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两类分数阶偏微分方程数值解法.doc

两类分数阶偏微分方程数值解法

ji跃群
2017-09-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《两类分数阶偏微分方程数值解法doc》,可适用于战略管理领域

两类分数阶偏微分方程数值解法国内图书分类号:O学校代码:密级:公开国际图书分类号:理学硕士学位论文两类分数阶偏微分方程数值解法硕士研究生:潘有思导师:金承日教授申请学位:理学硕士学科:计算数学所在单位:数学系答辩日期:年月授予学位单位:哈尔滨工业大学Classi,edIndex:OUDC:DissertationfortheMasterDegreeinScienceNUMERICALSOLUTIONFORTWOCLASSESFRACTIONALPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONCandidate:PanYousiSupervisor:ProfJinChengriAcademicDegreeAppliedfor:MasterofScienceSpecialty:ComputationalMathematicsA,liation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:June,DegreeConferringInstitution:HarbinInstituteofTechnology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要随着分数阶偏微分方程在理论和实践上的发展与应用它已经越来越受到数学家的重视。相对于整数阶微积分构造的模型分数阶微积分构造的模型更能符合实际情况。在建立的数学模型中分数阶偏微分方程拥有的良好性质(记忆性、遗传性等)是传统(整数阶)偏微分方程所无法比拟的。因此对分数阶偏微分方程数值解法的研究是十分有必要的。本文则是针对时间分数阶色散方程和时间空间分数阶电报方程进行求解和理论分析期望其能在工程应用中发挥作用。首先利用有限差分法对时间分数阶色散方程的第一边值问题进行了数值求解得出了一个无条件稳定并且收敛的隐式差分格式通过给出数值实验对差分格式的有效性进行了验证进一步验证了理论分析的正确性。接着对于时间分数阶色散方程的周期边值问题构造了一个隐式差分格式并证明了差分格式是无条件稳定的而且是收敛的。并验证了差分格式的有效性且通过数值实验可以看出该格式具有较高的数值精度。其次利用有限差分法对时间空间分数阶电报方程的第一边值问题进行了差分离散同样给出了一个无条件稳定的隐式差分格式并且是收敛的。最后给出数值实验进一步验证了该差分格式是非常有效的通过数值算例可以看出差分格式有较高的数值精度。关键词:分数阶有限差分法隐式差usdor,维数n<γ<n。例(人口增长模型中的应用)Momani和Qaralleh对分数阶人口增长模型进行了有效的求解主要研究的是非线性分数阶Volterra微积分方程tdαu()u(s)ds,u()=β,<α=aubucu(t)dtα该模型能够很好的反映人口增长的特点为人口增长研究提供了新思路。更多例子可以参见文献,由此也可以看出FDEs在各个领域得到了广泛的应用因此对于FDEs数值解法的研究是十分必要的。本课题的主要研究目的是对一些查阅到的文献中未提到过的时间分数阶色散方程和时间空间分数阶电报方程利用有限差分法构造行之有效的隐式差分格式并给出理论分析并完成稳定性和收敛性的证明最终给出数值实验验证有效性。国内外分数阶微分方程的研究现状近三十年来FDEs的研究越来越受到学者们的关注它在诸多科学领域的应用也让更多的人认识到了分数阶微分方程的重要实践意义。目前对于分数阶微分方程的求解常用的解析法有Fourier变换法,、Laplace变换法和Adomian拆分法等。FDEs的数值方法比较多但由于有限差分法的成熟性所以主要以有限差分法为主要研究手段同时还有有限元法谱方法,同伦摄动法–等。有限差分法是将时间分数阶导数或者空间分数阶哈尔滨工业大学理学硕士学位论文导数进行离散得到相应的差分格式并给出差分格式稳定性收敛性的证明最终求解数值实验得到对应FDEs的数值解从而验证数值方法的有效性。对于FDEs的研究学者们主要集中在分数阶对流反应扩散方程–时间分数阶电报方程,分数阶薛定谔方程分数阶扩散方程–分数阶KDV方程–分数阶Burgers方程–等。但本文上述所要研究的两个方程在查找的文献中尚未见到过时间分数阶色散方程明显的非局部性以及色散方程在非线性波及孤立子理论物理问题的重要应用使得对时间分数阶色散方程的研究更有意义。电报方程是在研究电报线上的电压与电流的变化规律时推导出来的而时间空间分数阶电报方程良好的记忆性为更好地研究其变化规律提供了有利条件。因此对上述两个分数阶微分方程的求解具有很重要的实际意义。目前对于分数阶偏微分方程的研究主要分为以下几个部分。第一对时间分数阶微分方程的进行求解。对于时间分数阶反应扩散方程αu(x,t)u(x,t)=bcu(x,t),<x<L,<tTtαx于强和刘发旺提出了一个隐式差分格式并对稳定性和收敛性进行了证明。Langlands和Henry给出了精度相对较高的差分格式并进行了理论性分析得到了差分格式稳定且收敛的结论。对于时间分数阶对流扩散方程αu(x,t)u(x,t)u(x,t)=b(x)a(x)f(x,t),<xL,t>tαxx夏源等人对其进行了数值求解但对稳定性和收敛性未给出证明。Zheng和Wei提出了对其求解的谱方法并对该方法进行了理论分析得出格式稳定和收敛的结论。对于时间分数阶薛定谔方程αuuiβV(x)uγ|u|u=,t>,<α<tαxRida等人利用Adomian拆分法对微分方程进行了求解并进行了理论分析。对于时间分数阶电报方程αu(x,t)αu(x,t)u(x,t)λ=vf(x,t),<xL,t>tαtαx康玉等人利用了Adomian拆分法和有限差分法对该方程分别求解了解析解和数值解并完成了稳定性和收敛性的证明。周玉鼎和斯仁道尔吉考虑了时间分数阶电报方程对其第类非齐次边界条件问题进行了数值求解但没给出理论性分析。对于时间分数阶KDV方程Dαtuau(u)xu(u)xxx=,a>,t>哈尔滨工业大学理学硕士学位论文其中<α<,Odibat利用同伦摄动法构造了一个同伦方程Dαtvpa(v)xv(v)xxx=,p,并对这一方程进行了求解最后给出了理论分析。第二对空间分数阶微分方程进行求解。对于空间分数阶反应扩散方程u(x,t)βu(x,t)=bcu(x,t),<x<L,<tTtxβ陈景华和刘发旺对空间Riesz分数阶反应扩散方程进行了数值求解并完成了稳定性与收敛性的理论分析。章红梅等人利用新方法将空间分数阶扩散方程进行离散得到了超线性收敛离散格式并证明了稳定性和收敛性而且得到了较高的数值精度。对于双边空间分数阶反应扩散方程u(x,t)uα(x,t)uα(x,t)d(x,t)=c(x,t)c(x,t)txαxαSweilama等人利用有限差分法进行了差分离散并构造了数值差分格式通过数值模拟进行验证但对稳定性和收敛性未给出证明。Meerschaert等人利用有限差分法对方程进行了数值求解并完成了理论性分析。对于空间分数阶对流扩散方程u(x,t)αu(x,t)βu(x,t)=v(x)w(x)f(x,t),<xL,t>txαxβ丁志清利用分数阶Cranck–Nicolson格式对方程进行了求解并给出了收敛性的证明。并且利用分数阶Cranck–Nicolson格式的外推法得到了一个在空间方向上为二阶精度的差分格式通过数值实验的验证可以得到很高的数值精度。Liu等人对空间分数阶Fokker–Planck方程转化后即为对流扩散问题进行了数值求解和数值模拟但未做理论性分析。对于双边空间分数阶对流扩散方程u(x,t)u(x,t)uα(x,t)uα(x,t)=vs(x,t)c(x,t)c(x,t)txxαxαSu等人对其进行了差分离散得出了隐式差分格式并证明了其既是稳定的又是收敛的。苏丽娟等人对齐次的双边空间分数阶对流扩散方程进行了数值求解并给出了稳定性的证明。第三对时间空间分数阶方程进行求解。对分数阶对流扩散方程αu(x,t)u(x,t)u(x,t)=b(x)a(x)f(x,t),<xL,t>tαxxYIldIrIm等人利用同伦摄动法对方程进行了求解并进行了数值实验。Jiang和Lin利用再生核方法对方程进行了数值求解并通过数值实验进行模拟。对于时间空间分数阶KDV方程哈尔滨工业大学理学硕士学位论文αu(x,t)βu(x,t)u(x,t)εuv=,<xL,t>xtαxβMomani对其利用Adomian拆分法进行了数值求解得出了方程的近似解析解并做出了理论分析。Wang利用同伦摄动法对方程进行了求解并通过数值实验进行了数值模拟。对于时间空间分数阶耦合Burgers方程αu(x,t)u(x,t)αu(x,t)(uv)=uααxtxxv(x,t)βv(x,t)βv(x,t)(uv)=vββxtxxLiu等人利用Taylor级数展开的方法对方程进行了求解并利用数值实验进行验证。Chen等人利用Adomian分解法求得了方程的解析解并给出了数值实验进行了数值模拟。以上提到的研究主要集中在一维FDEs,同时对于二维和三维FDEs也在一些文献中提到。Baeumera等人对二维反应扩散方程进行了数值求解但未证明相应的稳定性和收敛性。Brunner等人对二维反应扩散方程时间上利用有限差分离散空间上基于再生核方法给出了数值求解格式并给出了数值实验。Tadjeran等人利用Crank–Nicolson差分格式和Richardson外推法对二维空间分数阶扩散方程构造了一个在空间方向上是二阶精度的差分格式并完成了对稳定性以及收敛性的证明。最后通过数值实验可以看出格式有很高的精度。周璐莹等人分别对二维时间分数阶和空间分数阶对流扩散方程利用有限差分法进行了数值求解并进行了数值模拟但对差分格式未提出稳定性和收敛性的证明。陈世平对三维对流扩散方程给出了有限差分格式并证明了其构造的格式不仅是稳定的而且是收敛的。三种常见的分数阶微积分定义分数阶微积分通常是指将整数阶微积分扩展到任意阶导数和积分的理论。分数阶微分形式一般为aDαxf(x),其中aDαx是指α阶导数算子积分形式一般为α其中aIxα是指α阶积分算子x和a分别为积分上下限。当α=nN时aIxf(x),n=f(n)(x)即是指f(x)的n阶导数。下面我们给出三种常见的分数阶微积aDxf(x)分的定义。RiemanneLiouville(RL)型定义RiemanneLiouville(RL)型分数阶导数哈尔滨工业大学理学硕士学位论文dn(xξ)nαf(ξ)dξ,n<α<nxR()aDαxf(x)=Γ(nα)dnaxα=nf((nx)),RiemanneLiouville(RL)型分数阶积分xRαRα()(xξ)αf(ξ)dξ,α>f(x)=aIxf(x)=aDxΓ(α)a且下式成立R=f(x)aDxf(x)GrunwaldLetnicov型定义GrunwaldLetnicov型分数阶导数xnf(k)(a)(xa)αkGαnα(n)()f(ξ)dξ(xξ)aDxf(x)=Γ(αn)aΓ(αk)k=其中nN且n<α<nGrunwaldLetnicov型分数阶积分xGαGα()f(x)(xξ)αf(ξ)dξ==aIxf(x)aDxΓ(α)aCaputo型定义x(xξ)nαf(n)(ξ)dξ,n<α<nCαΓ(nα)a()aDxf(x)=(n)α=nf(x),以上定义中Γ()为Gamma函数Gamma函数在分数阶微积分中起着非常重要的作用。Gamma函数常用的积分变换形式定义如下Γ(α)=eαdxxx下面我们列出Gamma函数常用的一些性质Γ()=,Γ()=π,nΓ(n)=Γ(n),n=,,本文的研究内容本文将主要研究时间分数阶色散方程αu(x,t)u(x,t)=af(x,t),<xL,<tTtαx和时间空间分数阶电报方程哈尔滨工业大学理学硕士学位论文αu(x,t)αu(x,t)βu(x,t)λ=vf(x,t),<xL,<tTtαtαxβ的数值方法利用有限差分法对FDEs构造出行之有效的隐式差分格式并对格式的稳定性和收敛性进行证明最后给出数值实验对差分格式的有效性进行验证。在论文的第二章我们将对时间分数阶色散方程的初边值问题和周期问题分别构造隐式差分格式并分析差分格式的稳定性和收敛性。最终得到无条件稳定的、收敛的隐式差分格式并且通过数值实验验证本章所构造的差分格式的有效性。在论文的第三章我们将对时间空间分数阶电报方程的初边值问题构造隐式差分格式并证明差分格式的稳定性同时对收敛性也做了讨论。最后通过数值实验可以看出差分格式有较高的精度。哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第章时间分数阶色散方程的差分方法本章所研究的时间分数阶色散方程是对传统色散方程中时间的一阶导数用α(<α<)阶代替得到的FDEs的优点在前面我们已经提到且目前对分数阶色散方程的研究文献尚未见到因此本章给出了时间分数阶色散方程的数值解法。时间分数阶色散方程的两点边值问题差分格式的构造考虑如下时间分数阶色散方程αu(x,t)u(x,t)()=af(x,t),<xL,<tTtαx()u(x,)=φ(x),<xLu(,t)=ψ(t),u(L,t)=ψ(t),tT()αu(x,t)为Caputo分数阶导数其中<α<,时间分数阶导数tαtu(x,η)dηαu(x,t)=αΓ(α)η(tη)αt即有网格节取时间步长τ=TN,空间步长h=LM,其中M,NN点(xm,tn)=(mh,nτ)微分方程定解问题()()在网格节点(xm,tn)处的解析解记为u(xm,tn),数值解记为unm下面在网格节点(xm,tn)处对分数阶方程()进行差分离散则根据Caputo分数阶导数的定义其中的时间分数阶导αu(x,t)数可作如下离散tααu(xm,tn)αtnu(xm,tj)u(xm,tj)(j)τdξ=τ(tnξ)αjτΓ(α)j=u(xm,tnj)u(xm,tnj)τα=(j)jO(τ)Γ(α)j=τnu(xm,tnj)u(xm,tnj)τα(j)αjατΓ(α)j=哈尔滨工业大学理学硕士学位论文u(x,t)而空间导数可作如下离散xum,n()mtx,nu)tm(,nx)tm,n)utm,n()xtuu((xxO(h)hx=u(xm,tn)u(xm,tn)u(xm,tn)u(xm,tn)h()于是将()和()代人到()可得到如下隐式差分格式nunjunjταmm(j)αjαΓ(jα=)τ()umnnmunmunmu=ahfm其中fmn=f(xm,tn)aταΓ(α)记ωj=(j)αjα,j=,,,,Nr=,p=ταΓ(α),h则差分格式()可以改写成n()ωj(unmjunmj)=r(nmuunmunmunm)pfmnj=再进一步整理得当n=时()umr(umumumum)=umταΓ(α)fm当n>时unmr(unmumnunmunm)n()=(ωjωj)unmjωnumταΓ(α)fmnj=其中m=,,,M差分格式的稳定性分析引理构造的隐式差分格式中的ωj符合如下条件(i)ω=,ωj>,j=,,,(ii)ωj>ωj,j=,,,(iii)ωj<ωj,j=,,,定理按照离散L范数上述隐式差分格式()、()是无条件稳定的。哈尔滨工业大学理学硕士学位论文nmunm,则由()、证明:假设unm为差分格式()、()的近似解误差εnm=u()可得到如下的误差方程()εmr(εmεmεmεm)=εmn()εnm=(ωjωj)εnmjωnεmr(nmεmnεmnεεnm)j=()εn=εnM=,n=,,,N定义如下函数εm,xmh<xxmh,m=,,,Mnnε(x)=h,,h<xLxL则εn(x)可以由傅里叶级数展开成如下形式εn(x)=dneiπlxL,n=,,,,Nll=其中Lεn(x)eiπlxLdx=dlnL设εn=(εn,εn,,εnM)T,则其离散L范数为LMnn|εn(x)|dxε=hεm=m=由Parseval等式可知Ln|ε(x)|dx=Ldlnl=得εn=Ldlnl=由傅里叶分析方法令εnm=dlneiσmh,i=,σ=πlL将其代入()和()的误差方程中并约去公因子eiσmh,可得ir(sinσhsinσh)dl=dl()n()ir(sinσh=sinσh)lnd(ωjωj)dlnjωndlj=对式()和()两端同时取模得哈尔滨工业大学理学硕士学位论文()r(sinσhsinσh)dl=dlnn()r(sinσhsinσh)=(ωjωj)dlnjωndldlj=利用数学归纳法证明下式成立dl,n=,,,Ndln首先由()可知()ldr(sinσhsinσh)dl=dl显然成立。假设()dl,n=,,,kdln成立则由()和()可得到d(sinσhsinσh)dkkrllk=(ωjωj)dlkjωkdlj=k(ωjωj)dlkjωkdlj=k(ωjωj)dlωkdlj==dl于是就证明了l,n=,,,Nddln由此可得nεε,n=,,,N综上所述按离散L范数差分格式()、()是无条件稳定的故定理得证。差分格式的收敛性分析记enm=u(xm,tn)unm,则有()emr(emememem)=ωemΓ(α)ατRm哈尔滨工业大学理学硕士学位论文enmr(enmemnenmenm)n()=(ωjωj)enmjωnemΓ(α)ταRnmj=em=,m=,,,M其中Rnm是局部截断误差。将Rnm通过Taylor展开并利用积分中值定理可以得到存在一个常数C>,使得C(τh),m=,,,Mn=,,,NRnm()定义如下函数en(x)和Rn(x)em,xmh<xxmh,m=,,,Mnne(x)=h,,h<xLxLRm,xmh<xxmh,m=,,,MnnR(x)=h,,h<xLxL将上述的en(x)和Rn(x)展成傅里叶级数的形式()en(x)=ξlneiπlxL,n=,,,,Nl=()Rn(x)=ηnleiπlxL,n=,,,,Nl=设en=(en,en,,enM)T,Rn=(Rn,Rn,,RnM)T,则按离散L范数可得LMnn()Le=n(x)|dx=|ehem=ξlnm=l=MLnhL()=|Rn(x)|dx=R=Rnmηnlm=l=同样由傅里叶分析法令nm=ξlneiσmhe()Rnm=ηnleiσmh其中i=,σ=πlL,将()代入误差方程()、(),并将公因子eiσmh约去整理可得哈尔滨工业大学理学硕士学位论文()ir(sinσhsinσh)ξl=Γ(α)ταηln()ir(sinσh=sinσh)lnξ(ωjωj)ξlnjΓ(α)ταηnlj=引理存在常数C,使得ηnlCηl,n=,,,N()证明:因为对于()式其中ηn(l)级数对任意的n=,,,N都收l=>,使得敛所以存在常数C(n)()ηnlC(n)ηl,n=,,,N取C=max{,C(),C(),,C(N)},便可得到不等式()故引理得证。引理ξlnCΓ(α)ωnταηl,n=,,,N()证明:下面利用数学归纳法证明上式成立。首先由()式以及引理、引理易得ξlΓ(α)ταηl()CΓ(α)ωταηl假设对于每个n=,,,k,都有ξlnΓ(α)ωταηl成立则对Cn=k,由()式得kkj)ξlkjΓ(α)ταηkl(ωjωξlj=k(ωjωj)CΓ(α)ωkjταηlΓ(α)ταCηlj=k(ωjωj)ωkjΓC(α)ατηlj=()kkωjωk(ωjωj)ωkCΓ(α)ατηlj=ωkkω(ωjωj)ωkCΓ(α)ταηklj=ωkCΓ(α)ταηl哈尔滨工业大学理学硕士学位论文于是引理得证。范数隐式差分格式()、()是收敛的且收敛阶为定理按照离散LO(τh)证明:因为极限αnωnlim=limnnαn(n)αnαn()=limαn(n)=α{}ωnωnC,即存在故可知数列是有界的因此存在常数C>,使得nαnαωCnα将其代入到不等式()中可得nCCΓ(α)nαταηlξln()CCΓ(α)Tαηl=Cηl其中C=CCΓ(α)Tα是常数于是可得enCR()CCL(τh)可见()对于任意的n=,,,N都成立故定理得证。数值算例在实际应用差分格式进行计算的时候差分格式()、()并不能满足计算需要对于方程中的u和unM必须另作处理故我们利用如下公式来处理边界。()u=uuuu()unM=unMunMunMunM于是我们将()和()加入差分格式()、()可以得到能够进行数值计算的差分格式其矩阵形式如下哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AU=UpFnAUn=(ωnjωnj)UjωnUpFn()j=U=Φ其中Un=(un,un,un,,unM)TFn=(fn,fn,fn,,fMn)TΦ=(φ(x),φ(x),,φ(xM))TrrrrrrrrrrA=rrrrrrrrrr(M)×(M)例考虑如下时间分数阶色散方程的初边值问题u(x,t)u(x,t)ex(tt)=,<x<,<tTΓ()txΓ()u(x,)=,<xu(,t)=t,u(,t)=et,tT上述方程的解析解为u(x,t)=ext取空间步长h=,并对T=,时间步长t=,t=,t=时的精确解u(xm,tN)和数值解umN,绝对误差emN=u(xm,tN)umN分别用表表给出。哈尔滨工业大学理学硕士学位论文表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(T=)表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(t=)表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(t=)哈尔滨工业大学理学硕士学位论文由表表可以看出隐式差分格式()和()数值精度较高并且随着时间步长t的减小差分格式的数值精度也逐渐变高。由此可见本章对时间分数阶色散方程构造的隐式差分格式是非常有效的。时间分数阶色散方程的周期问题差分格式的构造考虑如下时间分数阶色散方程αu(x,t)u(x,t)()=af(x,t),<xL,<tTtαx()u(x,)=φ(x),<xLu(x,t)=u(xL,t),tT,<x<()其中<α<取时间步长τ=TN,空间步长h=LM,网格节点(xm,tn)=(mh,nτ)微分方程定解问题()()在网格节点(xm,tn)处的数值解记为unm,在网格节点(xm,tn)处对分数阶方程()进行差分离散得到如下的隐式差分格式nunjunjταmm(j)αjαΓ(α)j=τ()unmmnunmunmu=ahfm其中fmn=f(xm,tn)aταΓ(α)记ωj=(j)αjα,j=,,,,Nr=,gnm=ταΓ(hα)fmn则上述差分格式可以改写成如下形式nωj(umjumj)=r(umumumum)gm()nnnnnnnj=进一步整理得当n=时()rumrumumrumrum=umgm,m=,,,M当n>时n()unm=(ωjωj)unmjωnumgnmrumrumrumnrunmnnj=其中n=,,,Nm=,,,M哈尔滨工业大学理学硕士学位论文由条件()和()得um=φ(xm),m=,,,M()()un=unM,un=unM,unM=un,unM=un,n=,,,,N差分格式的稳定性和收敛性分析本节对时间分数阶色散方程周期问题构造的隐式差分格式()、()是无条件稳定和收敛的。其稳定性和收敛性的证明类似于节初边值问题的证明因此这里我们将不做赘述。数值算例例考虑如下时间分数阶色散方程的周期问题αu(x,t)u(x,t)=af(x,t),<xL,<tTtαxu(x,)=φ(x),<xLu(x,t)=u(xL,t),tT,<x<sin(πx)其中a=,α=,L=,φ(x)=sin(πx),f(x,t)=tπ(tΓ())cos(πx)上述方程有解析解为u(x,t)=(t)(sin(πx))取空间步长h=,并对T=,时间步长t=,t=,mN,精确解u(xm,tN)和绝对误差emN=u(xm,tN)umN分别t=时的数值解u用表表给出。表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(t=)哈尔滨工业大学理学硕士学位论文表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(t=)表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(t=)由表表可以看出隐式差分格式()和()数值精度较高并且随着时间步长t的减小差分格式的数值精度也逐渐变高。由此可见本章对时间分数阶色散方程构造的隐式差分格式是较为有效的。本章小结本章利用有限差分法对时间分数阶色散方程αu(x,t)u(x,t)=af(x,t),<xL,<tTtαx的初边值问题和周期问题进行了差分离散分别得到了隐式差分格式并证明了其无条件稳定性同时也是收敛性最后通过数值实验进一步验证差分格式是有效的。哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第章时间空间分数阶电报方程的差分方法时间空间分数阶电报方程是将传统(整数阶)电报方程中的空间导数用β(<β<)阶导数代替而时间导数分别用α阶和α(<α<)阶导数代替所得到。差分格式的构造考虑如下时间空间分数阶电报方程αu(x,t)αu(x,t)βu(x,t)()λ=vf(x,t),<xL,<tTtαtαxβ()u(x,)=φ(x),ut(x,)=ψ(x),<xLu(,t)=h(t),u(L,t)=h(t),<tT()αu(x,t)和均为其中λ,v>,<α<,<β<,时间分数阶导数tαuα(x,t)tαCaputo分数阶导数定义如下tαu(x,t)(tξ)αf(ξ)dξ=tαΓ(α)tαu(x,t)(tξ)αf(ξ)dξ=α′tΓ(α)βu(x,t)而空间分数阶导数为ReimannLiouville分数阶导数xβxu(ξ,t)dξβu(x,t)=βxβΓ(β)x(xξ)取时间步长τ=TN,空间步长h=LM,其中M,NN即有网格节点(xm,tn)=(mh,nτ)微分方程定解问题()()在网格节点(xm,tn)处的解析解记为u(xm,tn),数值解记为unm下面在网格节点(xm,tn)处对方程()进行差分αu(x,t)离散则根据Caputo分数阶导数的定义其中的时间分数阶导数和tααu(x,t)我们可作离散如下tα哈尔滨工业大学理学硕士学位论文αu(xm,tn)αtnu(xm,tnj)u(xm,tnj)u(xm,tnj)(j)τdξ=τ(tnξ)αjτΓ(α)j=u(xm,tnj)u(xm,tnj)u(xm,tnj)τα=(j)jO(τ)Γ(α)j=τ()同理可得αu(xm,tn)αtnu(xm,tj)u(xi,tj)(j)τdξ=(tτnξ)αjτΓ(α)j=u(xm,tnj)u(xi,tnj)τα=(j)jO(τ)Γ(α)j=τβu(x,t)对于空间分数阶导数(ReimannLiouville型)我们采用如下Grunwald位xβ移公式进行代替Nβu(x,t)xΓ(kβ)lim=u(x(k)h,t)xβΓ(β)Nxhβk=Γ(k)我们可作如下离散mβu(xm,tn)()gju(xm(j)h,tn)O(τh)=βxβhj=β(β)(βj)其中g=,gj=()j,j=,,,j!令ωj=(j)αjα,j=,,,,nj=(j)αjα,j=,,,,ndταΓ(α)Γ(α),µ=λταΓ(α)r=vhβw=Γ(α),p=ταΓ(α)Γ(α)于是将()、()、()代入()中通过整理我们可以得到如下式隐式差分格式nnmnjnjnjnjnjw)µumumωj(umum)=rgjunmjpfmn()dj(umj=j=j=哈尔滨工业大学理学硕士学位论文其中fmn=f(xm,tn)对初值条件()和()进行相应的离散um=φ(xm),um=umτψ(xm),m=,,,Mun=h(tn),unM=h(tn),n=,,,N则差分格式()可以写成如下形式的隐式差分格式当n=时m(wµrrg)umrgumrgumgjumj()j==(wµ)um(wµµω)τψ(xm)pfm当n>时mn(rgwdµω)unmrrgumrgunmgjunmjj=nw(djdjdj)µ(ωjωj)unmj=w(dd)µ(ωω)unmj=w(dndn)µ(ωnωn)um(wdnµωn)umpfmnm=,,,Mn=,,,N()令d=,则()可以改写成m(wµrrg)umnrgunmrgunmgjunmjj=n=w(djdjdj)µ(ωjωj)unmjw(dndn)µωnumj=w(dndn)µ(ωnωn)τψ(xm)pfmn()方程()和()可以改写成如下矩阵形式AU=(µw)U(wµµω)τΨpF()AUn=qUnqUnqnUanUbnτΨpFnU=Φ其中Un=(un,un,un,unM)TFn=(fn,fn,fn,fMn)T哈尔滨工业大学理学硕士学位论文Ψ=(ψ,ψ,ψ,ψM)Tqj=w(djdjdj)µ(ωjωj)an=µωnw(dndn)bn=w(dndn)µ(ωnωn)Φ=(φ,φ,φ,φM)TrωµrgωµrgrgA=ωµrgrgMrrgMωµrgrgrgMrgM(M)×(M)N引理对于任意的正整数N,都有gj<j=定理矩阵A严格对角占优故方程组()的解存在且唯一。N证明:由引理可知对于任意的正整数N,都有gj<β,且我们知道j=,jw,µ,r均大于零从矩阵A的结构上看只需最后一行和最后第二行满足严格对角占优的条件的话则便能得到矩阵A严格对角占优。首先对于最后一行Nrgj<rβ=rg<wµrgj=其次对于最后第二行Nrgj<rβ=rg<wµrgj=,j综上所述可知矩阵A满足严格对角占优的条件故矩阵A严格对角占优因此方程()解存在且唯一故定理得证。哈尔滨工业大学理学硕士学位论文差分格式的稳定性分析定理由()和()定义的隐式差分格式关于初值条件是无条件稳定的。证明:下面假设unm是差分格式的近似解误差εnm=unmunm,则有误差方程m()rgεm(wµrg)εmrgεmrgjεmj=(wµ)εmj=mn(wµr=rg)εmnqjεnmjanεm()rgεnmrgεmngjεmjj=j=上式可写成矩阵形式AE=(µw)E()AEn=qEnqEnqnEanE其中Ek=εk,εk,,εkMT下面利用数学归纳法证明E,n=,,NEnE当n=时由于εm=εm,即E当n=时设εk=max{εm},我们有mM(wµ)εkk(wµrg)rεkrgεkrgεkgjεkjj=krgεk(wµrg)εkrgεkrgjεkjj==(wµ)εm=(wµ)εm所以εε,即EEkkE假设当n=s时有En成立。则当n=s时设εks=max{εms}得到mM哈尔滨工业大学理学硕士学位论文k(wµ)εksrεks(wµrg)εksrgεksrgjεksjj=krεks(wµrg)εksrgεksrgjεksjj=sqjεksjasεkj=sqjεksj|as|εkj=s|as|EqjEksjj=(|q||q||sq||as|)E=(wµ)Es即EE成立。因此可E综上所述我们可以得到当n=s时Es知()和()定义的隐式差分格式关于初值条件是无条件稳定的故定理得证。差分格式的收敛性分析记enm=u(xm,tn)unm及en=(en,en,en,enM)T,我们有unm=u(xm,tn)enm,代入差分格式()和()并利用局部截断误差定义得当n=时m()rem(wµrg)emrgemrgjemj=Rmj=当n>时mnnr=rg)enmqjenmjRnm()rgεm(wµrgenmgjenmjj=j=其中M(ταταταh)RmnM是常数m=,,,Mn=,,N定理endnM(ταταταh),n=,,N,其中en=哈尔滨工业大学理学硕士学位论文max{enm},M是常数。mM证明:应用数学归纳法当n=时设ek=max{em},我们得到mMe=ekk(wµrg)rekrgekrgekgjekjj=krgek(wµrg)ekrgekrgjekjj=M(ταταταh)=RkdM(ταταταh)假设当n=s时都有esdsM(ταταταh)则当n=s时设eks=max{ems},于是mMes=eksks(wµrg)rrekeksrgeksgjeksjj=kreks(wµrg)eksrgeksrgjeksjj=sqjεmsjM(ταταταh)j=sqjemsjM(ταταταh)j=sqjdsjM(ταταταh)M(ταταταh)j=s(qjds)M(ταταταh)j=s=qjds)M(ταταταh)ds(j=dsM(ταταταh)所以当n=s时使得如下不等式哈尔滨工业大学理学硕士学位论文esdsM(ταταταh)成立故定理得证。因为αndnlim=limnnαn(n)αnαnn=ααn(n)(n)lim==α于是存在常数C>,使得endnM(ταταταh)nαC(ταταταh)=(nτ)αC(ττh),n=,,N因为nτT是有限的所以得到如下定理定理设unm是利用隐式差分格式()、()计算出来的关于解析解u(xm,tn)的数值解于是存在正常数C=TαC,使得u(xm,tn)unmC(τh)其中m=,,,Mn=,,N数值算例例考虑时间空间分数阶电报方程初边值问题()()其中Γ(α)Γ(β)λ=,v=Γ(α)Γ(α)φ(x)=,ψ(x)=h(t)=,h(x)=tα=,β=,L=(xtαxtαxβt)f(x,t)=Γ(α)其解析解为u(x,t)=xt取空间步长h=,并对T=,时间步长t=,t=,Nt=时的数值解um,精确解u(xm,tN)和绝对误差emN=u(xm,tN)umN分别用表表给出。哈尔滨工业大学理学硕士学位论文表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(t=)表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(t=)表取t=,N=(T=)时的绝对误差数值解精确解绝对误差xm(t=)哈尔滨工业大学理学硕士学位论文由表表可以看出隐式差分格式()和()具有较高的数值精度并且随着时间步长t的减小差分格式的数值精度也逐渐变高。由此可见本章对时间空间分数阶电报方程构造的隐式差分格式是十分有效的。本章小结本章利用有限差分法对时间空间分数阶电报方程αu(x,t)αu(x,t)βu(x,t)λ=vf(x,t),<xL,<tTtαtαxβ的初边值问题进行了差分离散得到了如下的隐式差分格式AU=(µw)U(wµµω)τΨpFnnn=qUqUqnUanUbnτΨpFnAUU=Φ并证明了其稳定性和收敛性最后通过数值实验进一步验证差分格式是有效的。哈尔滨工业大学理学硕士学位论文结论本文利用有限差分法对时间分数阶色散方程和时间空间分数阶电报方程进行了差分离散都构造出了隐式差分格式并且对隐式差分格式进行了理论分析。本文的结论和研究成果主要分为以下两大部分。第一对于时间分数阶色散方程αu(x,t)u(x,t)=af(x,t),<xL,<tTtαx首先对于初边值问题我们得到了一个隐式差分格式并且证明了该格式的无条件稳定性和收敛性。其次对于周期问题我们构造了一个隐式差分格式该格式具有较高的精度并且证明了它既是无条件稳定的又是收敛的。第二对于时间空间分数阶电报方程αu(x,t)αu(x,t)βu(x,t)λ=vf(x,t),<xL,<tTtαtαxβ进行了差分离散得到了一个隐式差分格式并且对该格式进行了理论分析证明了它是无条件稳定和收敛的。总之本文以时间分数阶色散方程和时间空间分数阶电报方程作为模型通过有限差分法对每个方程都构造了隐式差分格式并对数值方法进行了理论分析。同时为了验证理论分析的正确性对每个方程我们也都进行了数值实验通过数值实验进一步验证了数值方法的有效性。数值实验表明本文对两个分数阶微分方程提出的隐式差分格式都是有效的。哈尔滨工业大学理学硕士学位论文参考文献周激流,蒲亦非,廖科分数阶微积分原理及其在现代信号分析与处理中的应用M北京:科学出版社,:–覃平阳,张晓丹空间时间分数阶对流扩散方程的数值解法J计算数学,,():–李文月分数阶方程在金融模型中的应用与数值解D杭州:杭州电子科技大学硕士学位论文,:–MomaniS,QarallehRNumericalApproximationsandPadeApproximantsforaFractionalPopulationGrowthModelJAppliedMathematicalModelling,,():–姚廷伟分数阶微分方程数值方法分析D哈尔滨:哈尔滨工业大学硕士学位论文,:–郑祖庥分数微分方程的发展和应用J徐州师范大学学报(自然科学版),,():–ChenC,LiuF,TurnerI,etalAFourierMethodfortheFractionalDi,usionEquationDescribingSubDi,usionJJournalofComputationalPhysics,,():–ChenC,LiuF,BurrageKFiniteDi,erenceMethodsandaFourierAnalysisfortheFractionalReactionSubdi,usionEquationJAppliedMathematicsandComputation,,():–JumarieGLaplace’sTransformofFractionalOrderviatheMittagLe,erFunctionandModi,edRiemannLiouvilleDerivativeJAppliedMathematicsLetters,,():–JafariH,DaftardarGejjiVSolvingLinearandNonlinearFractionalDi,usionandWaveEquationsbyAdomianDecompositionJAppliedMathematicsandComputation,,():–HuangQ,HuangG,ZhanHAFiniteElementSolutionfortheFractionalAdvectionDispersionEquationJAdvancesinWaterResources,,():–李娴娟分数阶偏微分方程的理论和数值研究D厦门:厦门大学博士学位论文,:–哈尔滨工业大学理学硕士学位论文李娴娟,许传炬分数阶NernstPlanck方程的有限差分谱元法求解J工程数学学报,,():–WangQHomotopyPerturbationMethodforFractionalKDVEquationJAppliedMathematicsandComputation,,():–MeerschaertM,TadjeranCFiniteDi,erenceApproximationsforTwoSidedSpaceFractionalPartialDi,erentialEquationsJAppliedNumericalMathematics,,():–斯琴同伦摄动法求KDV方程和Burgers方程的近似解J内蒙古师范大学学报(自然科学版),,():–PandeyR,SinghO,BaranwalVAnAnalyticAlgorithmfortheSpaceTimeFractionalAdvectionDispersionEquationJComputerPhysicsCommunications,,():–SweilamN,KhaderM,NagyANumericalSolutionofTwoSidedSpaceFractionalWaveEquationUsingFiniteDi,erenceMethodJJournalofComputationalandAppliedMathematics,,():–YangQ,LiuF,TurnerINumericalMethodsforFractionalPartialDi,erentialEquationswithRieszSpaceFractionalDerivativesJAppliedMathematicalModelling,,():–JiangW,LinYApproximateSolutionoftheFractionalAdvectionDispersionEquationJComputerPhysicsCommunications,,():–ElSayedA,BehiryS,RaslanWANumericalAlgorithmfortheSolutionofanIntermediateFractionalAdvectionDispersionEquationJCommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,,():–DasS,VishalK,GuptaP,etalAnApproximateAnalyticalSolutionofTimeFractionalTelegraphEquationJAppliedMathematicsandComputation,,():–周玉鼎,斯仁道尔吉时间分数阶电报方程第类混合边值问题的解J高师理科学刊,,():–RidaS,ElSherbinyH,ArafaAOntheSolutionoftheFractionalNonlinearSchrodingerEquationJPhysicsLettersA,,():–HanertEOntheNumericalSolutionofSpaceTimeFractionalDi,usionModelsJComputersFluids,,():–哈尔滨工业大学理学硕士学位论文RaySAnalyticalSolutionfortheSpaceFractionalDi,usionEquationbyTwoStepAdomianDecompositionMethodJCommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,,():–AgrawalOAGeneralSolutionforaFourthOrderFractionalDi,usionWaveEquationDe,nedinaBoundedDomainJComputersStructures,,():–LanglandsT,HenryBTheAccuracyandStabilityofanImplicitSolutionMethodfortheFractionalDi,usionEquationJJournalofComputationalPhysics,,():–OdibatZExactSolitarySolutionsforVariantsoftheKDVEquationswithFractionalTimeDerivativesJChaos,SolitonsFractals,,():–OdibatZCompactStructuresinaClassofNonlinearlyDispersiveEquationswithTimeFractionalDerivativesJAppliedMathematicsandComputation,,():–MomaniSAnExplicitandNumericalSolutionsoftheFractionalKDVEquationJMathematicsandComputersinSimulation,,():–OdibatZ,MomaniSNumericalMethodsforNonlinearPartialDi,erentialEquationsofFractionalOrderJAppliedMathematicalModelling,,():–LiuJ,HouGNumericalSolutionsoftheSpaceandTimeFractionalCoupledBurgersEquationsbyGeneralizedDi,erentialTransformMethodJAppliedMathematicsandComputation,,():–ChenY,AnHNumericalSolutionsofCoupledBurgersEquationswithTimeandSpaceFractionalDerivativesJAppliedMathematicsandComputation,,():–于强,刘发旺时间分数阶反应扩散方程的隐式差分近似J厦门大学学报(自然科学版),,():–夏源,吴吉春分数阶对流弥散方程的数值求解J南京大学学报(自然科学版),,():–ZhengG,WeiTSpectralRegularizationMethodfortheTimeFractionalInverseAdvectionDispersionEquationJMathematicsandComputersinSimulation,,():–康玉,张晓丹分数阶电报方程的近似解析解与数值解J北京工商大学学报(自然科学版),,():–哈尔滨工业大学理学硕士学位论文陈景华,刘发旺Riesz分数阶反应扩散方程数值近似的稳定性与收敛性分析J厦门大学学报(自然科学版),,():–章红梅,刘发旺空间分数阶扩散方程的超线性收敛离散格式J厦门大学学报(自然科学版),,():–丁志清空间分数阶对流扩散方程的有限差分法及误差分析J五邑大学学报(自然科学版),,():–LiuF,AnhV,TurnerINumericalSolutionoftheSpaceFractionalFokkerPlanckEquation*JJournalofComputationalandAppliedMathematics,,():–SuL,WangW,WangHACharacteristicDi,erenceMethodfortheTransientFractionalConvectionDi,usionEquationsJAppliedNumericalMathematics,,():–苏丽娟,王文洽双边空间分数阶对流扩散方程的一种有限差分解法J山东大学学报(理学版),,():–YIldIrImA,KocakHHomotopyPerturbationMethodforSolvingtheSpaceTimeFractionalAdvectionDispersionEquationJAdvancesinWaterResources,,():–BaeumerB,KovacsM,MeerschaertMNumericalSolutionsforFractionalReactionDi,usionEquationsJComputersMathematicswithApplications,,():–BrunnerH,LingL,YamamotoMNumericalSimulationsofdFractionalSubdiffusionProblemsJJournalofComputationalPhysics,,():–TadjeranC,MeerschaertMASecondOrderAccurateNumericalMethodfortheTwoDimensionalFractionalDi,usionEquationJJournalofComputationalPhysics,,():–周璐莹,吴吉春,夏源二维分数阶对流弥散方程的数值解J高校地质学报,,():–陈世平三维分数阶对流色散方程的数值解法J泉州师范学院学报,,():–康玉两类分数阶微分方程的近似解析解与数值解电报方程D北京:北京科技大学硕士学位论文,:–哈尔滨工业大学理学硕士学位论文ChenC,LiuF,BurrageKFiniteDi,erenceMethodsandaFourierAnalysisfortheFractionalReactionSubdi,usionEquationJAppliedMathematicsandComputation,,():–AgrawalOFormulationofEulerLagrangeEquationsforFractionalVariationalProblemsJJournalofMathematicalAnalysisandApplications,,():–哈尔滨工业大学理学硕士学位论文攻读硕士学位期间发表的论文及其他成果(一)发表的学术论文金承日,潘有思时间分数阶色散方程的有限差分方法黑龙江大学自然科学学报,,()
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