裂项相消_倒序求和_错位相减_迭加_迭代_迭乘。综合讲解

裂项相消_倒序求和_错位相减_迭加_迭代_迭乘。综合讲解 《数列》复习与训练新 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 尝试 黄冈中学 吴校红 大家知道，在课本的《数列》一章中，首先介绍了数列的有关概念与表示方法，接着介绍了等差数列与等比数列的定义、通项公式、求和公式，最后介绍了数列在分期付款中的应用(教材内容比较少，而且很简单(但是，高考对于这一章的考查既全面，也有一定的深度，基本上已列为选拔优秀学生的重点的考点(因此合理组织好这一章的高考复习成为考生数学能不能得高分的关键因素之一( 过去，我们往往是利用别人已编好的资料按部就班地组织复习，等这一章复习完了的时候，学生们反应数列的题目还是不会做，说心里总是没有底儿，可见收获是甚微的(原因是这些资料上的知识并没有内化为学生的知识(因此，对本章的复习方法我们进行了一些新的尝试，学生反应还不错(下面将我们对《数列》这一章的复习与训练方法做一介绍，以期待起到抛砖引玉的作用( 复习的指导思想是什么呢,可以多倡导学生自我完善知识结构，形成合理的知识体系;必须对教材的重点内容有所提升;在训练上必须做到有条不紊，对各类题型必须网络到边到角;加强对热点考点进行强化训练;突出数列这一章中的重要思想方法的讲解与训练的力度( 那么，如何合理对这一章的复习进行规划与实施呢,针对上面的指导思想，我们将这一章的复习划分为以下四个部分: 第一部分 用类比法归纳《数列》的基础知识 回顾等差数列、等比数列的定义，可以看出，将等差数列的定义中的“差”改为“比(商)”、“公差”改为“公比”即得等比数列的定义(也就是通过类比可以看出“等差数列”与“等比数列”的联系(2004年北京高考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 就出了一道“等和数列”的题目，那么，什么是等和数列，就只需将“等差数列”中定义中的“差”字改为“和”字即可(要有效地把握好这一章的知识可以放手让学生自己去梳理知识、去完善知识体系(老师可以指出，将等差数列的有关知识通过类比就可以得出等比数列的相应知识，好比写对联，只要将“差”改为“商”，将“和”改为积，将“算术平均值”改为“几何平均值”?，等等，即可( 给学生充足的时间，让他们去挖掘本章知识的内涵(可以让 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 得全面具体又突出了重点的学生在班上交流，给学生一个自学为主同时能展示与提升自己的机会与空间( 下面，列举一位总结得比较好的学生的归纳成果: 等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 此外，还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论，这些结论之间不具有对偶关系: 数列双基复习训练(A) (满分:100分 时间:60分种) 一(选择题(共12道小题，每小题5分，共60分) 1(数列1,3,6,10,?的一个通项公式是 ( ) 2 A(n?(n?1) B(n?1 C( 2 n(n?1)n(n?1) D( 22 2(已知数列?an?满足anan?1?an?1?(?1)n(n?2)且a1?1，则 a3 ? ( ) a2 A(, B( 11 C(, D( 42 3(等差数列?an?的首项a1?1，如果a1,a2,a5成等比数列，那么公差d等于 ( ) 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) A(2 B(-2 C(2或0 D(?2 4(数列的前n项和sn?2n2?5n?2，则此数列一定是 ( ) A(递增数列 B(等差数列 C(等比数列 D(常数列 5(凸五边形各内角度数成等差数列，则其中必有一个内角等于 ( ) A(108 B(120 C(90 D(72 6(在a和b(a?b)两数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列公差为 ( ) A( ? ? ? ? b?ab?aa?bb?a B( C( D( nn?1n?1n?2 7(设等比数列?an?的前n项和sn?3n?c, 则c等于 ( ) A(0 B(1 C(2 D(3 8(一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，那么前3n项和为 ( ) A(84 B(75 C(68 D(63 9( 设{an}是等差数列，Sn是前n项的和，且S5 < S6, S6 = S7 > S8，则下列结论错误的是( ) A(d<0 B(a7=0 C(S9>S5 D(S6、S7均为Sn的最大值 10(?an?是一个等差数列且a4?a7?a10?17，a4?a5???a14?77(若ak?13，则,等于 ( ) ,(16 ,(18 ,(20 ,(22 11(等比数列前n项和为Sn,有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是 ( ) ,(S1 ,(S2 ,(S3 ,(S4 12(若相异三数a(b-c),b(c-a),c(a-b)组成以q为公比的等比数列，则q满足的方程是 ( ) A. q2-q+1=0 B、q4+q2-1=0 C、 q2+q+1=0 D、q4+q2+1=0 选择题答题卡(请将以上选择题的答案填入下面的 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 中) 二(填空题(共4道小题，每小题4分，共16分) . 13(在等比数列中，a5?2，则此数列前九项之积为_____ 14(若f?n?1??f?n??4，且f?1??2，则f?100??_____. 15(在等比数列{an}中，a72a11=6, a4+a14=5, 则 a20 =_________. a10 a1?a3?a9 =_________. a2?a4?a10 16(已知等差数列{an}中，a1、a3、a9成等比数列，则 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 三(解答题(共两道小题，每小题12分，共24分) 17(已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，试求这个数列的公比和项数( 18(已知函数y=log2n1(n?N*). x (1)当n=1,2,3,?时，已知函数的图象和直线y=1的交点的横坐标依次记为a1,a2,a3,?. 求证:a1+a2+a3+?+an<1. *(2)对每一个n?N,设An、Bn为已知函数图象上与x轴距离为1的两点，求证:n取任意一 个正整数时，以线段AnBn为直径的圆都与一条定直线相切，并求这 条直线的方程和切点的坐标. 数列双基复习训练(B) (满分:100分 时间:60分种) 一(选择题(共12道小题，每小题5分，共60分) 1(命题甲是“a,b,c成等比数列”，命题乙是“b=?ac”那么 ( ) A(甲是乙的充分非必要条件 B(甲是乙的必要非充分条件 C(甲是乙的充要条件 D(甲不是乙的充分条件也不是必要条件 2(已知等差数列,an,中，a7?a9?16,a4?1,则a12的值是 ( ) 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) A(15 B(30 C(31 D( 64 ,(等比数列,an,中a2,a1=9, a5,a4=576 , 则 a12 的值等于 ( ) a9 A(46 B(64 C( 11 D( 4664 1 为第三3 ,(在?ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以 项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形 5(已知-9，a1, a2,-1四个实数成等差数列;-9，b1, b2, b3,-1五个实数成等比数列，则b2(a2,a1)等于 ( ) A(-8 B(8 C(-6(如果数列,an,的前n项和Sn= 99 D( 88 3 an,3，那么这个数列的通项公式是 ( ) 2 A(an=2(n2+n+1) B(an=3?2n C(an=3n+1 D(an=2?3n 7(若两个等差数列,an,(,bn,前n项和An和Bn满足是 A( Ana7n?1 (n??*)，则11的值? Bn4n?27b11 73478 B( C( D( ( ) 42371 8(已知等差数列前n项和为Sn,若S12>0，S13<0,则此数列中绝对值最小的项是 ( ) A(第5项 B(第6项 C(第7项 D( 第8项 9(已知,an,是等比数列，a1=2,q=3,又第m项至第n项和为720，则m的值为 ( ) A(1 B(2 C(3 D(4 10(在各项均为正数的等比数列,an,中若a4?a7=9,则log3a1+log3a2+?，log3a10等于 ( ) A(8 B(10 C(12 D( 14 11(若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a?b)的四个根可组成首项为 1 的等差数列，则a+b4 31 72 的值是 ( ) A. 3 8 B. 11 24 C. 13 24 D. 12(等比数列中，S10=10，S10=(1+2)S5,则S40等于 ( ) A(150 B(-200 C(150或-200 D( 400或-50 13(等差数列,an,中a3=10, a3,a7,a9成等比数列，则公差d= __________( 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 14(在 1 和4之间插入10个数，使它们成等比数列，则插入10个数的积为 _______( 2 * 15(集合M=m,m=7k+3, k?N, 100<m<200,的所有元素的和为 ( 16(若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”(设,an,是公比为q的等比数列，下列,an,的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第_________组.(写出所有符合要求的组号) ?S1与S2; ?a2与S3; ?a1与an; ?q与an. 这里n为大于1的整数,Sn为,an,的前n项和. 三(解答题(共两道小题，每小题12分，共24分) 17(有4个数，其中第1、第3、第4个数成等差数列，第1、第2、第4个数成等比数列，若首末两个数之和为20，中间两个数之积为80，求这四个数( 18(陈老师购买安居工程集资房一套72m2,单价为1000元/m2，国家一次性补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%(按复利计息)，那么每年应付款多少元,(计算结果精确到 百元，可参考数据:1.075 9? 10 1.921,1.075?2.065,1.07511?2.221)( 数列双基复习训练(A)参考答案 一、选择题 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 13.29(=512) 14.398 15. 3213或 16.1或 2316 三、解答题 17(解: 设该等比数列,an,的公比为q, 项数为2n,则 S奇?a1?a3?a5???a2n?1 偶?a2?a4?a6???a2n?q(a1?a3?a5???a2n?1) 所以,q= S偶S奇 ? 170 =2 85 a1(1?q2n) 又 S偶?S奇?255,所以?255，又已知a1?1 1?q 所以，2 2n ?256,所求数列的项数为2n=8 1n), 2 18(解:(1)易知 an=( 11n?1?() 1?1?()n?1. ? a1+a2+?+an=121?2 1 (2)令y=?1,求得An,Bn两点坐标分别为(n,1)和(2n,,1)，以AnBn为直径 的圆的Cn 2 的方程为 1 )(x?2n)?(y?1)(y?1)?0 n2 112n?n2n?n )2?y2?()2 配方得 (x? 22(x? ?所在圆Cn与y轴相切于原点. 数列双基复习训练(B)参考答案 一、选择题 13.0或? 5 14.32 15.2250 16.?? 4 三、解答题 17(解: 设这四个数分别为a1,a2,a3,a4.依题意有: 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 2a3?a1?a4, 2a2?a1a4, a1?a4?20, a2a3?80. 求得a1?4,a2?8,a3?10,a4?16或a1?16,a2?8,a3?10,a4?4. 18(解:设每年应付款x元.陈老师个人需付款 7231000-28800-14400=28800,由分期付款的知识,可得方程: 28800?(1?7.5%)10?x(1?7.5%)9?x(1?7.5%)8???x (1?7.5%)10?1即 28800 ?(1?7.5%)?x?(1?7.5%)?110 28800?(1?7.5%)10?7.5%所以 x??420. 0(1?7.5%)10?1 答: 陈老师每年应付4200元. 第三部分 用“模式化”方法抓好两个专题的复习 无论是从本章的知识结构还是从高考的命题规律来看，数列问题的研究通常离不开对数列的通项公式与前n项和的研究，所以我们把数列通项公式的求法与前n项和的研究列为本章的两个热点专题(教师仍只是起导学的作用，放手让学生自己去查阅资料，整理出求通项公式的方法与求前n项和的方法( “归纳-猜想-证明”是解决这两类问题的重要方法，除此之外，还要使学生明确针对不同的数列类型,如何选择最快捷的方法来求这个数列的通项或前n项的和,由此要求学生对这两类问题进行专题总结(让学生领 会到“模式分析”、“层次解决”是解决数列问题的基本策略(提倡学生将“模型”与“方法”对应起来，以便在高考中能快速而又准确地解决好数列问题( 教师筛选出学生中较好的归纳总结: 求数列{an}通项公式的方法 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 教师对以上总结在班上给予表扬并加以点评(同时为了巩固求数列的通项与前n项和的 方法，教师还应配备相应的训练题，通过这些训练题进一步加深与完善求数列的通项与前n项和方法: 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 数列的通项公式的求法训练题 (满分:100分 时间:60分钟) 一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分) 1、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是( ) nn，1 A、an= 1,(,1) B、an=1，(,1) 2n?a?2sinn C、2 D、an=(1,cosnπ)，(n,1)(n,2) 2、等差数列{an}中，d为公差，前n项 和为sn=-n2则 ( ) A、an=2n-1 d=-2 B、 an=2n-1 d=2 C、 an= -2n+1 d=-2 D、 an= -2n+1 d=2 3、若数列?an?的前n项和为Sn?n2?2n?3，那么这个数列的前3项为( ) A、-1，1，3 B、2，1，0 C、2、1、3 D、2、1、6 4、数列?an?中，a0?1，an?a0?a1???an?1(n?1),则当n?1时，an?( ) A、2 B、1n(n?1) C、2n?1 D、2?1 2nn 5、数列-1，7，-13，19，?的通项公式( ) nnA、2n-1 B、-6n+5 C、(-1)36n-5 D、(-1)(6n-5) 6、数列{an}满足a1=1, a2=2112，且 (n?2)，则an等于 ( )( ??3an?1an?1an A、2222 B、()n-1 C、()n D、 3n?1n?23 7、在等比数列{an}中(前n项的和为sn，且sn=2n-1则a12+a22+222+an2等于 ( ) A、 (2n-1)2 B、1n2 1(2-1) C、 4n-1 D、(4n-1) 33 8、已知数列{an}中，a1?2,an?1?an?2n(n?N?)，则a100的值是( ) A、9900 B、9902 C、9904 D、11000 9、已知数列{an}中，a1?1,an?1?an,则这个数列的第n项an为( ) 1?2an 2n?12n?1 11 D、 2A、2n-1 B、2n+1 C、?10、已知数列{an}中，对任意的n?N满足an?2?anan?4,且a3?2,a7?4，则a15的 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 值是( ) A、8 B、12 C、16 D、32 11、设函数f定义如下，数列{xn}满足x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),则x2005的值 A、1 B、2 C、4 D、5 12、把正整数按下图所示的规律排序: 1?2 5?6 9?10? ? ? ? ? ? 3 ?4 7?8 11? 则从2004到2006的箭头方向依次为( ) ? ? 2005? ?2005 A、2005? B、 ?2005 C、 ? D、 ? 二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分) 13、a1??3,an?2an?1?1，则an?________________. 22 14、设数列{an}是首项为1的正数数列，且 (n?1)an?na,2,3,?)，?1n?an?1an?0(n?1 则它的通项公式是_______________. 15、设数列{an}满足a1? 411 ，a2?,an?an?1?(an?1?an?2)(n?3)，则数列{an}333 的通项公式为an,_________________. 16、a1?1,an?1?3an?2n，则an?_________________. 三、解答题(共24分) 17、(12分)写出下列数列的一个通项公式 2345614916 ? ，，?，，?，? (2)， 35251017381524 35917 (3)7，77，777，7777，? (4)，，，,? 2416256 (1)? 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 18、(12分)已知数列?an?中，a1?试求通项公式an. 1 ，前n项和Sn与an的关系是Sn?n(2n?1)an ，3 数列的通项公式的求法训练题参考答案 一、选择题 n 二、填空题 13、?2?1 14、三、解答题 1111n?2nn 15、an????() 16、3?2 n623 n2n?1 17、(1)an?(?1)? (2)2 2 n?1(n?1)?1 n 72n?1n (3)an??(10?1) (4)an? n?1 292 18、解:首先由Sn?n(2n?1)an易求递推公式: (2n?1)an?(2n?3)an?1,? an2n?3 ? an?12n?1 ? an?12n?5a1 ????2? an?22n?1a15 将上面n—1个等式相乘得: an(2n?3)(2n?5)(2n?7)?3?13?? a1(2n?1)(2n?1)(2n?3)?7?5(2n?1)(2n?1)?an? 1 . (2n?1(2n?1) 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 求数列{an}的前n项和的方法 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 数列的求和训练题 (满分:100分 时间:90分钟) 一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分) 1、数列{a n}的通项公式是a n = A(11 B(99 1n?n?1 (n?N*),若前n项的和为10,则项数为 ( ) C(120 D(121 2、数列{an}中,a1= ,60,且a n+1 =an + 3,则这个数列的前30项的绝对 值之和为 ( ) A(495 B(765 C(3105 , ,1 D(120 的结果是 ( ) 3、化简S n = n+(n,1)32+(n,2)32 2+??+232 n2+2 n A(2 n+1+2,n,2 B(2 n+1,n+2 D(2 n+1,n,2 C(2 n,n,2 4、若数列{an}是公差为+a 99 的值是 1 的等差数列,它的前100项和为145, 则a1 +a3+a5+? 2 ( ) D(120 A(60 B(72.5 C(85 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 5、数列1,(1+2),(1+2+22),??(1+2+2 2+?+2 n1),??前n项的和是 , ( ) A(2 n B(2 n,2 C(2 n+1,n,2 D(n2n 6、设数列{x n}满足logax n+1 =1+ log a x n ,且x 1+x 2 +?? +x 100 =100, 则x 101+x 102 +??+x 200的值为 A(100a B(101a 2 C(101a 100 D(100a 100 ( ) ( ) 7、已知数列{a n}的前n项的和S n = n 2,4n+1,则|a 1|+|a 2|+??+|a 10| 的值是 A(56 B(61 C(65 D(67 8、已知f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1) =2,则f(1)+f(2)+??+f(n)不能是 A(f(1)+2f(1)+?+nf(1) B(f[ ( ) n(n?1) ] 2 C(n(n+1) D(n(n+1)3f(1) 9、将一条宽为5cm的长纸条绕在一个直径为2cm的厚纸筒上,共绕了 600圈,成为一个直径为10cm的圆筒,这条纸条的长度是 ( ) A. 36?m B. 45?m C. 60?m D. 72?m 10、一小球从100m的高处自由落下,每一次着地后又弹回原来高度的 一半,当它第10次落地时,小球共经过的路程是 ( ) A. 299 19253945 B. 299 C. 299 D. 299 64646464 11、若等差数列?an?中, a2n4n?1S ,则 2n? ( ) ? an2n?1Sn A.4n B.4 C.2n D.2 12、已知数列?an?的前n项和Sn= 1 an?1,n?N，那么a2?a4???a2n??的值是 3 ( ) (A)—3 (B)—1 (C)3 (D)1 一、选择题答题卡(请将选择题的答案直接填入下面的表格中) 二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分) 13、{a n}是等差数列，且a n ?0,则 111 + +??+ = _________. anan?1a1a2a2a3 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) ?5n?1(n为奇数)14、数列{an}的通项公式为an = ? 则数列的前2m项的和S2m = ??n?22(n为偶数)?? __________. 15、求和:Sn?1?2?3?2?3?5???n(n?1)(2n?1)=_________________. 16、设数列?an?是公差为d，且首项为a0?d的等差数列，求和: 01n=______________________. Sn?1?a0Cn?a1Cn???anCn 三、解答题(共24分) 17、(12分)已知等比数列前,项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和. 18、(12分)n2(n?4)正数排成n行n列 a11,a12,a13,?a1n a21,a22,a23,?a2n a31,a32,a33,?a3n ??????? an1,an2,an3,?ann 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知 13a24?1,a42?,a43?,求a11?a22?a33???ann的值( 816 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 数列的求和训练题参考答案 一、选择题 二、填空题 13、 1n2m?1 ?m?2 15、n(n?1)2(n?2) 14、5m?2 2a1an?1 16、(n?2)2n?1d 三、解答题 17、解:? 数列{an}为等比数列，?Sn，S2n,Sn,S3n,S2n，?，也成等比数列，公比为n q，于是，问题转化为已知A1=2, A1qn+A1q2n=12, 要求 A1q3n+A1q4n+A1q5n的值( 由前面两式相加，解得:q2n+qn+1=7 ? qn=2或qn=-3 n ??112(q?2) ? A1q3n+A1q4n+A1q5n=A1q3n(1+ qn+ q2n)=2 q3n(1+7)=14(qn)3=? n ??378(q??3)? 18、略解:依题意，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，设这个公比为q，又设第一行组成的等差数列的公差为d，可得方程组: ? ?a24?(a11?3d)q?1? 11? ?a42?(a11?d)q3??a11?d?q? 82? 13?3 a??dq?43?816? S?a11?a22?a33???ann ? 12n ?2???n 222112n?S?2?3???n?1 2222 两式相减得: 1111nS??2???n?n?122222 1n?1?n?n?1 22 ?a11?a22?a33???ann?2? 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 2?n ( n 2 第四部分 深化数列中的数学思想方法 一直以来，数列总是高考考查的必考与重点考查的内容之一.那么高考在这一部分有没有一定的命题规律呢?有!这体现在高考对数列的考查体现了以下的五个亮点,这五个亮点体现了对课本中的数列部分所渗透的数学思想与方法的考查: 一、联想与类比 数列部分的基础知识是等差数列与等比数列这两种特殊的数列(将等差数列的定义与等比数列的定义进行类比分析，可得出其中的对偶关系:“相加”对“相乘”、“相减”对“相除”、“和”对“积”、“差”对“商”(利用这些对偶关系，我们就像写对联一样，可以由等差数列中的有关结论轻松地得出等比数列中的相关结论(例如:在等差数列中,距首末两端等距离的两项的和相等.对偶地有:在等比数列中,距首末两端等距离的两项的积相等. 【例,】(2000年上海高考题)在等差数列,an,中，若a10=0,则有 等式a1+a2+a3+? *+an= a1+a2+a3+?+a19-n(n<19,n?N)成立.类比以上性质，相应地:在等比数列中，若b9=1, 则有等式____________________________成立. 【解析】我们从更一般的角度来分析等差数列,an,.由题设,如果ak=0,那么有 *a1+a2+a3+?+an= a1+a2+a3+?+a2k-1-n(n<2k-1,n?N)成立.又如果k+n=p+q,其中k,n,p,q是自 然数.对于等差数列,an,有ak+an=ap+aq;对于等比数列,bn,有bkbn=bpbq.这样我们可以得出结论: 如果bk=1,则有等式 *b1b2b3?bn= b1b2b3?b2k-1-n(n<2k-1,n?N) 成立.结合本题k=9. 2k-1-n=239-1-n=17-n. *于是应填:b1b2b3?bn= b1b2b3?b17-n(n<17,n?N). 【点评】本题是一道小巧而富于思考的妙题.主要考查观察分析能力,抽象概括能力,考查运用联想与类比的思想方法由等差数列,an,而得到等比数列,bn,的新的一般性结论.有关这方面的详细总结请详见前面的《等差数列与等比数列的有关知识比较一览表》( 二、递归与递推 如果知道数列的前一项或前几项,并且知道递推公式,就可以递推地把所有项都找出来,这就是递推法.因为后面的项总是归结(返回)到用前面的 项表示,所以也叫递归法. 【例2】已知 0000S0=1+2+3+??+n=n(n的一次式) S1=1+2+3+??+n= 2222n(n?1)(n的二次式) 2求:S2=1+2+3+??+n=? 【解析】为了递归用S0，S1表示S2，须找到一个递推公式.猜想S2是n的三次式，于是想到简单的恒等式 332(n+1)=n+3n+3n+1 332移项得 (n+1)-n=3n+3n+1 (递推公式) 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) n-1)=3(n-1)+3(n-1)+1 于是有 n-( ???????????????? 332 3-2=322+322+1 332 2-1=321+321+1 叠加，消去相同项，得 3(n+1)-1=3S2+3S1+S0(递推公式) 332 13[(n+1)-1-3S1-S0] 3 1n(n?1)3 =[(n+1)-1-32-n] 32 132 =(2n+3n+n) 6 1 =n(n+1)(2n+1). (n的二次三项式) 6? S2= 【点评】由此可见，递推法不仅能用于证明递归数列命题的结论，而且能用于寻求结论. 【例3】(2005年，北京模拟)猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个(第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个(以后第天早上都吃前一天剩下的一半后还要吃一个(到第十天早上想吃时，见只剩下一个桃子了(求第一天共摘了多少个桃子, 【解析】设从第一天开始顺次每天还没有吃时的桃子数组成的数列为,an,，由题意可得 ?a10?1? ?1an?1?an?1?2? 设a1?x，由前面介绍的求通项的方法可以求得an?(x?2)() ? a10?(x?2)()?2?1 解得 x?1534 即第一天猴子共摘了1534个摘子( 【点评】由上面的递推关系可得an?2an?1?2，已知a10可求a9，已知a9可求a8，?，由此可求出a1，这就是递归法(研究数列的通项的思想其实就是递归的思想( 三、猜想与论证 如果一个命题的特殊情况甚多，不便于用穷举归纳法，这时往往先研究少数(或个别)情况以求得结论，这就是不完全归纳法.这种方法虽然结论不一定正确,但对发现规律,得到正确结论有重要帮助作用.对猜想的结论只要加以严密的论证,就保证了猜想结论的正确性. 【例4】已知各项都是正数的无穷数列,an,满足以下条件: *a1=1,an+1>an(n?N); 22*an+1+an-2an+1an-2an+1-2an+1=0(n?N) 求数列,an,的通项公式 【分析】在递推公式中,依次令n=1,2,3,同时注意到题设告诉我们该数列是递增的正项数12n?1?2 129 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 2列,可以求得a2=4,a3=9,a4=16,由此可以猜想:an=n;如果猜想正确,那么an=n,,an,为公 差为1,首项也为1的等差数列,于是只须证明an?1-an=1. 【解】对题设条件变形得: 2(an+1-an-1)=4an 所以 an+1=an+1+2an(为什么) 22即 (an?1)=(an+1) ? an?1-an=1,而a1=1,an+1>an(n?N*) ? 数列,an,为公差为1,首项也为1的等差数列 ? an=1+(n-1)21=n, ? an=n2(n?N*). 【点评】本题如果不事先进行归纳猜想,就很难找到以上的简单解法.正如一位伟人所说:没有大胆的猜想,便没有伟大的发现. 四、顺思与逆思 数列部分中的许多重要结论,把它们作为一个个的命题,那么在这些真命题中,有的逆命题是成立的,但有的逆命题是不成立的.平常,我们要自觉地多加以思考.我们知道,如果一个数列是等差数列,那么它的前n项和公式为:Sn= 式为:Sn=1n(a1+an);反过来,如果一个数列的前n项和公21n(a1+an),那么这个数列是不是等差数列呢,这就是1995年的一道文科高考压轴题,2 回答是肯定的.再如,我们知道,两个等差数列的对应项的和组成的新数列仍为等差数列,那么两个等比数列的对应项的和组成的新数列是不是等比数列呢?这便是2000年的一道高考探索题,需要我们进行分类与讨论后才能做出正确的回答.高考对我们的要求是,要求我们能够进行主动性的学习,所以平常我们要养成自觉地提出问题,分析问题与解答问题的好习惯. 【例5】(2004年高考题2湖北卷)已知数列,an,的前n项和 Sn=a[2-(1n-11n-1)]-b[2-(n+1)( )](n=1,2,3?)，其中a、b是非零常数.则存在数列,xn,、22 ,yn,使得 (A) an=xn+yn,其中,xn,是等差数列，,yn,是等比数列 (B) an=xn+yn,其中,xn,和,yn,都是等差数列 (C) an=xnyn,其中,xn,是等差数列，,yn,是等比数列 (D) an=xnyn,其中,xn,和,yn,都是等比数列 2 【解析】等差数列的前n项和的一般形式为Sn=An+Bn;等比数列在公比不等于1(公比等 n于1时可把它当成等差数列对待)的时候，其前n项和的一般形式为Sn=C-C2q(C?0).因为两 个等差数列的对应项的和组成的新数列仍为等差数列，故应排斥(B);又因为两个等比数列 2n的对应项的积组成的新数列仍为等比数列，故应排斥(D);假设选(A),则Sn= An+Bn+ C-C2q(C ?0),对比条件分析知必有A=0且B=0,于是 a[2-(1n-11n-1n)]-b[2-(n+1)( )]= C-C2q(C?0),22 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 此不可能,排斥(A);所以选(C). 【说明】顺思与逆思也就是要求我们注意运用逻辑分析的方法去分析问题与解决问题,要注意命题的等价形式,如一个命题的原命题与它的逆否命题是等价的,而当一个命题为真命题时,它的逆命题却不一定为真;要注意正难则反的思维策略,??，如此等等. 五、求和与放缩 由于高等数学学习对数列知识的要求，加之数列知识是一块只有调整未作删减的内容，高考命题组的高校教师热衷于不等式与递归数列的综合应是十分正常的，这类命题能较好体现课本知识内容与能力要求的关系，复习中应该是一个重点，同学们必须明确对这类问题的三种处理方法(一是利用转化，化归为等差或等比数列问题解决;二是可能借助数学归纳法解决;三是可望求出通项公式后一般性解决)(数列与不等式的综合通常涉及数列求和问题,有的题中的和式不能事先求和,但放缩以后的式子可能可以求和,求和方法通常有两种,一是直接利用等差或等比数列等求和公式,二是裂项求和、分组求和、错位相减求和等.有关数列的求和方法请详见前面的《求数列{an}的前n项和的方法》( 这里特别要提到的是,高考中数列的求和问题常与不等式相结合,一类是可求和型的,例如《数列双基复习训练(A)》中的第18题的第(1)题，这类问题比较简单，能够求和的就直接求和后再去证明所要证明的不等式。另一类是不可求和的数列求和的不等式的证明问题，解决这类问题要通过 放缩以后才能够证明，目的是将不可求和的数列问题通过放缩转化成可以 求和的数列问题( 【例,】在xoy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),???,Pn(xn,yn),?对每个自然数n,点Pn位于函数y?x2(x?0)的图象上(以点Pn为圆心的?Pn 与x轴都相切，且?Pn与?Pn?1又彼此外切(若x1?1,且xn?1?xn (n?N)( (1)求证:数列{1}是等差数列; xn 3 2(2)设?Pn的面积为Sn，Tn?S1?S2?????Sn, 求证:Tn? y Pn Pn+1 x o 2【解】(1)依题意，?Pn的半径rn?yn?xn，??Pn 与?Pn?1彼此外切， ?PnPn?1?rn?rn?1 ?(xn?xn?1)2?(yn?yn?1)2?yn?yn?1 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 两边平方，化简得 (xn?xn?1)2?4ynyn?1, 22 即 (xn?xn?1)2?4xnxn?1, ?xn?xn?1?0， ?xn?xn?1?2xnxn?1 11??2(n?N)， xn?1xn ? 数列{1}是等差数列( xn 111??(n?1)?2?xn?， xnx12n?1(2) 由题设，x1?1，? Sn??rn2??yn2??xn4?? (2n?1)4， Tn?S1?S2?????Sn ?[1?111????] 22235(2n?1) 111????] 1?33?5(2n?3)?(2n?1) ?[1? 1111 2335 11 ,[1?(1?)] 22n?1 ? ,{1?[(1?)?(?)???(11?)]} 2n?32n?133( ??22(2n?1)2 【点评】本题综合性极强，是考知识、考能力的好题，要求同学们多多回味，理科学生要加强这方面的训练. 【例,】(2005年高考,湖北卷) 已知不等式1111?????[log2n]，其中n为大于223n2 的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数(设数列{an}的各项为正，且满足 a1?b(b?0),an?nan?1,n?2,3,4? n?an?1 (I)证明:an?2b,n?3,4,5? 2?b[log2n] 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) (II)猜想数列{an}是否有极限,如果有，写出极限的值(不必证明); (III)试确定一个正整数N，使得n>N时，对任意b>0,都有an?1. 5 【解析】本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想(第(I)问实质是要求考生找第n项与第1项的不等关系，所以要通过研究相邻两项的不等关系入手， ?1?将已知条件进行合适的变形，构造新数列??后用累加法 ?an? 11111111??(?)?(?)???(?)即可得到所要证的不等式;第(II)问ana1a2a1a3a2anan?1 可直接利用第(I)问的结论，由于当n趋向于无穷大时，[log2n]也趋向于无穷大，所以式子an?2b,n?3,4,5?右边的极限趋向于0，而数列{an}的各项为正，所以数列{an}2?b[log2n] 1，这里所找的一个条件没有要求是充要条件，所以只给出一个充分条件即可，N的值5的极限为0;第(III)问的意思的要求考生找出某一项，使得对于这一项以后的各项都有an? 应该是不唯一的，体现了命题者对考生的人文关怀(我们可以来看一下下面的一种解法，在逻辑上也是很合理的，因而也是正确的( 欲使an?11111，即要求?5(由于n?2时，??，则n?2时，有 5ananan?1n 11111111??(?)?(?)???(?)ana1a2a1a3a2anan?1 ?1111?????b23n 1 2 111???)??5??(*) 3nb 111而使(*)式恒成立的一个充分条件可以是?????5成立( 23n 1111由于??2??, 3442 111111 ????4??， 567882 11111????8??， ?91016162即只需对一切b?0都有(? ?????????? 111119?????2?? 29?129?22102102 将以上各不等式两端相加可知，可取N=210-1=1023( 【点评】N除了可取1023外,还可取比1023更大的值.这道题目中给出的数列的相邻两项 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 的关系不是以等式的形式给出的,那么要用递归或递推的方法去求出它的通项是完全行不通的,所以解题的关键就是合理把握好放缩与求和的关系-是先求和再放缩还是先放缩再求和. 2004年与2005年高考数列新题型强化训练 (时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题(共12个小题,每小题5分,共60分) 1((04年，全国)等差数列{an}中，a1+a2+a3=,24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项的和为 ( ) A(160 B(180 C(200 D(220 2((04年，全国)设数列{an}是等差数列，且a2=,6，a8=6，Sn是数列的前n项和，则 A(S4,S5 B(S4=S5 C(S6,S5 D(S5=S6 ( ) 3((05年，安徽)已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+?+an?1(n?1)，则当n?1时an= A(2 n B(1 2n(n+1) C(2n?1 D(2,1 ( ) n 4((04年，湖南)数列{an}中，a1=16*，an+an?1=n?1(n?N)，则lim(a1+a2+?+an)n??55 1 4 = ( ) A(2 5 B(2 7 C( D(4 25 5((04年，全国)?ABC中，a、b、c分别是?A、?B、?C的对边， 如果a、b、c成等差数列，?B=30?，?ABC的面积为3 2，那么b= ( ) A(1? 2 B(1+3 C( 2?3 2 D(2+ 6((04年，重庆)若{an}是等差数列，首项a1,0，a2003+a2004,0， a20032a2004,0，则使前n项和Sn,0成立的最大自然数n是 ( ) A(4005 B(4006 C(4007 D(4008 7((05年，全国)如果a1，a2，?，a8为各项都大于零的等差数列， 公差d?0，则 ( ) A(a1a8,a4a5 B(a1a8,a4a5 C(a1+a8,a4+a5 D(a1a8=a4a5 8((05年，江苏)在各项为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三 项和为21，则a3+a4+a5 = ( ) A(33 B(72 C(84 D(189 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 9((05年，湖南)已知数列{log2(an,1)}n?N*为等差数列，且a1=3， a2=5，则 lim( n?? 1 a2?a1 + 1a3?a2 +?+ 1 )= ( ) an?1?an C(1 D( A(2 B( 32 1 2 (n?N)，则a20= ( ) * 10((05年，湖南)已知数列{an}满足a1=0，an?1= an?3an?1 A(0 B(? C( D( 2 11((05年，辽宁)一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意 a1?(0，1)由关系式，则该函数的图象是 ( ) an?1=f(an)得到的数列{an}满足an?1,an(n?N*)A B C D 12((05年，广东)已知数列{xn}满足x2= x1 2 ，xn= 1 (xn?1+xn?2)，n=3，4，?，若limxn=2， n??2 则x1= ( ) A( 3 2 B(3 C(4 D(5 二、填空(共4个小题,每小题4分,共16分) 13((05年,天津)在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an?2,an=1+(?1)(n?N*)，则 n S100=_________. 14((05年，江西)将1，2，3，?，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为________. 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 15((05年,北京)已知n次多项式Pn(x)=a0x+a1xnn?1+?+an?1x+an，如果在一种算法中， k计算x0(k=2，3，4，?，n)的值需要k,1次乘法计算，P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算Pn(x0)的值共需要___________次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法:Pn(x)=a0，Pk?1(x)=xPk(x)+ak?1(k=0，1，2，?，n,1)，利用该算法计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要_________次运算. 16((05年,上海)用n个不同的实数a1，a2，a3，?，an可得到n～个不同的排列，每个排列为一行写成一个n～行的数阵，对第i行ai1，ai2，?，ain，记bi=,ai1+2ai2,3ai3+?+(?1)nnain，i=1，2，3，?，n～.例如用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列系数之和都是12，所以b1+b2+?+b6=,12+2 312,3312= - 24(在用1，2，3，4， 5形成的数阵中b1+b2+b3?+b120=________. 三、解答题(共2个小题,每题12分,共24分) 17((05年，重庆)数列{an}满足a1=1，且an?1=(1+ (1)用数学归纳法证明:an?2(n?2). 11)+ann2?n2n(n?1). (2)已知不等式ln(1+x),x对x,0成立，证明:an,e(n?1)，其中e=2.71828? 2 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 18((05年，浙江)设点An(xn，0)，Pn(xn,2n?1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bn(n?N*)，其中an=,2,4n,1 2n?1，xn由以下方法得到:x1=1，点P2(x2,2)在抛物线C1:y=x+a1x+b1上，2 点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，?，点Pn?1(xn?1,2n) 在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上，点An(xn，0)到Pn?1的距离是An到Cn上点的最短距离. (1)求x2及C1的方程; (2)证明{xn}是等差数列. 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 2004年与2005年高考数列新题型强化训练 一、选择题 二、填空题 13、2600 14、 1n(n?3) ;2n 16、-1080 15、 256 三、解答题 17、证明:(1)当n=2时，a2=2?2 假设当n=k时，ak?2成立 则当n=k+1时 ak+1= (1? 11 )a?> ak?2 k2k k?k2 即当n=k+1时，an?2也成立 故对一切n?2，有an?2. (2)?an+1 = (1+ 1111 ?(1??)an )a + n n2?n2nn2?n2n 11 ?n)an] ?lnan?1?ln[(1?2 n?n2 11 ?n) ?lnan?ln(1?2 n?n2 ?lnan??lnan?1?lnan?? 11 +n n(n?1)2111?+n nn?12 lnan?lnan?lnan?1?lnan?1?lnan?2???lna2?lna1?lna1 11111111??????1??(?2???n?1)n?1nn?1n?2222211?1??1?n n2 ?2? ? an?e2 18、解:(1)?a1 = -7 ?C1: y=x2 – 7x + b1 ?点P2(x2,2)在抛物线C1 ? 2=x22 – 7x2 + b1 设d为A1到C1上点的(x,y)的距离，d2 =(x-1)2 + y2. 记 f(x) = (x-1)2 + y2 ,则 f′(x) = 2(x-1) + 2yy′=2(x-1) + 2(x2 -7x + b1)(2x - 7)，f′(x2) = 0 ?(x2 - 1)+ (x22 – 7x2 + b1) (2x2 - 7) = 0 ? x2 = 3 ， b1 = 14 ? C1: y = x2 – 7x + 14 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) (2)证明:?Pn?1(xn?1,2n)在抛物线Cn: y=x2+anx+bn上， ?2n = xn+12 + anxn+1 + bn 设d为An到Cn上点的(x,y)的距离d2 = (x-xn)2 + y2,记f(x) = (x-xn)2 + y2,则 f′(x)=2(x-xn) + 2y2y′ =2[x-xn + y2(2x + an)] 由于f′(xn+1)=0 ? xn+1 - xn + 2n (2xn+1 + an)=0 ? (1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0 由(1)可猜想，xn = 2n-1 用数学归纳法可以证明{xn}为等差数列(略)( 《数列》复习与训练新方案尝试(共33页) 2005年10 月