函数极值最值的讨论(陆开昌编辑2007年5月9日星期三)
2、若函数y =x 3-2x 2+mx, 当x =
3
1
时, 函数取得极大值, 则m 的值为 ( ) 2、解:因为当x =31时, 函数取得极大值,所以x =3
1时, 导数2
'340
y x x m =-+=即2113()4033m ?-?+=解得1m =(附:极小值(1)0f =极大值14()327
f =)
3、函数9x 3ax x )x (f 23-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则=a ( )
3、解:由已知)x (f 在3x -=时取得极值则在3x -=时导数2
'2230
y x a x =++=即23(3)2(3)3
a ?-+?-+4、已知函数y =-x 2-4、解:令'22y x =--=处取得极大值(1)4f -=由于函数在区间] ,[2a a 所以1a >-,2
2a a --+解得13
2
a =-(舍去),
a
5、函数y =ax 3
+bx 2
A. b a 2-=0
B. b a -2=0
C. b a +2=0
D. b a 2+=0
5、解:2
'32y ax bx =+由函数y =ax 3+bx 2取得极大值或极小值时的x 值分别为0和3
1,则代入导数,'y 值为
0 ;①0x =代入得2
30200a b ?+?=②13x =代入得2113()2033
a b +?=由①②得20a b +=
6、求函数3
6y x x a =-+的极大值和极小值 6、解:令
2'360y x =-=解得12x x ==列
表
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可以知道极大值是
3((6(f a a =-?+=极小值是36f a a =-=-
7、已知函数,bx ax y 2
3+=当1x =时, y 的极值为3.求: (1) a, b 的值; (2) 该函数单调区间.
7、解:(1) bx 2ax 3y 2
+='
当1x =时, y 的极值为3.32'(1)3206
69(1)39
f a b a y x x f a b b =+==-??∴??=-+?
?=+==??. (2) 令1x 00x 18x 18y 2
<>+-='
令1x 0x 18x 18y 2
>?<+-='或0x < ∴y 在)1,0( 上为单调增函数;
y 在),1(),0,(∞+-∞ 上为单调减函数.
8、已知函数,a x 9x 3x )x (f 23+++-=
(1) 求)x (f 的单调递减区间;
(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.
8、解:令2'()3693(3)(1)0f x x x x x =-++=--+=得1,3x x =-=列出表格得
(2)由表格可知,区间]2,2[ -上的最大值是(2)f -或(2)f 最小值是(1)f -
因为,a 2a 18128)2(f +=+-+=- (2)8121822,f a a =-+++=+
所以)2(f )2(f ->,所以2220,,a a +==-所以故,2x 9x 3x )x (f 23-++-=最小值72931)1(f -=--+=-
9、已知32()26f x x x a =-+(a 是常数),在[]2,2-上有最大值3,那么在[]2,2-上的最小值
是 A .5- B .11- C .29- D .37-
9、解:令2'()666(1)0f x x x x x =-=-=得0,1x x ==列出表格得
在[]2,2-上的最大值是(0)f 或(2)f ;因为(0)f a =,(2)8f a =-+所以最大值是(0)3f a == 所以函数32()263f x x x =-+,最小值是(2)f -或(1)f ;
因为32(2)2(2)6(2)337f -=?---+=-,32(1)216131f =?-?+=-所以函数在[]2,2-上的最小
值是(2)37f -=-
10、已知函数322
+-=x x y 在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是
A .),1[+∞
B .[0,2]
C .]2,(-∞
D .[1,2] 10、解:函数322+-=x x y 在(,1)-∞上是减函数,在),1[+∞上是增函数并且(0)3f =,(1)2f =,
(2)3f =。由
题
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目,函数在区间[0,m]上的最小值是2,最大值3,所以 12m ≤≤
11、函数m x x y +-=62
的最小值为1,则m 的值为
11、令'260y x =-=得3x =则最小值是2(3)3631f m =-?+=解得10m = 12、已知2
()21f x x ax =++在[1
2]-,上的最大值是4,求a 的值. 12、解:令'()220f x x a =+=得x a =-
13、函数)0(,ln )(≠=a x ax x f 有最大值, 则a 的取值范围是
14、设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点.
(1)试确定常数a 和b 的值;
(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值,并说明理由.
15、设a 为实数,函数.a x x x )x (f 23+--=
(1) 求)x (f 的极值.
(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x )x (f y 与=轴仅有一个交点.
16、已知c 2bx 3x )x (f 3++=, 若函数)x (f 的一个极值点落在x 轴上, 求2
3c b +的值. 17、已知函数()x
a x x x f ++=22,),1[+∞∈x , 1)当21=a 时,求函数的最小值。 2)若对于任意的实数),1[+∞∈x ,()0>x f 恒成立,求实数a 的取值范围。
18、(11年天津卷.文6理5)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a=
A. 42
B. 2
2 C. 41 D. 21 19、(11年湖北卷.理7)函数()log (1)[0,1]x a f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为
(A )41 (B )2
1 (C )
2 (D )4 20、(本小题满分15分)已知函数)ln()(m x x x f +-=在定义域内连续.
(Ⅰ)求)(x f 的单调区间和极值;
21、(本小题满分15分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3
(Ⅰ)求)(x f 的单调区间和极值;
(Ⅱ)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根,求实数a 的取值范围.
[例1]已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值,且f (1)=-1.
(1)试求常数a 、b 、c 的值;
(2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.
23、 已知1x =是函数1nx x )1m (3mx )x (f 23+++-=的一个极值点, 其中,0m ,R n ,m <∈ (1) 求m 与n 的关系式; (2) 求)x (f 的单调区间;
26、例3:设32
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