数学专业英语 翻译 2.7.序列及其极限
[序列及其极限]
7-A 序列定义
日常英语中，词“sequence”和“series”是同义词，它们用来
表
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示按某种顺序排列的一连串东西或事件。在数学上，这两个词有特殊专业含义，如通常用法一样，术语“sequence”表示按顺序排列的一串东西，而词“series”用于某种不同的意思。在这节讨论序列概念，而级数将在第十一节定义。
都存在一个实数或复数与之对应，如果对于每个正整数nan则有序集a,a,„a,„称为无穷序列。这里重要的是，集合中的12n
每一个元素都用正整数来标记，因此我们可以说，第一项a，第1二项a，一般地，第n项a。每一项a都有下一项a，因此没2nnn+1有“最后”一项。
序列最常用的例子是，给定某种规则或
公式
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来描述第n项。因此，例如，公式a=1/n定义了一个序列，它的前五项是:1，n
1/2，1/3，1/4,1/5.有时可以使用两个或更多的公式，例如，
2a=1，a=2n，在这种情况下，前几项是:1,2,1,8,1,18,1,32,1. 2n-12n
另一种通常定义序列的方法是:通过一串指令说明在给定初始项后如何得到后面的项。因此我们有，对?2，==1，naa12a=a+an+1nn-1。
这个特殊规则就是常见的递推公式，它定义了一个著名的称为Fibonacci数的序列，前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34.
对任一序列，本质的问题是存在某个定义在正整数上的函数f使得对每一个n=1,2,3,„f(n)是序列的第n项。事实上，这可能是陈述序列专业定义最方便的方法。
定义:定义域是所有正整数1,2,3，„的函数称为无穷序列。函数值f(n)称为序列的第n项。
函数的值域(即函数值集合)通常是按顺序
书
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写各项来表示，因此:(1)，(2)，(3)，„()，„. f f ffn
为简略起见，记号{()}通常用于表示第项是()的序fnnfn列，序列各项对n的相关性常常通过利用下标来表示，我们可以写为a, s, x, u,或者类似的东西来替代f(n)。除非特别声明，nnnn
本章所有序列都假设具有实的或复的项。
7B 序列极限
这里，我们最关心的问题是决定当n无限增加时，项f(n)是否会趋于一个有限的极限。要处理这个问题，我们必须将极限概念推广到序列。做法如下:
定义:说序列{f(n)}有极限L，如果对每一的正数ε都存在另一个正数N(可能依赖于ε)使得对所有的n?N有| f(n)-L|<ε.在这种情况下，我们说序列{()}收敛到，记为 fnL
lim(),,()fnLnfnL,,,,或者当时. n,,
不收敛的序列称为发散。
在这个定义中，函数值f(n)和极限L可以是实数或者复数。如果f(n)和L是复数，我们可将它们分解成实部和虚部，记为
,, 则有()-=()[()]. 不等式 f=u+iv L=a+ibfnL un- a+ivn-b
unafnLvnbfnL()()()(),,,,,,和
表明当 反过来，不nfnLunavnb,,,,,时关系式推得和,()()().
等式
fnLunavnb()()+(),,,,
表明当当时和推得nunavnbfnL,,,,,,()(),(). 换句话说，复值序列收敛当且仅当实部和虚部分别收敛，这是有 fuv
lim()lim()+ilim()fnunvn,.nnn,,,,,,
显然，对所有正实数x有定义的函数都可以通过限制x仅取正整数来构造序列，这表明，刚刚给出的定义与6.4节中作为更一般函数的定义之间十分类似。这种类似也可以推广到无穷极限，我们把定义记号
lim()lim()fnfn,，,,,,和 nn,,,,
留给读者，就像在6.5节当f是实值时那样做，如果f是复的，
就记fn().,, 当时若nfn,,,，,,(),
术语“收敛序列”通常仅指极限为有限的序列，具有无限极限的序列称为发散。当然存在没有无限极限的发散序列，有下列公式定义的序列，就是例子，
n,in,1,,nn2fnfnfnfne()(1),()sin,()(1)1,().,,,,,，, ,,2n,,
作为讨论和、积等等的极限的基本规则对于收敛序列的极限也是成立的。读者自己公式化这些定理应该不会有困难，它们的证明有点类似于3.5节中给出的那些证明。
浙公网安备 33021202002483