x+3，且必增加到x+3时，函,,数值重复出现。
2,x，?函数y=3sin()的周期是T=3。 ,33
66例2:求f(x)=sinx+cosx的周期
,,,66解?f(x+)= sin(x+)+ cos(x+) 222
66 = cosx +sinx= f(x)
,66?f(x)=sinx+cosx的周期为T= 2
sinx，sin3x例3:求f(x)=的周期 cosx，cos3x
,,sin(x，)，sin3(x，)解:?f(x+)= ,cos(x，,)，cos(x，,)
,sinx,sin3x= ,cox,cos3x
sinx，sin3x= cosx，cos3x
= f(x)
sinx，sin3x?求f(x)=的周期:T= ,cosx，cos3x
2(公式法:
,x，,,x，,(1)如果所求周期函数可化为y=Asin()、y=Acos()、
,,,x，,,,tg()形成(其中A、、为常数，且A0、,0、,,
,,,22,R)，则可知道它们的周期分别是:、、。 ,,,,
例4:求函数y=1-sinx+cosx的周期 3
13解:?y=1-2( sinx-cosx) 22
,, =1-2(cossinx-sin cosx) 33
, =1-2sin(x-) 3
这里=1 ?周期T=2 ,,
13例5:求:y=2(sinx-cos3x)-1 22
13解:?y=2(sinx-cos3x)-1 22
, =2sin(3x-)-1 6
,2这里=3 ?周期为T= ,3
,3x例6:求y=tg(1+)的周期 5
,,335解:这里=，?周期为:T=/= ,,355
(2)如果f(x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化
成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。 ,,,
例7:求f(x)=sinx?cosx的周期
1解:?f(x)=sinx?cosx=sin2x 2
这里=2，?f(x)=sinx?cosx的周期为T= ,,
2例8:求f(x)=sinx的周期
1,cos2x2解:?f(x)=sinx= 2
2而cos2x的周期为，?f(x)=sinx的周期为T= ,,
注:以上二题可以运用定义求出周期。
66例9:求y=sinx+ cosx的周期 ,,
解:原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。
66?y=sinx+ cosx ,,
224224 =(sinx+ cosx)(sinx-sinx?cosx+ cosx) ,,,,,,
22222 =( sinx+ cosx)-3 sinx?cosx ,,,,
22 =1-3 sinx?cosx ,,
32 =1- sin2x ,4
53 =+cos4x ,88
,,2而cos4x的周期为T==, ,4,2,
,66?y= sinx+ cosx的周期为T= ,,2,
22例10:函数y=3sinx-2sinx?cosx+5cosx的周期。 3
解:利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。
2 ?y=3sin2x-2sinx?cosx+5cosx 3
2 =3-2sinx?cosx+2cosx 3
=3-sin2x+cos2x+1 3
13 =4+2(cos2x-sin2x 22
, =4+2cos(2x+) 3
,222,, ?y=3sinx-2sinx?cosx+5cosx的周期为T= 323(定理法:
如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是:函数
f(x)=f(x)+f(x)，而f(x)的周期为T, f(x)的周期为T，则f(x)121122
的周期为T=PT=PT，其中PPN，且(P、P)=1 ,21121、212
TP11事实上，由(既约分数)，得T= PT=PT ,2112TP22
?f(x+ PT)=f(x+ PT)+f(x+ PT) 12112212
=f(x+ PT)+ f(x+ PT) 121212
= f(x)+ f(x) 12
=f(x)
?PT是f(x)的周期，同理PT也是函数f(x)的周期。 1221
例11:求函数y=tg6x+ctg8x的周期。
,,解:?y=tg6x的周期为T=，tg8x的周期为T= 1268
TP411由PT= PT，得==，取P=4，P=3 1221123TP22
, ?y=tg6x+ctg8x的周期为T= PT=。 122
例12:求函数y=sin2x+sin3x的周期
,2解:?sin2x的周期为T=，sin3x的周期为T= ,123
T31而=，即是T=2T=3T， 122T2
?y=sin2x+sin3x的周期为T=2T=2 ,1
xx例13:求函数y=cos+sin的周期 34
xx,解:?cos的周期为T=6，sin的周期为T=8 12,34
,T631而，即是T=4T=3T ,,12T8,42
xx, ?y=cos+sin的周期为T=3T=24。 234
xx,,类似，y=sin-2sin的周期为T=30，y=tg3+2ctg2的周期为,53
,T=。
由上述各例可知:尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、
认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。
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