数学分析10.4--二元函数的泰勒公式

数学分析10.4--二元函数的泰勒公式 ?10.4 二元函数的泰勒公式 一.高阶偏导数 ,z,zy二元函数的两个(一阶)偏导函数， 仍是与的二元函数。若z,f(x,y)x,x,y y他们存在关于和的偏导数，即 x ,,z,,z,,z,,z()， ()， ()， (). ,x,x,x,x,y,y,y,y 2称它们是二元函数的二阶偏导(函)数.二阶偏导数至多有2个。通常将 z,f(x,y) 2,z,,z''f()记为或. (x,y)xx2,x,x,x 2,z,z,''f()记为或. (混合偏导数) (x,y)xy,x,x,y,y 2,x,,z''()记为或. (混合偏导数) (x,y)fyx,x,y,x,y 2,,z,z''()记为或. (x,y)fyy2,y,y,y n,1 一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为二元函数的阶偏导数.z,f(x,y)n n二元函数的阶偏导数至多有2个.二元函数z=(x,y)的阶偏导数的符号与二阶偏导nfn数类似.例如,符号 n,z(n) 或 (x,y)fn,kkn,kkxy,x,y kn,ky 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示二元函数的阶偏导数，首先对求阶偏导数,其次对求阶偏导z,f(x,y)nx 数. 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般元函数的高阶偏导数. n 3322z,xy,3xy，xy，3例1 求函数的二阶偏导数. ,z,z2323223xy,6xy，y3xy,3x，2xy解 =， =. ,x,y 2,z36xy,6y =. 2,x 2,z22 =. 9xy,6x，2y,x,y 222,z,z,z22=9xy,6x，2y. (=) ,y,x,x,y,y,x 2,z36xy，2x=. 2,y 1222例2 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :若u=,r=,则 (x,a)，(y,b)，(z,c)r 222,u,u,u++=0. 222,y,x,z证明 由?10.3例2，有 ,u,ux,ay,b,uz,c,,,=，=，=. 333,x,zrrr,y ,r32r,(x,a)3r2x,a,u,r,x,=(=) 62r,xr,x x,a32r,(x,a)3rr = ,6r 132,(x,a) =+. 35rr 同样，可得 221,u133,u22,,(y,b)(z,c) =+, =+ 335522rrrr,y,z于是， 222,u13,u,u222,，[(x,a)，(y,b)，(z,c)]++= 35222rr,y,x,z 33,0 =+=. 33rr 22,z,zyy由例1看到，=，即二阶混合偏导数(先对后对和先对后对)与求xx,x,y,y,x 导的顺序无关。那么是否函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关呢,否～例如，函数 22,x,y22,x，y,0,,xy22f(x,y)= ,xy，22,x，y,0,,0, ''''f在原点(0, 0)的两个偏导数(0,0)于(0,0)都存在，且 fxyyx '''' ,f(0,0)f(0,0)xyyx事实上，由偏导数定义，有 f(h,0),f(0,0)'f(0, 0)= =0 limxh,0h f(0,h),f(0,0)'(0, 0)= =0 limfyh,0h 22hy,hy22f(h,y),f(0,y)hy，'f,y= ==. (0,y)limlimxh,0h,0hh 22xh,xh22f(x,h),f(x,0)，'xh(, 0)= ==. limlimxxfyh,0h,0hh ''fhf(0,),(0,0),h''xxf,1(0, 0) === limlimxyh,0h,0hh ''fhf(,0),(0,0)hyy''1(0, 0)=== limlimfyxh,0h,0hh 于是， '''', f(0,0)f(0,0)xyyx 那么，多元函数具有什么条件，它的混合高阶偏导数与求导的顺序无关呢,有下面的定 理: ''f 定理1 若二元函数在点P(x,y)的邻域G存在二阶混合偏导数与 f(x,y)(x,y)xy000''，并且它们在点P(x,y)连续，则 (x,y)f000yx ''''f(x,y)(x,y)= fxy0000yx证法 根据一阶、二阶偏导数的定义，有 '' f(x,y)xy00 ''f(x,yk)f(x,y)，,0000= limk,0k fxhykfxykfxhyfxy(,)(,)(，,，),(,，)，,100000000=lim lim][lim,k,0h,h,00khh f(xh,yk)f(x,yk)f(xh,y)f(x,y)，，,，,，，00000000= limlimk,0h,0hk 设 =f(x，h,y，k),f(x,y，k),f(x，h,y)，f(x,y) ,(h,k)00000000 从而, ,(h,k)'' =. limlimf(x,y)xy00k,0h,0hk 同样方法，有 (h,k),'' =. limlimf(x,y)yx00h,0k,0hk 定理1的实质是上述两个累次极限相等，即两个累次极限可以交换次序.由此可见，证 明定理1要构造函数. ,(h,k) hk,G(x，h,y，k)(x，h,y) 证明 当与充分小时，使，从而，与0000 ,G(x,y，k),设 00 ,f(x，h,y，k),f(x,y，k),f(x，h,y)，f(x,y) . (1) ,(h,k)00000000 g(x),f(x,y，k),f(x,y)令,(1)式可改写为 00 ,g(x，h),g(x). ,(h,k)00 xx，h函数在以和为端点的区间可导，根据微分中值定理，有 g(x)00 ',g(x，,h)h ,(h,k)x01 ''[f(x，,h,y，k),f(x，,h,y)]h =，0,,,1. x010x0101 ''fGx，,h已知在存在，将看作常数，再根据微分中值定理，有 (x,y)xy01 '',f(x，,h,y，,k)hk，0,,，,,1. (2) ,(h,k)xy010212 l(y),f(x，h,y),f(x,y)再令，同样方法，有 00 '',(x，,h,y，,k)hk0,,，，,,1. (3) ,(h,k)f030434yx 于是，由(2)式和(3)式，有 ''''f(x，,h,y，,k)(x，,h,y，,k) =. fxy01020304yx ''22''fP(x,y)已知(x,y)与 (x,y)在点连续，当时，有 ,,h，k,0fxy000yx '''' =. f(x,y)f(x,y)xy00yx00 证明:若则 例3z,f(x,y),x,,cos,,y,,sin,,22221,f,f1,f,f,f+=++. 22222,y,,,,,,,,x, ,f,f,x,f,y,f,f,，,，证明 cos,sin,. ,,x,,y,,x,y,,, ,f,f,x,f,y,f,f,，,,， ,sin,,cos,. ,,x,,y,,x,y,,, 2,f,,f,,f,f,(),(cos,，sin,) 2,,,,x,y,,,,, 2222,f,f,f,f22,cos,，sin,cos,，sin,cos,，sin,. 22,x,y,y,x,x,y 2,f,,f,,f,f,(),(,,sin,，,cos,) 2,,,,x,y,,,,, 22,f,f,f222,,,,,,,,,,,sinsincoscos2,x,y,x,x 22,f,f,f222，,,sin,cos,,cos,,sin,.2,y,x,y,y 于是， 22,f1,f1,f，， 222,,,,,,,, 22ff,,2222,(cos,，sin,)，(sin,，cos,), 22xy,, ,,,,,fcos,fsin,fcos,fsin ,，，,,,,,x,y,x,y 22,f,f.,， 22,x,y 即 2222,f,f,f,f,f11，,，，. 22222,,,,x,y,,,,, 定理1的结果可推广到元函数的高价混合偏导数上去.例如，三元函数关nf(x,y,z)于x,y,z的三阶混合偏导数共有六个: 333333,f,f,f,f,f,f,,,,,. ,x,y,z,y,x,z,y,z,x,x,z,y,z,x,y,z,y,x 若它们在点都连续，则它们相等.若二元函数所有的高阶混合偏导数都连(x,y,z)f(x,y) ''''续，则偏导数(亦称一阶偏导数)有两个，二阶偏导数只有三个，三阶偏导数(f,f)xyyx n，1只有四个.一般情况，阶偏导数只有个. n 二. 二元函数的泰勒公式 一元函数的泰勒公式能够推广到多元函数上来.关于多元函数泰勒公式的作用和意义与一元函数泰勒公式相同，不再重述.为书写简便，只讨论二元函数的泰勒公式.讨论二元函数泰勒公式的方法是作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式. 为了将二元函数在点的函数值在点展f(x,y)Q(a，h,b，k)f(a，h,b，k)P(a,b)成泰勒公式，作辅助函数 ,(t),f(a，ht,b，kt),0,t,1, 即 ,(t),f(x,y),x,a，ht,y,b，kt,0,t,1. 显然，于是，函数在t,0,,(0),f(a,b);t,1,,(1),f(a，h,b，k).f(a，h,b，k) t,0点展成的泰勒公式就是一元函数在点的泰勒公式(即麦克劳林公式)在P(a,b),(t) t,1的值. Gn，1定理2 若二元函数在点的领域存在阶连续的偏导数，则f(x,y)P(a,b) 有 ,Q(a，h,b，k),G, f(a，h,b，k) 1,,1,,2,f(a,b)，(h，k)f(a,b)，(h，k)f(a,b)，？， 1!,x,y2!,x,y 1,,1,,nn，1(h，k)f(a,b)，(h，k)f(a，,h,b，,k),0,,,1, (4) n!,x,y(n，1)!,x,y ，1i,,,fil()()f(a,b)其中符号表示偏导数在P(a,b)的值， il,,,x,yxy mm,,,miim,i (h，k)f(a,b),Chkf(a,b).,mim,i,x,y,,xy0i, (4)式称为二元函数在点的泰勒公式. f(x,y)P(a,b) 证明 设由已知条件，函数在区间存在,(t),f(a，ht,b，kt),0,t,1.,(t)[0,1] n，1阶连续导数.从而，可将函数展成麦克劳林公式，即 ,(t) '''(n)(n，1),,,,,(0)(0)(0)(t)2nn，1,(t),,(0)，t，t，？，t，t,0,,,1. 1!2!n!(n，1)! t,1特别地，当时，有 '''(n)(n，1),,,,,(0)(0)(0)(),(1),,(0)，，，？，，,0,,,1. nn1!2!!(，1)! ,(1),f(a，h,b，k),,(0),f(a,b). '''(n，1),(t),,(t),？,,(t),求即求复合函数 f(x,y),x,a，ht,y,b，kt的高级导数.由复合函数微分法则，有 ,fdx,fdy,f,f'(t),，,h，k, ,xdt,ydt,x,y ,,,(h，k)f(a，ht,b，kt). ,x,y ,f,f''''',(t),[,(t)],(h，k) ,x,y 2222,f,f,f,f22,h，hk，hk，k 22,x,y,y,x,x,y 222,f,f,f22,h，2hk，k (根据定理1) 22,x,y,x,y 222,,,22,(h，2hk，k)f(a，ht,b，kt) 22,x,y,x,y ,,2,(h，k)f(a，ht,b，kt). ,x,y ,,(m)m同法可得， ,(t),(h，k)f(a，ht,b，kt).,x,y t,0令，有 ,,(m)m ,(0),(h，k)f(a,b),m,1,2,？,n. ,x,y ,,(n，1)n，1 ,,(),(h，k)f(a，,h,b，,k). ,x,y 将上述结果代入的展开式中，就得到二元函数在点的泰勒公式: ,(1)f(x,y)P(a,b) f(a，h,b，k) 1,,1,,2,f(a,b)，(h，k)f(a,b)，(h，k)f(a,b)，？， 1!,x,y2!,x,y1,,1,,nn，1(h，k)f(a,b)，(h，k)f(a，,h,b，,k),0,,,1. n!,x,y(n，1)!,x,y hk在泰勒公式(4)中，令就得到二元函数的麦克劳林公式(将与a,0,b,0,f(x,y) y分别用与表示): x f(x,y) 1,,1,,2,f(0,0)，(x，y)f(0,0)，(x，y)f(0,0)，？， 1!,x,y2!,x,y1,,1,,nn，1(x，y)f(0,0)，(x，y)f(,x,,y),0,,,1. (5) n!,x,y(n，1)!,x,y n,0 在泰勒公式(4)中，当时，有 '' f(a，h,b，k),f(a,b)，f(a，,h,b，,k)h，f(a，,h,b，,k)kxy 或 '' (6) f(a，h,b，k),f(a,b),f(a，,h,b，,k)h，f(a，,h,b，,k)k,0,,,1.xy ,.(6)式是二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个 n,1在泰勒公式(4)中，当时，有 f(a，h,b，k),f(a,b) '',f(a,b)h，f(a,b)k，xy 1''2''[f(a，,h,b，,k)h，2f(a，,h,b，,k)hk， xxxy2 ''2 (7) f(a，,h,b，,k)k],0,,,1.yy x，y例4 将二元函数f(x,y),e展成麦克劳林公式. x，y2f(x,y),e 解 函数在存在任意阶连续偏导数，且 R mlml，，,f,xy， ,e,f(0,0),1, mlml,x,y,x,y l与是任意非负整数.由公式(5)，有 m 111x，y2nn，1,(x，y) e,1，(x，y)，(x，y)，？，(x，y)，(x，y)e,0,,,1. 2!n!(n，1)! x，yx，y不难看到，将中的当作一个变量，用一元函数的麦克劳林公式得到的结果与e 上述结果是一致的. 不难将上述二元函数的泰勒公式推广到元函数上去.例如，若三元函数在原nf(x,y,z) Gn，1点的领域存在阶连续偏导数，则三元函数的麦克(0,0,0),(x,y,z),G,f(x,y,z) 劳林公式为 1,,,f(x,y,z),f(0,0,0)，(x，y，z)f(0,0,0)，？， 1!,x,y,z 1,,,1,,,nn，1(x，y，z)f(0,0,0)，(x，y，z)f(,x,,y,,z),0,,,1.n!,x,y,z(n，1)!,x,y,z 例5 当都很小时，将超越函数 x,y,z f(x,y,z),cos(x，y，z),cosxcosycosz x,y,z近似表为的多项式. 展成麦克劳林公式(到二阶偏导数)，有 解 将三元函数f(x,y,z) ''' f(x,y,z),f(0,0,0)，xf(0,0,0)，yf(0,0,0)，zf(0,0,0)，xyz 12''2''2''[xf(0,0,0)，yf(0,0,0)，zf(0,0,0)， xxyyzz2! '''''' 2xyf(0,0,0)，2yzf(0,0,0)，2zxf(0,0,0)].xyyzzx f(0,0,0),0. 'f(0,0,0),[,sin(x，y，z)，sinxcosycosz],0. x(0,0,0) ''同样 f(0,0,0),0,f(0,0,0),0.yz '' f(0,0,0),[,cos(x，y，z)，cosxcosycosz],0.xx(0,0,0) ''''同样 f(0,0,0),0,f(0,0,0),0.yyzz 'f(0,0,0),[,cos(x，y，z),sinxsinycosz],,1. xy(0,0,0) ''''同样 f(0,0,0),,1,f(0,0,0),,1.yzzx 于是， f(x,y,z),,(xy，yz，zx), 即cos(x，y，z),cosxcosycosz,,(xy，yz，zx). 三、二元函数的极值 在实际问题中，不仅需要一元函数的极值，而且还需要多元函数的极值。本段讨论二元函数的极值，其结果可以推广到n元函数上去. G定义 设二元函数在点的领域有定义.若，有 f(x,y)P(a,b),(a，h,b，k),G f(a，h,b，k),f(a,b)(f(a，h,b，k),f(a,b)),则称是函数的极大点(极小点). 极大点(极小点)的函数值称为P(a,b)f(x,y)f(a,b)函数的极大值(极小值). f(x,y) 极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值. 哪些点可能是函数的极值点呢,即是函数的极值点的必要条f(x,y)P(a,b)f(x,y)件是什么呢,有下面定理: 定理3 若二元函数在点存在两个偏导数，且是函数f(x,y)P(a,b)P(a,b)f(x,y)的极值点，则 ''f(a,b),0 与 . f(a,b),0xy 证明 已知是函数的极值点，即是一元函数的极值点.P(a,b)f(x,y)x,af(x,b)根据一元函数的极值的必要条件，是一元函数的稳定点，即 af(x,b) 'f(a,b),0 x '同法可证，. f(a,b),0y 方程组 ',(,),0,fxy,x ,'fxy(,),0,y, 的解(坐标平面上某些点)称为函数的稳定点. f(x,y) 定理3指出，二元可微函数的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极f(x,y) 值点.例如，函数(双曲抛物面) 22 f(x,y),x,y. ''f(x,y),2x, f(x,y),,2y.xy 22显然，点是函数f(x,y),x,y的稳定点.但是点并不是函数(0,0)(0,0) 22f(x,y),x,y的极值点.事实上，在点的任意邻域，总存在着点，使 (0,0)(x,0)(x,0) 22f(x,0),x,f(0,0),0f(y,0),y,f(0,0),0;也总存在点，使，所以(y,0)(y,0)点不是极值点. (0,0) 那么什么样的稳定点才是极值点呢,即是函数的极值点的充分条件是P(a,b)f(x,y)什么呢, G 定理4 设二元函数有稳定点，且在点的邻域存在二阶连续f(x,y)P(a,b)P(a,b)偏导数.令 '''''' A,f(a,b),B,f(a,b),C,f(a,b).xxxyyy 2 ,,B,AC. ,,01)若，则是函数的极值点: P(a,b)f(x,y) A,0C,0?)(或)，是函数的极小点; P(a,b)f(x,y) A,0C,0?)(或)，是函数的极大点. P(a,b)f(x,y) ,,02)若，不是函数的极值点. P(a,b)f(x,y) 证明 已知是函数的稳定点，有 P(a,b)f(x,y) ''f(a,b),0 与 f(a,b),0.xy hk当与充分小时，讨论的符号.由泰勒公式(7)，有(已f(a，h,b，k),f(a,b) ''知) f(a,b),f(a,b),0xy f(a，h,b，k),f(a,b) 1''2''''2,[f(a,，h,b,，k)h，2f(a，,h,b，,k)hk，f(a，,h,b，,k)k],0,,,1.xxxyyy2 h,0k,0又已知二阶偏导数在点连续，当与时，有 P(a,b) ''''f(a，,h,b，,k),f(a,b)，,,A，,,,,0. xxxx '''' f(a，,h,b，,k),f(a,b)，,,B，,,,,0.xyxy '''' f(a，,h,b，,k),f(a,b)，,,C，,,,,0.yyyy 于是， f(a，h,b，k),f(a,b) 112222,(Ah，2Bhk，Ck)，(,h，2,hk，,k), 22 22222hk,h，2,hk，,k,其中比是高阶无穷小.因此，当与充分小(,,h，k) 22时，的符号由的符号决定.因为h与k不能同f(a，h,b，k),f(a,b)Ah，2Bhk，Ck k,0k,0h,0时为零,不妨设(当时，，可得相同的结论). hh2222Ah，2Bhk，Ck,k[A()，2B()，C]. kk h,t令，则的符号由 f(a，h,b，k),f(a,b)k 2 D,At，2Bt，C 的符号决定.由一元二次方程根的判别式,有 2DAC1) 若判别式,对任意实数t,与(或)有相同的符号,即,,B,AC,0 是函数极值点: P(a,b)f(x,y) A,0C,0?)(或),有,即是函数的极f(a，h,b，k),f(a,b),0P(a,b)f(x,y) 小点; A,0C,0?)(或),有,即是函数的极f(a，h,b，k),f(a,b),0P(a,b)f(x,y) 大点. 2DD,02) 若判别式,方程有两个不同的实根t与t,设t,t, ,,B,AC,02121 在区间内与区间外有相反的符号,即不是函数的极值点. (t,t)[t,t]P(a,b)f(x,y)1212 当判别式,,0时,稳定点可能是函数的极值点,也可能不是函数注P(a,b)f(x,y) 的极值点.例如,函数 f(x,y) 2222222fxyxyfxyxyfxyxy(,)(),(,)(),(,).,，,,，, 123 不难验证，是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点每个函数的判别式P(0,0)P(0,0) 2222fxyxy(,)(),，.显然，稳定点是函数的极小点;是函数P(0,0),,,,BAC01 2222fxyxy(,)(),,，fxyxy(,),的极大点;却不是函数的极值点. 23求可微函数的极值点的步骤: fxy(,) 第一步:求偏导数，解方程组 ,fxy(,)0,,,,x,,fxy(,)0,,,y, 求稳定点.设其中一个稳定点是. Pab(,)第二步:求二阶偏导数，写出 2,,,,,,，，fxyfxyfxy(,)(,)(,)., xyxxyy，， 第三步:将稳定点的坐标代入上式，得判别式 Pab(,) 2,,,,,,，，,,,fabfabfab(,)(,)(,). xyxxyy，， ,再由的符号，根据下表判定是否是极值点: Pab(,) 2— + 0 ,,,BAC A(或C) + — 不是极值点 不定 Pab(,)是极小点 是极大点 33zxyxy,，,3例6 求二元函数的极值. 解 解方程组 2,,fxyxy(,)320,,,,,x,2,fxyyx(,)330.,,,,y, 得两个稳定点(0,0)与(1,1).求二阶偏导数 ,,,,,,fxyxfxyfxyy(,)6,(,)3,(,)6.,,,,xxxyyy 2,,,,,,[(,)](,)(,)936.fxyfxyfxyxy,,,xyxxyy 在点不是函数的极值点. (0,0),,,9,0,(0,0) 在点且是函数的极小点，极小值是 (1,1),,,,27,0,A,6,0,(1,1) 33x，y,3xy,,1.. (1,1) 在有界闭区域D的最大(小)值,除了求出函数在D内全部欲求可微函数fxy(,)fxy(,) 小)值外,还要求出函数在D的边界上的最大(小)值,将它们放在一起进行比较,极大(fxy(,) 其中最大(小)者就是函数在D的最大(小).一般来说，求函数在D的边界上fxy(,)fxy(,)的最大(小)值是很困难的.但是，在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数的fxy(,)最大(小)值必在区域D(D可以是无界区域)内某点P取得，又函数在D内只有fxy(,)一个稳定点P，那么函数必在这个稳定点P取得最大(小)值. fxy(,) 例7 用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板. Vxyz,,解 设水箱长、宽、高分别是.已知，从而高.水箱表面的面积 z,xyzV,xy ,,V11SxyxyxyV,，，,，，(22)2 ， ,,xyxy,, Dxyxy,,,，,,,，,(,)0,0S的定义域. ,, 这个问题就是求函数S在区域D内的最小值. 解方程组 ,,SV12,,,，,,,,yVy20,,,,22,xxx,,, ,,,,SV12,,，,,,,xVx20.,,22,,yyy,,, 33(2,2)VV在区域D内解得唯一稳定点.求二阶偏导数 222,SV4,S,SV4,1, ， . ,,2323,,xy,yy,xx 22222,,,,,SSSV16 . ,,,,1,,2233,,,,xyxyxy,, 3333(2,2)VV,,,,30A,,20(2,2)VV在稳定点，，且，从而，稳定点是S 3333(2,2)VVxVyV,,2,2的极小点.因此，函数S在点取最小值.当时， 3VV2z,,, 33222VV 32V3即无盖长方形水箱，所需钢板最省. xyVz,,,2,2 在已知周长为的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 例82p xyz,,,解 设三角形的三个边长分别是.面积是.由海伦公式，有 . (8) ,,,,,ppxpypz()()() 已知，将它代入(8)式之中，有 xyzpzpxy，，,,,,22或 . ,,,,，,ppxpyxyp()()() p,因为三角形的每边是正数而且小于半周长，所以的定义域 Dxyxpypxyp,,,,,，,(,)0,0, . ,, 2,,已知的稳定点与的稳定点相同.为计算方简便，求 p 2,,,,,，,()()()pxpyxyp ,p 的稳定点.解方程组 ,,(,)()()()()xypyxyppxpy,,,，,，,,,x,,,,,,()(22)0.pypxy, ,,(,)()(_()()xypxxyppxpy,,,，,，,,,y, ,,,,,,()(22)0.pxpyx, 22pp,,,在区域D内有唯一稳定点.求二阶偏导数 ,,33,, ,,,,,,,,(,)2(),(,)2()3,xypyxyxyp,,,,，,,(,)2().xypx,,, xxxyyy 2,,,,,,[(,)](,)(,),,,xyxyxy,xyxxyy 222,，，,,，444885.xxyypxpyp 222pp22ppp2,,,, 在稳定点,，.从而，稳定点,是函数,,,,,,,0,0Ap,,,,333333,,,, 22pp2p2p,,x,y,,，即,的极大点.由题意，,在稳定点必取到最大值.当，时，,,,3333,, 2pzpxy,,,,2，即三角形三边长的和为定数时，等边三角形的面积最大. 3 例9 经过实测得到n个数对(x,y)，，其中y是在x测得的值.在坐标i,1,2,？,niiii平面上,这n个数对对应n个点,设它们大体上分布在一条直线的附近.求一条直线 y yaxb,， ,,, ,,,,axby，,ii,,,,(,)xy,ii,,, xO 图10.12 ,使其在总体上与这n个点接近程度最好. y,ax，b (x,y),,ax，b,y,(x,y) 将点的坐标代入直线方程中,设,称是点y,ax，biiiiiii (x,y)到直线的偏差,如图10.12.显然,若点在直线上,则偏差y,ax，by,ax，bii ,,0(x,y),,0,;若点不在直线上,则偏差.此时, 可能是正数也可能是y,ax，biiiii 2,负数.为了消除符号影响,考虑.于是,偏差平方和的大小,即 i nn22,,(ax，b,y) ,,iii,,ii11 的大小在总体上刻画了这n个点与直线的接近程度.为了使其接近程度最好,也y,ax，b 就是求以a与b为自变量的二元函数 n2f(a,b),(ax，b,y) ,ii,i1 的最小值.求函数的最小值确定a与b(从而确定直线方程)的方法叫做最f(a,b)y,ax，b 小二乘法. 2 解 函数的定义域是,解方程组 f(a,b)R n,'2,，,,f(a,b)2(axbxxy)0,,aiiii,,i,1 ,n',f(a,b),2(ax，b,y),0,bii,i,1, 或 nnn,2，,axbxxy,,,,iiii,,i,1i,1i,1 ,nn ,ax，bn,y.,,ii,i,1i,1, (a,b)解得唯一稳定点: 00 nnn nxy,xy()(),,,iiii,,,111iii a,,0nn22nx,x(),,ii,,11ii nnnn xy,xyx()()()(),,,,iiiii,,,111,1iiii b,.0nn22nx,x(),,ii,,11ii 2根据问题的实际意义,二元函数在内必存在最小值,又只有唯一一个稳定点.因此,f(a,b)R (a,b)二元函数必在稳定点取最小值.于是,欲求的直线方程是 f(a,b)00 y,ax，b. 00 注 用取极值的充分条件判别也是很简便. nn''2''''f(a,b),2x,f(a,b),2x,f(a,b),2n. ,,aa00iab00ibb00,,i1i1 ''2'''',,[f(a,b)],f(a,b),f(a,b) ab00aa00bb00 nn22,4[(x),nx],0. ,,iii,1i,1 '',,0,f(a,b),0(a,b)即.从而,唯一的稳定点f(a,b)是函数f(a,b)的极小点.于aa0000 是,函数在稳定点取最小值.即直线方程是y,ax，b.. f(a,b)f(a,b)00