武汉理工大学研究生课程考试试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
纸（A卷）
课程名称 数值计算 专业年级 全校2012级
备注: 半开卷（可带一页手写A4纸，左上角写姓名，不得带复印件）, 不得在试题纸上答题
一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）
1.将
和
作为
的近似值，它们各有几位有效数字，
绝对误差和相对误差分别是多少？
2.已知
，求
，
.
3.确定求积公式
中的待定系数，使其
代数精度尽量高，并指出该求积公式所具有的代数精度。
4.求矩阵
的谱半径。
5. 设
计算A的条件数
.
二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）
1.求满足条件
的插值多项式
.
2.已知
，求
的Lagrange插值多项式。
3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合
0
1
2
3
1
2
4
5
4.用Jacobi迭代法求解方程组
，取初值
，
计算迭代二次的
值；（2分）
问Jacobi迭代法是否收敛？为什么？（2分）
若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于
？
（提示：
）（5分）
问Gauss-Seidel迭代法是否收敛？为什么？（1分）
5.用欧拉法求解初值问题
在
上的数值解，取
，
计算过程保留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分）
三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分）
1.设
，其中
为非奇异矩阵，证明
2.证明向量
的范数满足不等式
四.证明（10分）
对于给定的正数
,应用牛顿法于方程
，写出牛顿迭代格式；
证明当初值满足
时，该迭代法收敛。
武汉理工大学研究生课程考试标准
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
用纸
课程名称：数值计算（A） 任课教师 ：
一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）
1.将
和
作为
的近似值，它们各有几位有效数字，
绝对误差和相对误差分别是多少？
3分）
2分）
2.已知
，求
，
.
(5分）
3.确定求积公式
中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。
解：要使其代数精度尽可能的高，只需令
使积分公式对尽可能大的正整数
准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即
。
由
数值积分准确成立得：
由
数值积分准确成立得：
由
数值积分准确成立得：
解得
(3分）
此时，取
积分准确值为
而数值积分为
所以该求积公式的最高代数精度为
次。 (2分）
4.求矩阵
的谱半径。
解
矩阵A的特征值为
所以谱半径
(5分）
5. 设
计算A的条件数
.
解：
矩阵A的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则
(2分）
(3分）
二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）
1. 求作满足条件
的插值多项式
.
解：根据三次Hermite插值多项式：
(5分）
并依条件
，得
(5分）
2.已知
，求
的Lagrange插值多项式。
解：注意到：
3.3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合
0
1
2
3
1
2
4
5
解:
(5分）
，
(5分）
4.用Jacobi迭代法求解方程组
，取初值
，计算迭代二次的值；（2分）
问Jacobi迭代法是否收敛？为什么？（2分）
若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于
？（提示：
）（5分）
问Gauss-Seidel迭代法是否收敛？为什么？（1分）
解：先将方程组化成便于迭代的形式，以
分别除以三个方程两边得
， 迭代矩阵
由于
或者因为原方程组系数矩阵严格对角占优，故Jacobi迭代法收敛、且Gauss-Seidel迭代法收敛。
由
得公式
及
可得
所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于
5.用欧拉法解初值问题
在
上的数值解，取
，计算过程保留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分）
解：欧拉法的公式为
，
（4分）
已知
，
（6分）
三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分）
1.设
，其中
为非奇异矩阵，证明
证明：
（5分）
2.证明向量
的范数满足不等式
证明：设
是向量
的分量，则
，
所以由向量范数的概念可知，结论成立. （5分）
四.证明（10分）
对于给定的正数
,应用牛顿法于方程
，写出牛顿迭代格式；
证明当初值满足
时，该迭代法收敛。
证：因为
，故牛顿迭代格式为
（5分）
下证明其收敛性。
记第
步的误差为
和构造
，
，
则有
三者之间的关系为
；
而
（+）
（+）式是一个递推关系，重复使用它，得
（*）
若
，那么
，
也即有
（#）
从而有
即
。
又因为
，所以
，
也就是牛顿法产生的序列
收敛于
。（5分）
浙公网安备 33021202002483