共形几何代数_几何代数的新理论和计算框架

共形几何代数_几何代数的新理论和计算框架 和广泛应用1 本刊特邀李洪波博士撰文对 C GA 进行简要 、系统的介绍 ,包括基本理论框架 、实际计算的方法 以及在图形学和计算机视觉等领域的应用1 本文是系列文章的第一篇 ,介绍 C GA 的理论框架1 () 共形几何代数建立了经典几何统一的代数框架 ,实现了用几何语言直接 脱离坐标进行几何计算 ,给出 了几何对象的稳定 、快速 、高效的算法 ,为某些高新技术问题的解决提供了新的数学工具1 C GA 现已成为国际几何代数研究的主流1 自 2001 年问世以来 ,已有 100 余篇研究和应用共形几何代数 的文章 问 世1 在 若 干 重 要 的 国 际 会 议 上 , 如 S I GGRA P H 2000 、2001 、2003 , DA GM 2003 , Game Developers Co nference 2003 , Eurograp hics 2004 等 ,共形几何代数多次作为专题讲座被介绍1 C GA 得到国际学术界的高度评价1 几何代数创始人 Hestenes 教授称赞 :共形几何代数的出现 ,是几何代 数领域的“重大突破”,将在许多应用科学领域发挥作用1 德国模式识别学会副主席 So mmer 教授认为 : 共形 几何代数是近几年计算机视觉中最强大的新的代数工具1 C GA 目前正在被美 、英 、德 、意 、日等国的学者应用于计算机图形学 、计算机辅助设计 、计算机视觉 、动 画 、机器人等高技术领域 ,以及数学 、理论物理 、宇宙学等基础研究领域1 本刊希望通过这一系列文章的介绍 ,引起国内读者的关注和兴趣 ,对这一新的数学工具有所了解 ,并将 其成功应用于相关的高技术领域1 ()参阅网页 ht tp :ΠΠwww . mmrc. iss. ac. cn“共形几何代数”的国际反响 共形几何代数 ———几何代数的新理论和计算框架 李洪波 ( )中国科学院数学机械化重点实验室 北京 100080 ( )hli @mmrc1iss1ac1cn 摘 要 共形几何代数是一个新的几何表示和计算工具1 作为几何的高级不变量和协变量系统的结合 ,它为经典几 何提供了统一和简洁的齐性代数框架 ,以及高效的展开 、消元和化简算法 ,从而可以进行极其复杂的符号几何计算 , 在几何建模不计算方面表现出很大的优势1 主要讲述共形几何代数的产生背景和意义 ,共形几何代数的数学理论和 它最有特色的几个部分 ,包括 Grassmann 结构 、统一几何表示和旋量作用 、基本不变量系统和高级不变量系统 、新的 计算思想 、展开和化简技术等1 关键词 共形几何代数 ;几何语言 ;几何建模 ;几何计算 ;零括号代数 中图法分类号 O151124 ; TP30116 Conf ormal Geometric Algebra —A Ne w Fra me work f or Computat ional Geometry Li Ho ngbo ( )Key L aboratory of M at he m at ics Mecha ni z at ion A M S S , Chi nese A ca de m y of S ciences , Bei ji n g 100080 ( ) 2 Co nfo r mal Geo met ric Algebra C GAis a new tool fo r geo met ric rep resentatio n and co mp utaAbstract tio n1 As an integratio n of advanced geo met ric invariant s and covariant s systems , C GA p rovides a unified and co mpact ho mogeneo us algebraic f ramewo r k fo r classical geo met ries , toget her wit h a set of effective algo2 rit hms fo r expansio n , eliminatio n and simplificatio n , w hich enables it to carry o ut ext remely co mplicated symbolic geo met ric co mp utatio ns , and be used quite advantageo usly in geo met ric mo deling and co mp uting1 - - - - 收稿日期 :2005 04 19 ; 修回日期 :2005 06 24 This is t he first of a series of papers dedicated to t he int ro ductio n of C GA1 The paper focuses o n t he back2 gro und and impo rtance of C GA , t he mat hematical t heo ry and several mo st impo rtant feat ures , including t he Grassmann st ruct ure , t he universal geo met ric rep resentatio n and spin o r actio n , t he basic invariant system and advanced invariant system , t he new idea in co mp uting , t he expansio n and simplificatio n techniques , etc1 Key words co nfo r mal geo met ric algebra ; geo met ric language ; geo met ric mo deling ; geo met ric co mp uting ; null bracket algebra )1 建模1 几何的代数表示1 )2 0 什么是共形几何代数计算1 代数处理的算法1 )3 还原1 代数结果的几何解释1 ( 共形 几 何 代 数 Co nfo r mal Geo met ric Algebra , 同一个几何问题可以有各种各样的代数表示1 1 ) C GA,最初被称作广义齐次坐标,是一个新的几 如果一个代数表示没有任何外部参照物 ,则有可能 何表示和计算系统1 作为几何的高级不变量和协变 用“真正的几何语言”直接进行几何计算1 对于最常 用量系统的结合 ,它为经典几何提供了统一和简洁的 的经典几何 ,如何设计统一的几何语言 ,并用几何 语齐性代数框架 ,以及高效的展开 、消元和化简算法 , 言进行几何计算呢 ? 从而可以用来进行极其复杂的符号几何计算 ,是初 这是一个古老的数学问题 ,它的起源可以追溯 等几何最实用的不变量系统 ,在几何数据处理和几 ) (到 Descartes 17 世纪1 通过引入坐标系 ,即引入 1 何计算方面表现出很大的优势1 个坐标原点和 n 个线性独立的方向 , n 维欧氏空间 共形几何代数现已成为国际几何代数研究的主 可以嵌入到 n 维欧氏向量空间1 这是我们最常用的 流 ,并获得高度重视和广泛应用1 自 2001 年问世以 坐标表示 :坐标系作为纯粹的外部参照物 ,它诱导的 来 ,已有 100 余篇研究和应用共形几何代数的文章 代数表示本身没有几何意义 ,因而在此基础上进行 问世1 在若干重要的国际会议上 , 例如 SI GGRAPH ( ) 的只是纯粹的代数计算1 这是一种解析 analytic的 2000 、SI GGRAPH 2001 、SI GGRAPH 2003 , DA GM 方式1 2003 , Game Developers Conference 2003 , Eurograp hics ( ) 在几何学发展相当长的时间内 ,综合 synt hetic2004 等 ,共形几何代数多次 作 为 专 题 讲 座 被 介 绍1 的方式一直占据主导地位1 这种方式强调从基本几 该项技术目前正在被应用于计算机图形学 、视觉 、几 3 2 (何体和几何关系出发 ,通过几何构造和推断 在某个 等基础研究领域1 学何设 计 、机 器 人 等 高 技 术 领 域 , 以 及 代 数 学 、宇 宙 ) 公理体系内进行几何建模与计算1 在历史上 ,这 2 共形几何代数之所以获得如此的高度重视和广 泛应用 ,是因为它回答了一个古老的数学问题1 这 种几何研 究 方 式 曾 有 过 长 期 的 尖 锐 矛 盾1 作 为 折 个问题最 早 由 微 积 分 的 创 始 人 之 一 L eibniz 提 出 : ) (衷 ,Leibniz 17 世纪提出一个纲领 ,即几何计算能否 4 “如何用几何语言直接进行几何计算 ?”1在目前的 信直接处理几何体 ,从而以一种既解析又综合的方式研 息时代 ,迫切需要数学理论为几何建模提供简洁 、 通究几何学 ? 这个设想在 19 世纪有很大的发展 ,19 世 用的代数表示 ,为几何计算提供快速 、鲁棒的代数 处纪 40 年代至 70 年代的代表人物分别为 Grassmann , 理 ,因而人们对这个问题的解答更加重视1 Cayley , Hamilto n 和 Cliffo rd1 共形几何代数通过建立经典几何的统一协变代 代数一词指具有乘法结构的向量空间 ,该乘法 数表示 ,实现了不变量代数的高效计算 ,从而实现了 对向量的加法和数乘分别具有分配和交换性1 根据 用统一的几何语言进行经典几何计算 ,为高新技术 Grassmann 的观点 , 一个代数如果通过对纯粹几何 中几何问题的解决提供了新的数学工具1 以下对共 的物体进行加 、减 、乘 、除等运算 ,得到的依然是纯粹 形几何代数产生的背景进行简要介绍1 几何的物体 ,这个代数就实现了 L eibniz 的纲领 ,是 应用代 数 方 法 进 行 几 何 计 算 , 需 要 通 过 3 个 一种几何语言1 Grassmann 和 Cayley 建立了后来以 步骤 : 他们的名字命名的向量和多向量的外代数系统1 通 根本不用坐标 ,但当需要使用坐标时 ,可以根据情况 计算1 在此形势下 , 设计真正的几何语言进行几何 选择合适的齐次坐标1 Hamilto n 通过建立四元数系 计算的问题重新引起人们的重视1 从数学理论的发展来看 ,经典几何的基本要素 把微积分推广到向量分析 , 并建立了向量代数1 这 包括几何体 、几何量 、几何关系 、几何变换等 ,它们的 是三维 欧 氏 位 移 空 间 上 的 一 种 几 何 语 言1 Cliffo rd 通过建立对偶四元数 ,实现了三维欧氏空间中刚体 有效表示主要依靠协变量 ,即更大几何空间中的不 变量1 因此 ,几何表示问题的核心是构造合适的协 运动的乘法表示 ,得到比向量代数更接近于几何的 语言1 1879 年 , Cliffo rd 建立了“几何代数”, 即后来 以变量代数1 在基于坐标的几何计算中 , 常常遇到一 他的名字命名的代数 ,它是正交几何的真正几何 语些非常难以实现的几何计算任务 ,迫切需要用不变 5 言1 量代数来实现或简化这些任务 ,因此几何计算问题 要内蕴地表示几何体 ,多向量的原点不能在几 的核心是解决不变量代数的符号计算问题1 那么 , 何空间内 ,因此在真正的几何语言中 ,几何表示一般 这两部分问题的数学理论目前研究的状况怎样呢 ? 是齐性的1 一个几何体的代数表示是齐性的 , 是指 以最古老的欧氏几何为例 , n 维欧氏几何的嵌 任意 2 个表示该几何体的代数式仅相差 1 个非零数 入模型包括 n 维 、n + 1 维 、n + 2 维 、n + 3 维等向量 量因子 ,而且任何这样的代数式与它的非零倍数表 空间1 因为已知前 2 个模型不能构造出欧氏几何的 示同一个几何体1 协变量代数 , 在近 20 年 , 出现了多个基于 n + 2维的 对于最古老的欧氏几何 ,虽然由齐次坐标提供 共形 模 型 构 造 的 代 数 系 统 , 包 括 Möbius 变 换 的 6 7 的表示是齐性的 ,但是无论是 Grassmann 代数中的 Vahlen 矩阵表示, 距离 几 何 的 几 何 代 数 表 示, 8 29 乘法还是 Cliffo rd 代数中 的 乘 法 , 都 不 能 对 齐 性 表 球几何的 Cliffo rd 代数表示 ,Mbius 变换的旋量 ö 10 211 和超旋量表示等1 这些系统尽管对特殊的几何 示下的欧 氏 几 何 变 换 提 供 有 效 的 表 示1 这 一 点 表 问题有出色的表现 ,但是未能解决构造欧氏几何协 明 ,作为 n 维欧氏几何的嵌入空间 , n + 1 维向量空 变量代数的基本问题1 具体地说 , 它们都不存在表 间 还 不 够 大 1 历 史 上 , 大 数 学 家 Gauss 的 学 生 示几何体的 Grassmann 结构和表示几何量的完备括 ) (Wachter 19 世纪 40 年代在研究非欧几何时 ,发现 号系统1 欧氏几何可以在双曲空间的某 类 球 面 上 等 距 地 实 在此需 要 对 协 变 量 代 数 、Grassmann 结 构 和 括 现1 1872 年 ,Lie 在他的博士 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 中 ,首次建立了该 4 号系统做一简要解释1 协变量代数包括 3 个基本成 模型的代数表示1用现在的语言来讲 ,这个模型为 分 :基本协变量 、协变量之间的乘法 、它们之间的代 n 维欧氏几何提供的嵌入空间是 n + 2 维闵氏向量 数关系1 以平面仿射几何为例 , 基本协变量是表示 空间1 由于嵌入空间的正交变换群正好是欧氏空间 点和方向的向量 、表示直线的 22向量和表示平面的 的共形变换群的双层覆盖 ,因而这一模型又称为共 32向量 ,它们组成 Grassmann 结构 ;协变量之间的乘 形模型1 遗憾的是 , 在历史上共形模型长期由坐标 法是 Grassmann 的外积和 Cayley 的交积 ; 协变量之 表示所左右 ,它对构造欧氏几何甚至经典几何的真 间的代数关系是由 Cramer 法则给出的任意 4 个向 正几何语言的贡献长期没有表现出来1 () 量 或 22向量之间的线性依赖关系1 这个协变量代 在 20 世纪相当长的时间内 ,设计真正几何语言 12 数称为二维 Grassmann2Cayley 代数1 对于经典几 的问题陷入了一种沉寂状态 ,未获得多大进展1 20 何 ,有一类以统一 模 式 生 成 的 协 变 量 代 数 , 称 其 为 世纪下半叶 ,计算机科学的发展复兴了一大批长期 13 几 何代 数, 它 有 4 大 基 本 成 分 : 表 示 几 何 体 的 沉寂的代数语言 ,例如 : Grassmann 结构 , 表示几何关系的 Cliffo rd 乘法 , 表 线性代数和矩阵 :数值计算 射影几何 示几何变换的旋量或张量 ,表示几何量的括号1 的齐次坐标 :计算机图形学 对偶四 几何不变量有 2 种主要表现形式 : 坐标多项式 元数 :机器人 () ( ) 用坐标和抽象符号 不用坐标1 仍以平面仿射几 Cliffo rd 代数和几何代数 :理论物理 何为例 , ?123 的面积可以用 3 个顶点的齐次坐标 Grassmann2Cayley 代数 :计算机视觉 () 组成的 3 ×3 行列式表示 坐标多项式,也可以用 3 5 ,6 ,有 变量的几何计算1 其中的 2 个方面 , 一个是代数框 [ 1 234 ] - 2 134 ] + 架 ,一个是计算手 段 , 存 在 大 量 悬 而 未 决 蹬 数 学 问 [ 3 124 ] - 4 123 ] = 0 题 ,不能满足信息时代的迫切需求1 ( )1 [ 156 234 ] - 256 134 ] + 2001 年 , 我们提出广义齐次坐标 , 后来被称为 [ 356 124 ] - 456 123 ] = 0 1 ,16 218 ( ) 共形几何代数 C GA1 它是完全不依赖于坐 平面仿射几何的基本不变量系统就是由 2 种括 标的经典几何的统一语言 ,不仅拥有用于几何建模 ) ( 号 [ 1 ]和 [ 123 ] 即所谓基本不变量生成的多项式 的协变量代数 ,而且拥有用于几何计算的高级不变 () ( 环 ,模去由式 1左端生成的理想 即所谓基本代数 量算法1 在表示方面 , C GA 结合共形模型和几何代 ) 关系得到的商环 ,称为二维仿射括号代数1 数 ,提供了表示几何体的 Grassmann 结构 、表示几何 () 在式 1中 , 括号 [ 1 ] 称为 向 量 1 的 仿 射 括 号 : 变换的统一旋量作用和表示几何量的括号系统1 在 [ 1 ] ?0 当 且 仅 当 1 表 示 仿 射 平 面 上 的 1 个 点 ; 计算方面 ,C GA 拥有新的高级不变量代数 , 即零括 [ 1 = 0 当且仅当 1 表示仿射平面外的 1 个无穷远 ( ) 号代数 null bracket algebra , NBA; 它 拥 有 新 的 计 点 ,即 1 个位移方向1 括号 [ 123 ] 表示三角形 123 的 算思想 ,即基于括号的表示 、消元和展开以得到分解 面积 ;它等于 0 当且仅当 3 点 1 ,2 ,3 共线1 在仿射化 ( ) 和最短的结果 breef s;拥有不变量的展开和化简的 计算中 ,对仿射平面上的任意点 1 ,取值 [ 1 = 1 1 高效计算技术1以下扼要介绍 C GA 的表示和计算两 在符号几何计算中 ,不变量一般采用抽象符号 方面的具体内容1 1 CGA 的表示工具 表示 ,相应的不变量系统就是各种括号代数1 基于 不变量的几何计算研究一直是相当困难 ,进展缓慢1 111 CGA 的 Gra ssmann 结构 目前亟待解决的基本问题包括 : 一个有限维内积向量空间 , 如果在其一组基下 ) 1计算思想问题1 符号计算的关键是控制中间 ( ) 具有度量矩阵 diag - 1 , 1 , 1 , ?, 1, 则称该空间为 过程表达式的爆炸式膨胀 ,基于不变量的几何计算 ( 也不例外1 原有的不变量计算思想是标准化 no r2 闵氏向量空间 , 则称该度量为闵氏度量1 有别于通 ) malizatio n,即通 过 将 一 个 单 项 式 逐 步 展 开 为 多 项 常的欧氏度量 , 在闵氏度量下 , 非零向量不自身的内 15 式 ,化不变量为标准型1 该思想不仅不能控制中 积可以为正 、零 、负 , 相应的向量分别称正 、零 、负向 间过程的爆炸 ,反而助长它的爆炸1 为此 ,必须抛弃 部分原有的思想 ,建立新的计算思想1 ( ) 量1 以二维闵氏向量空间 闵氏平面为例 , 它有一 ) 2基本运算问题1 最基本的代数运算至少包括 ( 对一维 null 向量子空间 即其中每个非零向量不自 展开和化简1 展开通常是指将高级不变量表示为低 ) 身的内积为 01 设 e , e分别是它们的基 , 当 ee?= 0 0 15 级不变量的多项式形式 ; 化简包括因式分解和项的 法,它仅仅解决了是否一个多项式等于零的恒等 - 1 时 , 称{ e , e} 时闵氏平面的一对 Wit t 基1 由于 0 合并 ,旨在(降低表达式的乘法和加法复杂程) 度1 原 性判断 需要指出 ,这是相当不平凡的事情1 对于 2 (λμ) (λμ) (λμ) μλe + e= e + e?e + e= - 2, 因此平面上0 0 0 展开和化简等基本运算 ,在经典不变量代数中从未 ( ) 有 的 不 变 量 计 算 是 基 于 拉 直 st raightening 算 系统地研究过1 λμ任一非零向量 e + e为正 、零 、负 向 量 , 当且仅当 0 ) 3高级不变量问题1 在实际几何问题中出现的 λ< 0 , = 0 , > 01 不变量常常是基本不变量的复杂有理多项式 ,这说 n + 2 维闵氏向量空间 V 上的几何代数 , 记为 明基本不变量用于实际几何计算常常太过低级 ,需 G1 这是一个分级代数 , 级数从 0 到 n + 2 :0 级 n + 1 , 1 要构造高级不变量来简化几何计算1 一个高级不变 部分是数 ; 1 级部分是 V 中的向量 ; r 级部分称为 r2 量可以展开为基本不变量的多项式1 最实用的高级 不变量系统应该满足 : 实际问题中的不变量一般是 ( 向量1 V 中 r 个向量通过外积 即惟一的同时具有多 高级不变量的有理单项式1 ) 重线性 、反交换和结合性的乘法相乘得到所谓 r2 , 如扩张 、相 交 、对 偶 、投 影 等1 在 这 里 的 算 G n + 1 , 1设计真正的几何语言进行几何计算在理论上表 外张量 , 这些 r2外张量的线性组合产生所有的 r2向 现为设计经典几何的协变量代数 ,用来解决基于不 中 , 当 1 < r < n + 2 时 , 1 个 r2外张量 A 具有 3 种度 张 ,Cayley 的交积“ ?表示几何体的”交 , Cliffo rd 的 )( r r - 1 对偶算子“,和正交”投影算子“ P表示几何体”的对 偶和2 )( 1 量规则 :闵氏 、退化和欧氏 , 分别对应于 - 正交投影1 2 A < 0 , = 0 , > 01 G中下面简要介绍算子“ ?”“, ,和”“ P1” n + 1 , 1 几何代数固有的乘法称为几何积1 关于该乘法 ( ) n + 22向量组成一维子空间 , 固定其中 1 个非 的 可逆的 V 中的向量 , 利用该乘法自然生成一个群 , G( ) 零元素 I , 使得| I | = 1 即 | II? | = 11 对 n + 1 , 1称为旋量群1 设 U 是几何代数中的一个旋量 , 则作 , , 中的任意元素 A 和 B , 定义 A= A ?I , A ?B = A3 - 1 | ( ) 用 x ? U xU , 任意 x ?V , 实现了 V 上的一 B?1 当 B 是可逆外张量 ,并且它的级大于 A 的级时 , ( ) 个正交变换 即保内积线性变换1 反之 , 根据经典 - 1 ?, ( ) ( ( ) ( ) ) 定义 PA= AB?B? , P A= PA1 B B B的 Cartan2Dieudo nne 定理 , V 上的任一正交变换都 例如 , 在欧氏平面上 , 一些典型的几何体和几何 可以由某个旋量的作用实现 , 而且实现它的任意 2 量的表示如表 1 所示1 3 个旋量仅相差 1 个非零数量因子1 这里的算子“ ” 是 表 1 几何体和几何量的表示 线性的 , 作用在 r2向量上的结果是该 r2向量乘以 几何体 几何量 r ( ) - 11 直线 ab ?a ?b e 由于 G具有自然的 Grassmann 结构 、表示 n + 1 , 1 ( ) Pcmo d e e ?a ?b 点 c 到直线 ab 的垂足 闵氏正交变换的旋量作用和表示几何数量的括号 , a ?b ?c 圆 abc 因此它是 n + 2 维闵氏正交几何的一种语言1 C GA e ?a ?b ?c 圆所在平面 的构造就是从 G中选 择 一 类 Grassmann 子 结 n + 1 , 1 ( ) ( ) a ?b ?c?a′?b?′c′a 圆 abc 与 a′bc′之′交 圆 abc 构 , 一类旋量商群和一类括号子系统 , 给它们赋予欧 ,) ?b ?cmo d e ( ) 的对偶 圆心直线 ab 的氏几何或其他经典几何的解释 , 从而得到经典几何 ,( ) e ?a ?bmo d e ( )对偶 法向量 1 , ( ) 的协变量代数表示1 e ? a ? b ? c , 即 2 ( ?abc 的 面 积 所 在 平 面 的 对 1 以 n 维欧氏几何为例 , 在 经 典 的 共 形 模 型 中 , )偶 [ ea bc ] 2 G中的 null 向量集合 N 表示欧氏几何中的点和 圆 abc 的半径 | a ?b ?c| Π| e ?a ?b ?c| n + 1 , 1 x | () x ? - 2的仿射化 , 以及随后向 e 和 e张成的 0 xe? 惟一的无穷远点 e , 这种表示是通过将 null 向量进行 λλ mo d e ”指 x + e , 其 中 参 数 使 得 这 里“ x ? | ( ) 闵氏平面的正交子空间做正交投影 x ? P x得e ?e 02 2 ( λ) λ( ) x + e= 01 实际上 , 有= - x Π2 xe?1 由该表 到的1 这里特殊选择的 null 向量 e 和 e是一对 Witt 0 1 可以看出 , 对几何体和几何量的表示不仅具有度 n 基 ,表示 R的惟一无穷远点和原点1 因此 , 经典的共 量意 义 , 而 且 具 有 定 向 意 义1 例 如 圆 abc 的 表 示 形模型是依赖于坐标选择的1 G中的正向量表 n + 1 , 1 a ?b ?c的度量部分 | a ?b ?c | 等于 ?abc 3 边长 n () (示R的超平面 经过无穷远点或超球面 不经过无穷 度乘积的一半 , 其定向部分等于 ?abc 的定向 ; 圆所 ) 远点,由 null 向量 x 表示的点 x 在由正向量 s 表示 在 平 面 的 表 示 e ? a ? b ? c 的 度 量 部 分 的超平面或超球面上 ,当且仅当 x 与 s 的内积为 01 | e ?a ?b ?c| 等于 ?abc 面积的 2 倍 , 其定向部分 在 C GA 中 , G中的 null 向量在表示欧氏几 n + 1 , 1 是该面积的符号 :当该三角形的定向与所在平面定 何中的点时 , 不必进行仿射化和正交投影 , 因而是齐 向一致时 , 面积为正 ; 否则为负1 性的1 惟一的无穷远点 e 确定了惟一的 n 维欧氏空 C GA 的 Grassmann 结构提供了一种分级表示 , 间 , 不需引入原点 , 因而欧氏几何的表示完全不依赖 它与几何体的扩 张 、相 交 、对 偶 和 正 交 投 影 恰 好 相 于坐标1 这是对经典的共形模型的初步改动1 容1因为点的表示完全不依赖于坐标 , 从而分级表示 在 C GA 中 , G中 的 闵 氏 r2外 张 量 表 示 n n + 1 , 1 也完全不依赖于坐标1 相比之下 , 在由 Lie 提出并经 ( ) 维欧氏空间中的 r - 2维球面或平面 , 其中 2 ?r ? n Blaschke 发展的 Lie 球几何的代数模型中 , 尽 管 由 + 1 1 由 null 向量 x 表示的点 x 在由 r2外张量 A 表 于将 n 维欧氏几何嵌入到 n + 3 维向量空间 , 使得 示的平面或球面上 , 当且仅当 x 与 A 的外积为 01 这 可以用 等 式 的 方 式 表 示 定 向 , 但 是 该 代 数 模 型 的 些 r2外 张 量 , null 向 量 和 表 示 n 维 欧 氏 空 间 的 ( ) Grassmann 结构没有几何意义 , 因而无法构成经典 n + 22外张量 , 构成 C GA 的 Grassmann 结构1 在 代数称为内积括号代数 , 是一个多项式环模去以下 112 CGA 的统一旋量作用 2 类多项式生成的所谓内积 Grassmann2Plcüker syzygy 在共形模型中 , 闵氏嵌入空间的正交变换在旋 [ 22 ]理想而得到的商环 量表示下实现了欧氏空间的共形变换1 例如 , 保持 n +1 i +1 ( ) ( ) GP1: - 1a ?b×i ? i = 1 null 向量 e 不变的正交变换实现了欧氏变换 , 保持 [ bb?bb?b, 1 2 i - 1 i +1 n +1 ( )5 由 e 张成的一维子空间不变的正交变换实现了相似 ( ) GP2: aa ?a bb?b] - 1 1 n 1 2 n ( ) det a?b= 1 ?n , 所谓多项式环指i j i , j 变换 , 等等1 由于 C GA 的 Grassmann 结构在闵氏嵌 多项式在加法 和 乘 法 下 形 成 的 系 统1如果多项式入空间的正交变换下不变 ,因而对分级表示的几何 环的某个子集 A 在加法下封闭 , 而 体 ,它们的共形变换具有相同的旋量作用1 这一点 且任何多项式乘以 A 的元素 , 其结果依然在 A 内 , 则称 A 为多项式环的理想1 在多 项 式 环 模 去 理 想 使得 C GA 的旋量区别于作为三维刚体运动表示的 A 得到的商环中 , 任何 2 个元素 a 和 b 相等当且仅 [ 11 ] 对偶四元数和超旋量, 因为后两者在不同的几何 当它们的差属于 A 1 ( ) 体 例如点 、线 、面上的作用是不同的1 对嵌入于闵氏正交几何的欧氏共形几何 , 其不 μμμμeeee+ ee+ ee+ ee1 ( )3 0 1 2 3 1 1 2 2 3 3 + 以三维的刚体运动群为例1 设 U 是诱导一个刚 变量自然可以由前者的基本不变量表示 , 相应的基 ( ) 对 U 的惟一约束是 U U = 11 将其代入式 3, 得到 3 本不变量系统由距离的平方和带符号的体积生成1 2 个参数方程 体运动 的 旋 量 , 设 e, e, e是 R的 一 组 单 位 正 交 1 2 3 2 2 2 2 λλλλ+ + + = 1 0 1 2 3 ( ) 在式 5中 , 为了进行欧氏几何解释 , 我们采用共形 ( )λμ4 基 , 则 U 可以由 8 个参数 和刻画为 i i e ?a = - 1 ; λμλμλμλμ= 0 + + + 00 11 22 33模型的仿射化形式 , 得到 2 d Π2 ;λλλλ U = + ee+ ee+ ee+ a ?b = - ab0 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ( ) 约束式 4在 C GA 、对偶四元数和超旋量表示中都 ( [ ea a ?a ] = n -) 2! S ;1 1 n - 1 aa?a1 2 n - 1 是相同的 ,但是由于后两者对点 、线 、面的表示没有 n ( ) ( ) [ a a ?a ] = - 1n - 2! 1 2 n Grassmann 分级结构 , 因而对不同几何体的作用方 2 2 ρ d - aO aa?a aa?a 1 2 n - 1式无法统一1 另外 , 对偶四元数和超旋量只适用于 n1 2 n - 11 S aa?a 1 2 n - 12 表示三维物体及其刚体运动 ,要推广到对高维几何 这里 d 是 2 点 a 和 b 的欧氏距离 ; S 是 n - aba a ?a 1 2 n - 1 [ 21 ]的表示必须借助于 C GA 1 2 维 有 向 单 纯 形 aa? a 带 符 号 的 体 积 ; 1 2 n - 1 113 CGA 的基本不变量系统 ρaa?a 的和 O 是 n - 3 维球 1 2 n - 1 aa?aaa?a1 2 n - 1 1 2 n - 1 经典的不变量理论研究在一般线性群下不变的 半径和球心1 C GA 的基本不变量系统正是闵氏嵌入空间的 多项式环1 从几何观点看 , 由于射影几何的变换群 内积括号代数1 它的不变量尽管低级 , 但已经可以 是特殊线性群 , 因而经典的不变量理论构成射影几 用来进行相当不平凡的几何计算和几何定理自动推 何在齐性表示的不变量代数1 这种代数的基本元素 广1 例如 ,经典的 Simso n 定理说的是如果平面上 4 ( ) 点 0 , 1 , 2 , 3 共圆 , 那么从其中任一点 例如 0 点向 是所谓的括号 , 即 n 个点的齐次坐标组成的 n ×n 其他 3 点组成的三角形的 3 边引垂足 1,′ 2,′ 3,′ 则 3 个阶行列式 , 这里 n - 1 是射影空间的维数1 因此 , 这种 垂足 共 线1 现 在 问 : 如 果 0 , 1 , 2 , 3 不 共 圆 , 那 么 环也称为括号代数1 作为多项式环的商环 , 括号代数 1,′ 2,′ 3离共线差多少′ ? 利用内积括号代数 , 可以得 i +1 ( ) ( ) G P0: -1[ a a ?a b] × 1 1 n - 1 i ? i = 1 到等式 1 的定 义 理 想 是 以 下 多 项 式 生 成 的 所 谓 Grassmann2 ( ) ( ) ( ) { e12′3′} ′ Π{ e 1?′e 2?′e 3?′} = × [ bb?bb?b, 4 1 2 i - 1 i +1 n +1 15 ( Plücker syzygy 理想所谓 syzygy 指表示代数不 2 ) ( ) ( ) ( { 0123 e123 ]} Π{ e 0?e 1?e 2?× 这里的向量 a , b 属于表示 n - 1 维射影空间的 n 维 ) 变量之间的代数相关关系的多项式: ( ) ( ) ( ) ( ) e 3?1 2?1 3?2 3?} 1 向量空间1 n +1 该齐性等式在进行几何解释时 , 可以采用共形模型 对于一个正交几何 , 它的的任何代数不变量都 的仿射化形式 , 得到 Simso n 定理的推广 : 对平面上 是向量的括号和内积的多项式 , 相应的基本不变量 ( ) 任何 4 点 0 , 1 , 2 , 3 , 设 1,′ 2,′ 3是′自 0 向 ?123 的 3 [ e12′3′]′ = 0 1,′ 2,′ 3共′线1 它的结论为 边所引的垂足 , 则 现在我们不把 e 解释成无穷远点 , 而是解释成 2 d0 O [ 0123 ] 123 有限点 ; 相反地 , 我们把 0 解释成无穷远点1 于是 , ( ) ) ( 6 S == S 1 - 12′3′′ 123 2 2 ρρ 123 123 ( ) 在式 8中 , 通过互换 e 和 0 , 得到条件 [ e123 ] = 0 , 2 , 3 共线 1 [ 0123 ] ?0 0 , 1 , 2 , 3 不共线 ( ) () = 0 e ?0 ?1′?0 ?2 ?301是圆′ 023 的直径 [ 01′23 ] = 0 = 0 ( ) () e ?0 ?2′?0 ?1 ?302是圆′ 013 的直径 [ 0123′ ] = 0 = 0 ( ) ()e ?0 ?3′?0 ?1 ?2 03是圆′ 012 的直径 0123 ] ′ = 0 ( ) 和结论 [ 012′3′]′ = 0 0 , 1,′ 2′, 3共′圆1 由于圆的直 图 1 Simso n 定理 径的第 2 个端点可以线性构造 , 例如过 0 引入直线 114 CGA 对经典几何的统一表示 02 的垂线和直线 03 的垂线 , 它们的交点就是点 1′, 这里所谓的经典几何指一个齐性空间 , 其变换 这样新的几何构型完全是线性构造的1 进一步分析 群是一般线性群的某个连续子群1 经典几何包括射 发现 , 通过将新的条件写成等价的线性构造序列为 影 、仿射 、欧氏 、椭圆 、双曲和共形几何等1 由于 C GA 2 是 0 向 1′3引的垂足′ , 的齐性表示性质和 Grassmann 结构 , n 维射影和仿 3 是 0 向 12′引的垂足′ , 射几何可以通过某非零向量作透视投影得到1 具体 地说 , 对任何固定的非零向量 a , 它决定的透视投影 1 是 0 向 23′引的垂足′ , | ( )x ? a ?x 7 0 , 1 , 2 , 3 不共线 , 将 n + 2 维闵氏向量空间映为 n 维射影空间1 映射 1 , 2 , 3 共线1 2 ( ) 式 7在仿射超平面{ x | x= 0 , x a? = - 1} 上的限 我们得到的恰好是 Simso n 定理的逆定理 , 只不 制正好是 n 维仿射空间1 在 n + 2 维闵氏向量空间 过 3 点组 1 , 2 , 3 和 1′, 2,′ 3发生了′对换1 作为几何 构中 , 有 3 种不同的 向 量 , 它 们 与 自 身 的 内 积 分 别 是 造 , 以上变换将非线性问题变成线性 ; 作为几何推 ( ) 零 、正和负的1 关于它们的 3 种仿射化式 2得到 3 理 , 以上变换将非线性从条件转移到结论1 在几何 种不同几何的等距模型 :欧氏 、双曲和椭圆1 如果不 建模和几何推理中 , 这种变换将有重要意义1 进行 仿 射 化 , 则 3 种 几 何 的 代 数 框 架 正 好 都 是 2 CGA 的计算工具 C GA ,并具有相同的 Grassmann 结构和对应的几何 计算1 这样 ,在 C GA 中的一个等式可以在不同的几 211 高级不变量计算框架 :零括号代数 何中进行不同的几何解释 ,从而实现经典几何的统 在 C GA 中 , Grassmann 分级结构为几何体的表 一表示1 这种表示的共形性质是显然的1 因为不同 示提供了真正的几何语言1 在 C GA 的基本不变量 的仿射化对几何度量的影响仅相差一个非零因子 , 系统即内积括号代数中 ,只有作为基本不变量的内 而这正是共形度量的定义1 这种统一表示带来大量有力工具1 以经典的欧 () 积和括号 即距离的平方和带符号的体积,没有分 氏几何为例 ,前面所说的 Simso n 定理 , 其几何构型 [ 0123 ] = 0 , 1 , 2 , 3 共圆 0 级结构 ,因而常常造成实际问题中出现的不变量只 [ e123 ] ?0 可以用方程组描述为 123 不共线 = 0 ( ) ( ) e ?0 ?1′?e ?2 ?3能写成基本不变量的复杂有理多项式 ,给几何计算 1是′ 0 向 23 引的垂足 [ e12′3 ] = 0 带来无法克服的实质性困难1 = 0 ( ) ( ) e ?0 ?2′?e ?1 ?32是′ 0 向 13 引的垂足 [ e123′ ] = 0 我们通过如下方式 ,在 C GA 中引入分级的不变 = 0 ( ) ( )e ?0 ?3′?e ?1 ?2 3是′ 0 向 12 引的垂足 23 224 ( 量系统 ,称为零括号代数“零的意思是向”量 [ e123′] = 0 ( )8 ) 的平方等于 01 它的基本元素是 2 类括号 : 尖括号 (和方括号 ,其中尖括号的内容长度是偶数 当长度为 2 2 m 1 元素都称为高级不变量 ,它们由 syzygy 定义为 σσσ,σ其中子序列 = , ?, 的长度为 2 m , 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m ˇ σσ它的剩余是长度为 n 的子序列1 整个序列 , i 2 m2 m ( ) ( ) AB〈: a a ?a 〉- -1× 1 2 2 m ? i = 2 ˇσ关于 原 来 序 列 1 , 2 , ?, n + 2 m 的 重 排 符 号 是 2 m 〈 a a 〉〈 a a ?a a ?a 〉 1 i 2 3 i - 1 i +1 2 m ˇσ (σ) : 它 等 于 1 当 且 仅 当 新 序 列 是 偶 排 ,sgn 2 m 2 m ( ) SB: a a ?a ] - × ( )9 1 1 n +2 m 列 ; 否则为 - 11 ? σ1 ??n +2 m 2 m ( ) 作为几何解释 , 以欧氏平面几何为例 n = 4 , 2 2 m 1ˇ(σσ)a?a〉× sgn ,〈 aσσσ2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 括号〈 a a ?a 〉和 [ a a ?a ]在各点 a互 1 2 2 m + 4 1 2 2 m + 4 i 2 n1a?a [ a] σσσ ˇˇˇ 2 m 2 m 2 m不相同时 , 其几何解释为 ˇσσ 这里 ,是序列 1 , 2 , ?, n + 2 m 的一个分割 ,2 m 2 m d d d d aaaaaaaa1 2 2 3 3 4 4 1( ) [ a a a a ] = -sin ?a a a , a a a , 1 2 3 1 3 4 1 2 3 4 2 d d d d aaaaaaaa 1 2 2 3 3 4 4 1( ) 〈 a a a a 〉= - co s ?a a a , a a a , 1 2 3 4 1 2 3 1 3 4 2 d d d d d d aaaaaaaaaaaa1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 ( ( ) ( ) ) [ a a a a a a ] = - sin ?a a a , a a a + ?a a a , a a a , 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 2 d d d d d d aaaaaaaaaaaa1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 ( ( ( ) ) ) 〈 a a a a a a 〉= -co s ?a a a , a a a + ?a a a , a a a , 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 2 3 4 5 6 2 d ?d aaaa1 2 2 k + 2 1( ( ( ) ) ) [ a a ?a ] = -sin ?a a a , a a a + ?+ ?a a a , a a a , 1 2 3 1 3 4 1 2 k 2 k + 1 1 2 k + 1 2 k + 2 1 2 2 k + 2 2 d ?d aaaa1 2 2 k + 2 1 ( ( ) ( ) ) ?a a a , a a a + ?+ ?a a a , a a a 1 co s 〈 a a ?a 〉= - 1 2 3 1 3 4 1 2 k 2 k + 1 1 2 k + 1 2 k + 2 1 2 2 k + 2 2 ( ) 这里 k ?1 , ?a a a , a a a 表 示 有 定 向 的 圆 式写成“更加标 准”的 多 项 式 , 化 不 变 量 为 标 准 型1 1 2 3 1 3 4 aaa和 aaa的交角1 这显然会导致中间表达式的爆炸式膨胀1 在 C GA 1 2 3 1 3 4 ( 的不变量体系 包括经典括号代数 、仿射括号代数 、 由此可见 , 括号是平面三角函数的一种有理实 ) 内积括号代数和零括号代数等中 ,我们采用局部化 现 , 是以点的形式对角度进行的刻画1 著名的三角 计算的思想 ,即在符号处理的每一步 ,都尽量得到分 函数和角公式 (α β) αβ αβsin + = sinco s+ co ssin, 解和最短的结果1 具体地说 ,就是基于括号的表示 、 22 ,26 227(α β) αβ αβco s + = co sco s- sinsin 消元和 展 开 , 尽 量 得 到 分 解 和 最 短 的 结 果 ( 在零括号代数中表现为以下 2 组恒等式 : breef s : bracket2o riented rep resentatio n , eliminatio n 1 [ aa a a a a ?a ] =〈 a a a a 〉×1 2 3 4 1 5 2 l +5 1 2 3 4 ) and expansio n fo r f acto red and sho rtest result1 2 [ a a ?a] + aaa a 〈] a a?a 〉 1 5 2 l +5 1 2 3 4 1 5 2 l +5 ) 1代数表示因括号而异 1 给定一个代数框架后 , 一个几何体可以有多个 [ aa a a a a ?a 〉=〈 a a a a 〉×1 2 3 4 1 5 2 l +5 1 2 3 4 2 代数表示1 造成这种现象的原因有 2 种 : 一个是几 〈 a a ?a〉- aaa a a a?a ] 1 5 2 l +5 1 2 3 41 5 2 l +5 何本身的内在原因1 例如 1 条直线由它的 2 个点决 1 [ aa a a a a aa?a ] = a a aa a a ] ×1 2 3 1 4 5 1 6 2 l +6 1 2 3 1 4 5 2 定 , 如果该直线上有多个已知点 , 则它的表示显然不 〈 a a ?a〉+〈 aaa a a a 〉[ aa ?a ] 1 6 2 l +6 1 2 3 1 4 5 1 6 2 l +6 ( ) 惟一 即任意两点可以表示之1 另一个原因是由代 1 〈 aa a a a a aa?a 〉=〈 a a aa a a 〉× 1 2 3 1 4 5 1 6 2 l +6 1 2 3 1 4 5 2 数框架的外在性质造成的1 例如凸四边形 1234 的 1 1 〈 a a ?a〉- aaa a a a aa ?a ] 1 6 2 l +6 1 2 3 1 4 51 6 2 l +6 ( ) ( 一表示 x y+ x y+ x y+ x y- y x +1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 ( ) 面积 , 当顶点 i 采用齐次坐标 x , y , 1时 , 具有惟 i i 2 2 ( ) 10) y x + y x + y x 1 但是在仿射括号代数中 , 它具 2 3 3 4 4 1 实际计算表明 , 零括号代数为大量几何问题中 出现 1 1 ( ) ( 有 2 种 表 示 ×[ 123 ] + [ 134 ]= [ 124 ] +的 不 变 量 提 供 了 最 佳 代 数 表 示 ———有 理 单 项 2 2 ) [ 25 ][ 234 ]1 式1 我们提出的新思想是 :同一几何体多次出现在 212 CGA 的计算思想同一表达式中 , 代数表示可以不同 , 但不同的代数表 不变量理论的传统计算思想是通过将一个单项 示前面需要乘以转换系数 ; 选择不同代数表示的目 ,每消一个后就展开 ,则只得到 1 种结果 , 一个地消 的是使得其后的消元以及展开 得 到 分 解 和 最 短 的 它是分解或二项的形式的可能性微乎其微1 因此 , 结 果1 为了得到分解和最短的结果 ,需要在一个括号的范 围内逐批消元 ,而不是逐个消元1 例如 , 圆 123 的中心 0 有表达式 ( ) ( ) ( ) 0= 1 ?21 ?32 ?3e + 123) 3展开时尽量减少次数和项数 ， ( ) [ e123 ] 1 ?2 ?31 展开主要有 2 种 : 从协变量表达式到不变量表 ( ) ( )如果圆上另有点 4 , 要计算表达式 f = 1 0? 2 0? () 达式的展开 ,如式 11;从高级不变量到低级不变量 ( ) ( ) 30?40?, 则将 0 = 0代入 f 的前 3 个因子 , 各 得123 () 的展开 ,如式 101 展开的结果一般不惟一 ,因此要 求采用次数和项数尽量少的展开1 所谓次数少是指 到一个单项式 ; 而代入第 4 个因子 , 得到一个二项 式 展开后可以得到平凡的单项公因子 ,去掉公因子后 1 如果将 0 = 0代入 f 的第 4 个因子 , 得到的也 124 次数降低1 是单项式1 为了减少项数 , 我们可以在第 4 个因子 在实际计算中 ,我们发现减少项数通常有利于 0( ) ( )123 1 3?2 3? 进行因式分解 ,从而降低次数1 为达到减少项数的 1 中代入 01 但是作=为代数 式 , 0?0,因此需要 124 123 124 ( ) ( )1 4?2 4? 0 124目的 ,我们不惜将协变量表达式或高级不变量展开 在 0前面乘以转换系数 124 ) 2在括号内部逐批消元 为有理多项28 式1 这是我们的展开最有特色的一点1 ,得到 15 项 ;采用 C GA 的多项式展开 ,得到 展开在以前的用代数消元进行几何计算和定理证明 29 例如 ,在平面几何中 , 123456 ] 采用经典的 Caianiello 的最短展开是 6 项;采用 C GA 的有理展开 ,得到 中 ,变元一般按照预先规定的顺序逐个从被计算的 25 最短的展开是以下有理二项式: 表达式中消去1 如果变元表示的是几何上的点 , 消 [ 123456 ] = - 2 ×{ 2 3? [ 1256 3456 ] + 元也被称为消点1 消元之后紧接着就要把新的表达 5 6? [ 1236 2345 } Π{ 2356 } 1 式展开和化简1 例如 ,设 3 是直线 12 和 1′2的交点′ , 这个展开在几何计算中出人意料的有用且高频 现在需要计算括号 [ e345 , 即从该括号消去 3 1 这 率地被使用 ;相比之下 ,它的多项式展开在实际计算 可以通过代入 3 由 1 , 2 , 1,′ 2表示的形式得′到1 例 中从未被采用过1 如 ,代入 e ?3 = - [ e121]′ e ?2+′ [ e122]′ e ?1之′ [ e345 ] 后 , 得 到 e121′ e24′5 ] = - + 213 CGA 的展开技术 [ e122′ e14′5 ]1 消元后的展开结果是惟一的1 C GA 的展开理论 ,研究的是对同一表达式的不 在不变量代数中 , 由 于 syzygy 关 系 的 介 入 , 展 开的结果一般是不惟一的1 例如以上作为直线 12 同展开结果 ,按照因子的个数和项数进行完全分类1 ( ) ( 和 1′2的′ 交 点 3 具 有 表 示 e ? 1 ? 2 ? e 这样 ,在以后遇到相匹配的表达式时 ,就以预知的方 ) ?1?′2′, 将它代入括号 [ e345 ]后再展开 , 得到 3 式展开为分解和最短的结果1 C GA 的展开分 3 个部 种结果 : ( ) ( ) ( )e ?1 ?2? e ?1′?2′? e ?4 ?5 = 分 :从 Grassmann2Cayley 代数到经典括号代数的展 e121′ e24′5 ] + e122′ e14′5 ] - = [ e112′′ e245 ] - e212′′ e245 ] = 开 ;从 Clifford 代数到内积括号代数的展开 ;从共形几 e12′4′ ]1 ( )[ e124 125 ee12′5′ ] - 11 何代数到零括号代数和在零括号代数内部的展开1 ( 再举一个例子1 设 5 , 5,′ 5分别是直线″对 12 , ) ( ) ( ) 34, 12′,′ 3′4′, 1″2″, 34″″的交点 , 现在要计算括 号需要指出的是 ,展开理论在经典不变量代数中 [ e555′]″1 在经典的不变量代数中 , 可以将 e ?1 简记一直是个空白 ,我们是第一个认识到展开的重要性 为 1 , 将 e ?1 ?2 简记为 12 , 将 [ e123 ] 简记为 幵进行系统研究的1 对于经典不变量代数 , 我们建 [ 123 ]1 在采用简化记号后 , 将 3 点 5 , 5′, 5的表达式″ 代 26 立了 Cayley 展 开 理 论, 完 成 了 对 典 型 的 低 维 入 [ e555′]″ ,得到 24 ,28 1 例如 , 设空间维数 是 4 , 按 照 Caianiello 的 开 ( ) ( ) ( ) ( )[ 12 ?3412′′?34′′12″″?34″″] 12 () G展ra开ss m9an,n 从2C [a 12345yley 代数表达式6 ] 得 到 15 的分解展开和二项项 , 而 按 照 我 们 的 展展 () 展开式 12得到 16 847 种不同的结果 ,其中只有极 开 ,仅仅得到 6 项的1 开的分类1 少数是分解的形式或二项的形式1 如果对 3 点一个 关于共形几何代数和零括号代数的展开 ,目前 有突出的表现 ,而且为高新技术中几何问题的解决 已发展 了 许 多 有 理 展 开 的 公 式 , 系 统 的 理 论 正 在 提供了新的数学工具1 该系列随后的两篇文章 ,将分别就几何表示和 形成1 214 CGA 的化简技术 几何计算 ,利用来自高新技术和数学机械化的实例 , 显示共形几何代数是如何实现用真正的几何语言进 化简包括因式分解和项的合幵 ,它们在经典不 行几何计算 ,从而进行更加通用 、简洁 、快速 、鲁棒的 变量代数 中 一 直 是 公 开 的 难 题1 在 经 典 括 号 代 数 几何建模与计算的1 中 ,我们提出 3 个基于 Grassmann2Plcüker syzygy 的 参考 文 献 算法 ,在简化射影几何计算方面起了很大的作用 :这 Li Ho ngbo , Hestenes D , Rockwoo d A1 Generalized Ho moge2 1 ] 些算法使得机器产生的射影几何定理的证明几乎全 neo us Coo rdinates fo r Co mp utatio nal Geo met ry M 1 In : Geo2 22 ,26 met ric Co mp uting wit h Cliffo rd Algebras , Berlin Heidelberg : 部是二项的 ,优于任何原有代数方法1 Sp ringer , 20011 27,60 在内积括号代数中 ,我们提出它的生成理想的 2 ] L asenby A , Do ran C1 Geo met ric Algebra fo r Physicist s M 1 j ˇ( ) (σσ) ( ) V W 2: sgn ,det a ?b×σr r i i , j = 1 ?r r ? 以下 3 类多项式 ,称为内积 Van der Waerden syzygy Cambridge : Cambridge U niversit y Press , 2003 σ1 ??n +1 r 3 ] Shi He1 Co nfo r mal geo met ric algebra internatio nal reflectio ns 24 2 1 n - r +1 cc?c, [ bb?bσσσ 1 2 r - 1 多项式r ˇ : ˇˇr r( OL 1 ht tp :/ / www1mmrc1iss1ac1cnΠliho ngbo1ht ml in Chi2 ( ) ( ) ˇV W 1:det a?b, ( ) (σσ) 1 2 r i j i , j = 1 ?n +1 V W 3sgn ,a a?a bb?b] ×: [ σσσr r 1 2 n - r r r r )? nese σ1 ??n +1 r (石赫1“共形几何代数”的国际反响 OL 1 ht tp :ΠΠwww . mm2 n - r +1 21 cc?c, [ bb?bσσσ 1 2 r - 1 ˇr ˇ ˇr r)rc . iss. ac . cnΠliho ngbo1ht ml 并用于简化几何计算1 它们在得到 Miquel 的四圆和 4 ] Yaglo m I M1 Felix Klein and Sop hus Lie M 1 Bo sto n : 五圆 定 理 的 第 一 个 纯 粹 代 数 证 明 中 起 了 很 大 作 Bir khuser , 1988 ? 23 ,30 5 ] Hestenes D , So bczyk G1 Cliffo rd Algebra to Geo met ric Calculus 1 用 M 1 Do rdrecht : Kluwer , 1984 在零括号代数中 ,我们通过建立 20 个因式分解 6 ] Ahlfo rs L V1 Mbius t ransfo r matio ns exp ressed t hro ugh 2 ×2 ö公式 ,用于平面几何中关于圆的几何计算 ,在所有测 mat rices of Cliffo rd numbers J 1 Co mplex Variables , 1986 , 5 : 25 试的例子中都得到了完全几何分解1 所谓完全几 215,224 7 ] 何分解 ,是指将结论多项式分解成基本不变量的乘 Havel T1 So me Examples of t he U se of Distances as Coo rdinates fo r Euclidean Geo met ry J 1 Jo urnal of Symbolic Co mp utatio n , 积 ,即得到有理单项式的结果1 它是自动推广已知 ( ) 1991 , 11 5Π6: 579,593 () 定理 或者叫自动发现新定理的一个典型方式1 例 8 ] Havel T1 Geo met ric Algebra and Möbius Sp here Geo met ry as a ( ) 如 ,Simso n 定理的推广形式 6,在零括号代数中就 Basis fo r Euclidean Invariant Theo ry M 1 In : Invariant Met h2 o ds in Discrete and Co mp utatio nal Geo met ry , Do rdrecht : Kluw2 是一个完全几何分解1 er , 19941 245,256 由于我们的代数处理的是几何问题 ,因此可以 9 ] Mo urrain B , Stolfi1 Co mp utatio nal Symbolic Geo met ry M 1 借助特殊的几何构型进行化简1 以前的化简如果称 In : Invariant Met ho ds in Discrete and Co mp utatio nal Geo met ry , 为代数化简的话 ,应用几何构型的化简就称为几何 Do rdrecht : Kluwer , 19941 107,140 10 ] Hestenes D1 The design of linear algebra and geo met ry J 1 Ac2 () 化简 或几何变换1 我们提出了 3 类二次曲线变换 22 ,25 ta Applicandae Mat hematicae , 1991 , 23 : 65,93 和 3 类圆变换1 计算实例表明 ,这些变换是处 11 ] Hestenes D1 Invariant bo dy kinematics I I : Reaching and neuro2 理二次曲线和圆等几何构型的强有力工具1 ( ) geo met ry J 1 Neural Net wo r ks , 1994 , 7 1: 79,88 12 ] 3 结论 White N1 A t uto rial o n Grassmann2Cayley Algebra M 1 In : White N ed. Invariant Met ho ds in Discrete and Co mp utatio nal 共形几何代数的建立 ,从根本上摆脱了坐标的 Geo met ry , Do rdrecht : Kluwer , 19941 93,106 13 ] 引入对经典几何语言发展的制约 ,从而为经典几何 Hestenes D1 New Fo undatio ns fo r Classical Mechanics M 1 提供了统一的代数表示1 以共形几何代数为核心的 Do rdrecht : Kluwer , 1987 14 ] Li Ho ngbo1 Cliffo rd Algebras and Geo met ric Co mp utatio n M 1 新的理论框架和几何计算技术 ,不仅在设计几何语 In : Geo met ric Co mp utatio n , Singapo re : Wo rld Scientific , 言和用几何语言进行几何计算这一经典数学问题上 20041 221,247 15 ] St ur mfels B1 Algo rit hms in Invariant Theo ry M 1 Wien : 1 Auto mated Geo met ric Theo rem Proving , Cliffo rd 24 ] Li Ho ngbo Sp ringer , 1993 Bracket Algebra and Cliffo rd Expansio ns M 1 In : Trends in Li Ho ngbo , Hestenes D , Rockwoo d A1 Sp herical Co nfo r mal Ge2 Mat hematics : Advances in Analysis and Geo met ry , Basel : 16 ] o met ry wit h Geo met ric Algebra M 1 So mmer G ed , In : Geo2 Bir khauser , 20041 345,363 25 ] met ric Co mp uting wit h Cliffo rd Algebras , Berlin Heidelberg : Li Ho ngbo1 Symbolic co mp utatio n in t he ho mogeneo us geo met2 Sp ringer , 20011 61,76 ric mo del wit h cliffo rd algebra A 1 In : Proceedings of Interna2 17 ] tio nal Sympo sium o n S Ymbolic and Algebraic Co mp utatio n Li Ho ngbo , Hestenes D , Rockwoo d A1 A U niversal Mo del fo r Co nfo r mal Geo met ries of Euclidean , Sp herical and Do uble2Hy2 2004 , New Yo r k : ACM Press , 20041 221,228 26 ] perbolic Spaces M 1 In : Geo met ric Co mp uting wit h Cliffo rd Li Ho ngbo , Wu Yiho ng1 Auto mated sho rt p roof generatio n in Algebras , Berlin Heidelberg : Sp ringer , 20011 77,104 p rojective geo met ry wit h Cayley and Bracket algebras I : Inci2 18 ] dence geo met ry J 1 Jo urnal of Symbolic Co mp utatio n , 2003 , Li Ho ngbo1 Hyperbolic co nfo r mal geo met ry wit h Cliffo rd alge2 ( ) bra J 1 Internatio nal Jo urnal of Theo retical Physics , 2001 , 40 36 5: 717,762 27 ] ( ) 1: 79,91 Li Ho ngbo1 Algebraic Rep resentatio n , Eliminatio n and Expan2 1 The Lie Mo del fo r Euclidean Geo met ry A 1 In : Li Ho ngbo19 ] sio n in Auto mated Geo met ric Theo rem Proving M 1 In : Auto2 Proceedings of t he So mmer Internatio nal Wo r kshop o n Algebraic mated Deductio n in Geo met ry , Berlin Heidelberg : Sp ringer , Frames fo r t he Perceptio n2Actio n Cycle , L ect ure Notes in Co m2 20041 106,123 28 ] p uter Science , 2000 . 1888 : 115,133 Caianiello E1 Co mbinato rics and Reno r malizatio n in Quant um 20 ] Li Ho ngbo1 Cliffo rd Algebra , Geo met ric Co mp uting and Rea2 Field Theo ry M 1 Reading : Benjamin , 1973 29 ] ( ) so ning J 1 Advances in Mat hematics , 2003 , 32 4: 405,415 Li Ho ngbo1 Cliffo rd Expansio ns and summatio ns J 1 MM Re2 ()in Chinese search Prep rint s , 2002 , 21 : 112,154 ( 30 ] 李洪波1 Cliffo rd 代数 ,几何计算和几何推理 J 1 数学进展 , Li Ho ngbo1 On Miquel’s Five2Circle Theo rem M 1 In : Co m2 ( ) )2003 , 32 4: 405,415 p uter Algebra and Geo met ric Algebra wit h Applicatio ns , L NCS Li Ho ngbo1 So me applicatio ns of Cliffo rd algebra to geo met ries 21 ] 3519 , Berlin Heidelrberg : Sp ringer , 20051 223,234 A 1 In : Proceedings of t he Seco nd Internatio nal Wo r kshop o n Auto mated Deductio n in Geo met ry , L ect ure Notes in Co mp uter 李洪波 男 ,1968 年生 ,博士 ,研究员 , Science , 1999 . 1669 : 156,179 主要研究方向为几何计算不推理 、几何代 22 ] Li Ho ngbo , Wu Y1 Auto mated sho rt p roof generatio n in p rojec2 数及其应用1 tive geo met ry wit h Cayley and Bracket algebras I I : Co nic Geo m2 ( ) et ry J 1 Jo urnal of Symbolic Co mp utatio n , 2003 , 36 5: 763 ,809 23 ] Li Ho ngbo1 Auto mated Theo rem Proving in t he Ho mogeneo us Mo del wit h Cliffo rd Bracket Algebra M 1 In : Applicatio ns of Geo met ric Algebra in Co mp uter Science and Engineering , Bo sto n : Bir khauser , 20021 69,78