函数一致连续性及其应用

函数一致连续性及其应用 [1]1 函数一致连续性 设在定义在区间上的函数，若对任给，存在，使得对任意，，fx，，,,,,,0I,,0的、，只要，就有，则称函数在区间上一致x，，，，，，x,x,,fx,fx,,fxx,II112122 连续. 1.1 函数一致连续的相关定理与证明 [2]，，，，定理1.1 若fx在区间上有定义，则fx在上一致连续的充要条件是 II . ，，，，limSUPfx,fx,012，xx,I,,,012x,x,,12 证明 ?必要性 x因为，，在区间上一致连续,所以由定义知 ，对任意的，，fxx,II,,,0,，,0,012 ,,x,x,,0只要 ，就有,故可得出. ，，，，SUPfx,fx,，，，，fx,fx,121212xx,I,1222x,x,,012 时，有 因为当0,,,,0 ,. ，，，，，，，，SUPfx,fx,SUPfx,fx,,,1212xx,Ixx,I,,12122x,x,,x,x,,12120 ，，，，故可得limSUPfx,fx,0. 12，xx,I,,,012x,x,,12 ?充分性 x，，，，limSUPfx,fx,0,,,0,，,,0x,I由于,所以，对任意的，只要11202，xx,I,,,012x,x,,12 x,x,,，就有 120 . ，，，，SUPfx,fx,,12x,x,I12x,x,,012 xx,x,,00,,,,x,I故取，当，，时，可以得到 10212 ，，，，，，，，，，，，fx,fx,SUPfx,fx,SUPfx,fx,, , 121212x,x,Ix,x,I1212x,x,,x,x,,12120 ，，fxI所以在区间上一致连续. [2],,,x，，xfxII定理1.2 函数在区间上一致连续的充要条件是在上任意两个数列，，nn ,,,,,,limx,x,0limf，，，，x,fx,0只要使，就有 nnnnn,,n,, 证明 ?必要性 ,,,，，xfxI,,,0,，,,0x,I因为在区间上一致连续,所以由定义知 ，对任意的，只 ,,,,,,，，，，x,x,,fx,fx,,要，就有 . 函数的一致连续性及其应用 ,,,,limx,x,0nn,,对于任意数列，，因为，故对上述有xn,,，N,N,0,,n,Nxn，n,, ,,,. x,x,,nn ,,,,,,，，，，limfx,fx,0nn故可得，，，，fx,fx,,，即. n,, ?充分性(反证法) 假设，，在区间上不一致连续，则存在某,,0，对任意，都存在相应的两fxI,,00 ,,,,,,,,,，，，，点x,x,,fx,fx,,，尽管，但有. x,x,I0 11,,,,,,令(n为正整数)，相应的两点记为，尽管，但有x,x,I,x,x,,nnnn,,,，，，，fx,fx,,. nn0 ,,,,,,nn当n取遍所有正整数时，得数列与，且有但是 limx,x,0,,,,xxnnn,, ,,,limf，，，，x,fx,0nn, n,, 这与条件矛盾，所以假设不成立. ，，fx在区间上一致连续. 因此可得I [3],，，，，，，fxfxfx定理1.3 设函数在区间上可导，其导函数在区间上有界，则在II上一致连续. I ,,，,,,,,0，，fx,M，，fx证明 因为在区间上有界，则有.对, ，M,0,,x,II ,,,,,,,,,,,,,,，，，，，，，，fx,fx,f,x,x,M,,,fx,M,,x,x,I，x,x,,,就有,所以在M上一致连续. I [3]，，fx定理1.4 函数在区间I上一致连续的充要条件是对任意给出的，,,0 ,,,，，，，fx,fx,,,,,,，，，，fx,fx,,,x,x,I,，M,0,使得当,M时恒有有. ,,,x,x 证明 ?必要性(反证法) ,,,，，fxxI,,,0,，,,0函数在区间上一致连续,所以，对任意的，只要x,I,,,x,x,,，就有 ,,,,,,,,,，，，，，，，，fx,fx,,fx,fx,,x,x,, 即必有. ,,,,，，，，fx,fx2,,,，，，，fx,fx,,,M取，当时有. M,,,,x,x, ,,,，，，，,,fx,fx，，K,1,,,,K,令，则存在使得. K,1 ,,,,,,,令，则. ,K,1 1 ,,,,,,,,,,,,不妨设,因为，且由连续函，，，，，，fx,fxx,x，，，，，，，，fx,fx，,,fx，,,fx数的介值性知 ,,,,,,使得同理:使得. ，，，，，，，，，，，x,x,x,fx,fx，,，x,x,x,fx,fx，,112121 ,,,如此可得，规定且对每一个， ix,x,？,x,xx,x,x,x01k,1k0k . ，，，，fx,fx,,,,ii,1 ,,,,,,fx,fxK，，，，2因为由一致连续的定义知,所以与条x,x,,,,,,Mii,1,,,,,,x,xK件矛盾，假设不成立. ,,,，，，，fx,fx,,,即使得当 时恒有 ,M,,,0，,x,x,I,，M,0,,,,x,x ,,,，，，，fx,fx,, . ?充分性 ,,,，，，，fx,fx,,,使得当时恒有 ,M,,,0，,x,x,I,，M,0,,,,x,x ,,,，，，，fx,fx,,. ,,,,，，，，fx,fx,,,，，，，fx,fx,,取，若设必有即 ,,M,,,,Mx,x ,,,x,x1, . ,,,，，，，fx,fxM ,,,x,x1,,,,,,x,x,fx,，，，，fx,,,,故. ,,,，，，，fx,fxM ,,,,,,x,x,,，，，，fx,fx,,，，fx故有只要，就有 即在上一致连续. I1.2有限区间上的函数一致连续性 [1]，，，，fx,,a,bfx,,a,b定理1.5 函数在上连续，则函数在上一致连续. ,,a,b,,,x,a,b证明(应用有限覆盖定理)由在上的连续性，任给，对， ,,0f ,,,,,0，，x,Ux;,都存在，使得当时有. ，，，，fx,fx,xx2 ,,,,,x,,a,bH,Uxx,ab,,,,考虑开区间集合，显然H是的一个开覆盖。由有限覆,,,,2,,,, ,,,,,,i,,a,b,,HUx,i1,2,？,k盖定理，存在H的一个有限子集 覆盖了. ,,,,i2,,,, 函数的一致连续性及其应用 ,,,i,,,,,,,,记,对任意的，必须属于中某开区间. x,x,,,a,b,x,x,,,min,0x,H,,1,i,k2,, ,,,,ii,,设即. xUx,;x,x,,,ii22,, ,,,iii,,,,,,x,x,x,x，x,x,,，,，,,此时有. iii222 ,,,,,故同时有和. ，，，，，，，，fx,fx,fx,fx,ii22 [4]，，，，，，，，定理1.6 函数fx在内一致连续的充分必要条件是fx在连续，且a,ba,b 与都存在. ，，，，limfxlimfx，,x,ax,b 证明 ?必要性 ,，，，，fx若a,bx在内一致连续，则对任给，存在，使得对任意的，，，,,,,,0,,0 ,,,,,,,,x,x,,，，，，fx,fx,,，且，就有. ，，x,a,b ,,,,,,,,a0,0x,x,a,,x,a,x此时对端点，当，满足时也有 22 ,,,,,,x,x,x,a，x,a,, , ,,,，，，，fx,fx,,于是. 由柯西收敛准则知，，limfx存在. ，x,a ，，，，fxa,b，，同理可证limfx也存在，从而在连续. ,x,b ?充分性 ，，，，fxa,b，，，，，，，，limfxlimfxfa,limfx因为在连续，且与都存在，补充定义，，,，x,ax,bx,a ，，fx,,a,b，，，，fb,limfx，所以在闭区间上连续. ,x,b ，，，，，，fx,,a,bfxa,b由定理1.5知在上一致连续，故在连续. ，，，，fx,，，,fx,，a,ba,ba,b推论 函数在(或)内一致连续的充分必要条件是在(或 ，,a,b，，，，limfxlimfx)连续，且(或)存在. ,，x,bx,a [5]1.3无限区间上的函数一致连续性 ，，，，，，fx,fx,a,，,a,，,，，limfx,A定理1.7 若函数在上连续，且，则函数在上一x,，, 致连续. ,,,，，limfx,Ax,x,M证明 因为，则，，M,a，只要，就有 ,,,0x,，, ,,,，，，，fx,fx,,. 3 又因为在连续，由定理3知在上一致连续. ，，，，fxfx,,,,a,M，1a,M，1 ,,,,,,,故对上述的，，对，有 ,,,x,x,a,M，1,x,x,,，,,0 ,,, ，，，，fx,fx,,. 综上,，，在，上一致连续. fx,a,，, 推论1 ，，在连续，且与存在，则函数，，在fxfx，，，，,,,，,,,,，,，，，，limfxlimfxx,,,x,，,内一致连续. ，，，，limfx，，推论2 fx在，，连续，且与存在，则函数fx在，，内一a,，,a,，,，，limfx，x,ax,，,致连续. 1.4函数一致连续性相关定理的应用 [6]2,,，例1.4.1 证明0,M,在区间上一致连续(M为任意整数)，在0,，,上非，，fx,x 一致连续. 分析 利用定义. ,,,,,,,x,x,,，，使得，，有 证明 ,,,x,x,0,M,,,0，,,2M 22,,,,,,,,,,,,,,,,,, ，，，，，，. fx,fx,x,x,x，xx,x,x，xx,x,2M,,, 2,,0,M在区间上一致连续(M为任意整数). ，，fx,x ,,,,,,，,0,，,，，x,n，1,x,n在上取两个数列,limx,x,0但是 nnnnn,, ,,,，，，，，，limfx,fx,1,0. nnn,, 2，,0,，,，，在上非一致连续. fx,x x，21[6]，，,，fx,sinfx1,，,例1.4.2 设，证明在上一致连续. ，，x，1x ,分析 利用定理1.1. ,,,,,,x,x,,,，,x,x,1,，,证明 对，有 ,,,,,,,x，21x，21x，21x，21,,,fx,fx,sin,sin，sin,sin ，，，， ,,,,,,,,,,,,x，1xx，1xx，1xx，1x 函数的一致连续性及其应用 ,,,,,x，2x，2x，211,,，sin,sin,,,,,,,,x，1x，1x，1xx 1111，,,,,,,x，2x，2x，2,,,,,,xxxx ,,，,2cossin,,,,,x，1x，1x，122 11,,,,x,x,,,177xx,,,,,,，1，,2,x,x,,,,,,,,,，，，，x，1x，1x，1244,, ,,,，，,， 所以fx在1,，,上一致连续. ，，，，limsupfx,fx,0,,0,,,x,x,,1,，,，,,,x,x,, ,分析 利用定理1.7. x，21fx，，，，lim,sin,0,， fx1,，,证明 在上连续，且 x,,xx，1 ，，,，fx1,，, 所以在上一致连续 ,分析 利用定理1.3. 11x，21,fx,,sin,cos,，1,，, 证明 ，且在上 ，，22xx，，xx，1，，x，1 1121x，,sincosfx,，，，22xx1xx，，，1x，，， 1127,，，,22，，14，，xx，1xx，，，1x， ，，,，fx1,，, 所以在上一致连续. [7]x例1.4.3，， 证明 在R上非一致连续。 fx,e 分析 利用定理1.2的逆否命题. ,,,，，x,lnn，1,x,lnn在R证明 取两个数列 nn n，1,,,xxnn，，，，lim,,lim,,ln，1,ln,limln,0 nnn,,n,,n,,n ln，，n，1lnn,,,,,，，，，，，limfx,fx,lime,e,1,0 但是 nnn,,n,, x，，Rfx,e 所以由定理2知，在上非一致连续. 1，，,,,,fxa,ba,b例1.4.4 设在上连续，且处处不为0，证明在上一致连续. 2，，fx分析 利用闭区间连续函数的性质，同时掌握定理1.5和一致连续定义的灵活应用. 5 证明 在上连续，则在上一致连续. ，，,,，，,,fxa,bfxa,b ,,,,,, 故，对任意的，只要，就有 x,x,,0x,,,0,，,0,0x,I ,,,,. ，，，，fx,fx,2 ，，在上连续，所以使m,fx,M ，，,,fxa,b，M,m 22,,,fx,，，，，fx,,,,,,fx，fx，，，，fx,fx，，，，112M,,,,, . 222244,,,,,，，，，，，，，fxfxfxfxmm 1因此，在,,上一致连续. a,b2，，fx 1.5 连续与一致连续的联系与区别 ，，，，Ux，， 设函数fxfx在某内有定义，若，则称在点连续。若，，，，xlimfx,fx000x,x0 ，，，，fxfx函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数。即对，II,x,I ,,,,,,,,,，，，，x,x,,fx,fx,,，只要就有. ，，,,,0,，,,,x,,,,x,x,I ,x,不仅与有关，且与点有关，即对于 比较连续和一致连续的定义可知:前者的 x,不同的，一般来说是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在区 ,xx,,间连续;后者的仅与有关，与无关，即对不同的，是相同的。这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上 xx,,的连续是“一致”的(即连续可对一点来讲，而且对于某一点，取决于和，而一 ,x,致连续必须以区间为对象，只取决于，与点的值无关). 在区间I一致连续的函数在这个区间一定是连续的，事实上，由一致连续性定义将x1 ，，，，fxfx固定，令变化，即知函数在连续，又是I的任意一点，从而函数在I连xxx211 续。但在区间I连续的函数在这区间上不一定一致连续. 1fx, 例 在区间(0，1)内连续但不一致连续. ，，x 1fx,证明 显然 在区间(0，1)内连续. ，，x ,,0I按一致连续的定义，为证函数在区间上不一致连续，只须证明:存在某，f0 ,,,,,,x,x,,,,x,x,I对任何正数(不论多么小)，总存在两点，尽管，但有,,,，，，，fx,fx,,. 0 函数的一致连续性及其应用 1,1,,,,,对于，可取，对无论多么小的正数，只要取 与，,,1fx,x,，，x,,,,,,02x2,, ,111,,,则虽有，但. ,,,1,,x,x,,,0,,,xx,2 1故在(0，1)内不一致连续. fx,，，x 但是对于闭区间上的连续函数而言一定是一致连续的(详细证明见定理3). [8]2 函数一致连续的判别 函数的一致连续是 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 重要的概念，目前关于一致连续判别方法主要是利用一致连续的定义和柯西判别法，以及在第一部分我们已经介绍过的几个定理.这里我们主要介绍的是比较判别法和比值判别法以及Lipschitz判别法. 2.1 函数一致连续的比较判别法 ，，，，,，gx,，fxa,，,a,，,在上连续，在连续，若满足 定理2.1 函数，，，limfx,x,，, ，，，，gxfx，，，(A是非零定值，B是定值)，则与有相同的一致连续性. Agx,B ，，gx,，a,，,证明 不妨设在上一致连续. 因为，，，，，，limfx,Agx,B,故当时有 ,,,0,，M,a,x,Mx,，, ,. ，，，，fx,Agx,B,3 ,,,x,x,,，，gx,，a,，,因为在上一致连续,故，只要就有 ，,,0 ,,,,gx,gx,. ，，，，3,A ,,,,,,,,,，,,x,x,a,，,,x,x,M,x,x,,因此对就有 ,,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，fx,fx,fx,Agx,B，Agx,gx，Agx,fx，B ,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，,fx,Agx,B，Agx,gx，fx,Agx,B ,,, ， ,，A，,,33,A3 ，，fx，,M，1,，,所以在上一致连续. ，，，，fxfx,,,,a,M，1a,M，1因为在连续，由定理1.3知在一致连续. ，，,，fxa,，,综上,在上一致连续. ，，，，gx,，,，a,，,fxa,，,同理可证,在非一致连续可得在在上也非一致连续. 7 推论 函数在(或或)上连续，在(或或)，，，，，，，，，，，，,,gx,,fxa,ba,ba,ba,ba,ba,b连续，若满足(A是非零定值，B是定值)，则与有相同，，，，gxfx，，，，，，limfx,Agx,Bx,，, 的一致连续性. 2.2 函数一致连续的比值判别法 定理2.2 函数，，在上连续，，，在连续，满足: ,，gx,，fxa,，,a,，,，，，，fx，gx ,(?);(?)在,，上可导，且; a,，,，，，，，，，，，，fx，gxgx,0limfx,limgx,,x,，,x,，, ,，，，，fxfx(?)存在，若(为非0定值)，则有相同的一致连limlim,A，，，，fx，gxAx,,x,,,，，，，gxgx 续性. ，，gx,，证明 不妨设在a,，,上一致连续. ,，，，，fxfx 由洛毕达法则得,. lim,lim,Ax,,x,,,，，，，gxgx ,,,,,,，，gx,，x,x,,a,，,在上一致连续，则有:，当时，,，,,,0，，,,0，x,x,a,，, ,,,，，，，gx,gx,,就有. fx，，，，fxlim,A由于，所以. ,,,0，，M,a，,x,M，,A,,x,,，，gx，，gx ,,,,,ffx,fx，，，，，，,,,,由柯西中值定理得,，，，,,x，x，使. ,,,,，，，，，，g,gx,gx ,,,,,ffx,fxfx，，，，，，，，因为，所以 lim,lim,lim,A,,,,,,x,x,,x,,,,,,，，，，，，，，,ggx,gxgx ,,,fx,fx，，，，,,,. ,,,0，x,x,M，,A,,,,,，，，，gx,gx 因此 ,,,,,,，，，，，，，，fx,fx,A,,gx,gx,,， ,,,，，，，gx,gx ,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，fx,fx,Agx,gx，,gx,gx. ,,,,,,,,,，，，，，，，，fxx,x,,，fx,fx,,A，,,,,0，x,x,M，即是当，所以可以得到在 ，,M，1,，,上一致连续. ，，，，fxfx,,,,a,M，1a,M，1因为在连续，由定理1.5知在一致连续. ，，,，fxa,，,综上,在上一致连续. ，，，，gx,，,，a,，,fxa,，,同理可证,在非一致连续可得在在上也非一致连续. 函数的一致连续性及其应用 推论 函数在(或或或)上连续，在(或，，，，，，，，，，,,gx,,fxa,ba,ba,ba,ba,b，，,,,，, 或或)连续，若满足(?);(?)在，，，,a,ba,b，，，，，，,,,，,，，，，fx，gxlimfx,limgx,,x,，,x,，, ,，，，，fxfx,上可导，且;(?)存在，若(为非0定值)，则limlim,A，，，，，，gx,0fx，gxAx,,x,,,，，，，gxgx 有相同的一致连续性. 2.3 Lipschitz判别法 ,,,,,,，，，，fx,fx,Lx,x定理2.3 若函数，，在区间上满足Lipschitz条件:，fxI 则函数，，在区间上必一致连续. fxI ,,,,,,证明 就有 ,,,0,，,,0,,x,x,I,x,x,, ,,,,,,，，，，. fx,fx,Lx,x,L, ,,,,,,,，，，，故取即可有fx,fx,Lx,x,L,,,. ,,L ，，fx函数在区间上必一致连续. I 2.4应用举例 1 x,，1,，,例2.4.1 讨论在上的一致连续性. ，，，，fx,x，2e 分析 利用比较判别法. ,，，gx,，1,，,，，，，证明 取gx,x，3，因为gx,1，所以由定理1.6知在上一致连续. 111，，，，,,,,xxx,,,,lim,,f，，，，x,gx,lim，，x，2e,x，，，3,limxe,1，2e,3,0因为且知,,,,,,,,x,，,x,，,x,，,,,，，,,,,，， ，，,，fx1,，,道在上连续. ，，,，fx1,，,由比较判别法知在上一致连续. 2例2.4.2 判断函数的一致连续性. ，，fx,xlnx，x 分析 利用比值判别法. ，，，，fx0,，,证明 首先的定义域为. ，，，，，，gx,xlimfx,limgx,,取，有. x,，,x,，, 2fxxxxln，，，,，，0,，,，，，，，，fx，gxgx,1,0在上可导，且 ,. lim,lim,1x,,x,,，，gxx ，，，，，，0,，,fx0,，,，，gx,x因为在上一致连续，由比值判别法知在上一致连续. 3 函数一致连续性的应用 9 3.1函数一致连续在黎曼积分中的应用 定理3.1 若函数在闭区间连续，则函数在上可积. ，，，，fx,,a,bfx,,a,b证明 已知函数在闭区间连续，则有由定理1.5知，函数在一致，，，，fx,,a,bfx,,a,b 连续.即，只要时，就有，，，，. x,x,,fx,fx,,,,,,,0，，,,0，,x,x,a,b121212 对的任意分法，要求. ,,a,b，，lT,,T 函数在每一个小区间连续，则在每一个小区间取到最小，，，，,,,,fxx,xfxx,xk,1kk,1k ,,,,,,mM值与最大值，即，有. ,,，，，，，,,,,x,xmf,Mf,,,,kkkkk,1kkkkk ,,,因为，所以,,,,x,x,,，有 ，，lT,,kkkk,1 ,,, ，. ，，，，,,M,m,f,,f,,,k,1,2,？,nkkkkk nn 于是，，即函数在闭区间可积. ，，fx,,a,b，，,,x,,,x,,b,a,,kkk,1,1kk [9]3.2函数一致连续性在广义积分中的应用 ，,，定理3.2 若函数，，在,上连续，且无穷积分收敛，则 fxa,，,，，limfx,0，，fxdx,ax,，, ，，，,的充要条件是函数fx在a,，,上一致连续. 证明 ?充要性 ,x,x,,，，，,因为函数fxa,，,在上一致连续，故，，有x,x,,a,，,,,,0，,,01212，，，，fx,fx,,. 12 ，,因为无穷积分收敛，故对，，当p,p,M有 ，，,,,0，M,afxdx12,a p2. ，，fxdx,,,,p1 x,，x,，x，,，，，，，，，，，，，，fx,,fxdt,fx,ftdt，ftdt当有 x,M,,,xxx x,，x，,，，，，，，，，,fx,ftdt，ftdt,2,, . ,,xx ，，fx,2,，，即有limfx,0，从而. x,，, ?必要性 ,，，，，x,X,limfx,0,,,0,，X,a,由，则当时，. ，，fx,x,，,2 ，，，，，，，，fx,fx,fx，fx,,，，x,x,X,因此，. 121212 ，，，,fxa,，,故可得若函数在上连续. [10]3.3 函数一致连续在函数列一致收敛中的应用 函数的一致连续性及其应用 定义 设函数列与函数定义在同一区间上，如果对任意正数，存在整,,，，,fx，，fxIn n,Nx,I数，使得当时，对一切，都有 ，，N, ，，，，， fx,fx,,n 则称函数列在上一致收敛于，记作 ,,，，fx，，fxIn x,I;. ，，，，，，fx,fxn,,n 定理3.3 若函数列,,，，的每一项，，和函数在有界区间上一致fxfx，，fxI,,a,b,nn 连续，且，则. ，，，，，，fx,fxn,,，，，，limfx,fxnn,,n 证明 因为，，和在上都一致连续，且因为是有界区间，所以fx，，fxI,,a,b,In ，，存在且有限，，在上连续. fx，，，，，，，，，，fxfa，0,fb,0,fa，0,fb,0Innn ，，令，，，，则，，，，，，，，，fxfa,fa，0fb,fb,0，，，，，，，，fa,fa，0fb,fb,0nnnnn ，，，，，，limfx,fxx,,,a,b在上一致连续。又，从而. ，，,,fxa,b，，，，，，limfx,fxx,Inn,,n,,n , . ，，，，fx,fx,n,,3 ，，,n,x,x,,fx，，由于和在,,上连续，故对上述和，存在，当时有 fxa,b,n,, ,,, . ，，，，，，，，fx,fx,fx,fx,nn,,33 于是 ,,,，，，，，，，，，，，，，，，，fx,fx,fx,fx，fx,fx，fx,fx,，，,, . nnn,n,,,333 ,,，，x,,,x，,x,,,a,b,,a,b这时，，组成上的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，,,,,, ,,，，,,其中存在有限个子覆盖，记之为x,,,x，,i,1,2,？,r，取N,maxN,N,？,N，iiii12rn,N，，x,x,,,x，,,,则x,,,a,bi,1,2,？,r时，对任意的，存在，使得，从而有 iiii ，，，，fx,fx,,, n ，，，，，，,,fx,fxn,,a,b这就证明了在上，，从而在上 I,,a,b,n ，，，，，，fx,fxn,,. n 4 多元函数的一致连续性 多元函数的一致连续性我们主要讨论的是二元函数的一致连续性. 4.1二元函数的一致连续性相关定理 11 2定理4.1.1(一致连续性定理)若函数在有界闭区域上连续，则在上D,RffD ,,0一致连续，即对任何，总存在只依赖于的正数，使得对一切点，只要,P、Q, ，就有. ，，，，fP,fQ,,，，,P，Q,, ,,0证明 假设在上连续而不一致连续，则存在某，对任意小的，例如 ,,0fD011，总有相应的，虽然，但是P、Q,D，，,,，n,1，2，？,P,Q,nnnnnn ，，，，. fP,fQ,,nn0 由于为有界闭域，因此存在收敛子列,,，并设.为记号,,P,PlimP,P,DDnn0nkk,,k P,,方便起见，再在,,QQ中取出与下标相同的子列，则因 nnnkk 1， ，，0,,P，Q,,0，k,,nnkknk P而有.最后，由f在连续，得到 limQ,limP,P0nn0kk,,,,kk ，，，，，，，，limfP,fQ,fP,fP,0, nn00kk,,k f这与相矛盾.所以在上一致连续. D，，，，fP,fQ,,,0nn0kk 222，，limfx,yr,x，yR定理4.1.2 函数在上连续且存在，，则在 ，，，，fx,yfx,yr,, 2R上一致连续. ，，limfx,y证明 存在，由柯西准则，对满足 ,,,0,，G,0r,, 22r,x，y,G iii ，，，，fP,fP,,，，Px,y，，的点，总有. i,1,212iii ,,，，D,x,yr,D，1，，，，又fx,yfx,y在有界闭区域上连续，由定理4.1.1知在上一致D ，，，，fP,fP,,，，连续，故对上述,,0,，,,0，当P,P,D:,P,P,,时恒有: 12112121 2，，P,P取，当,P,P,,时，或同属于或同满足,,,,min,,1,,P,P,RD1212112 ，，，，fP,fP,,，，r,Gi,1,2，从而总有. 12i 2R，，fx,y故在上一致连续. 2，，limfx,yR，，fx,y注:定理4.1.2的逆命题未必成立，即在上一致连续，也未必r,, 2，，limfx,yR，，fx,y,x，y存在.例如:上一致连续，但不存在. r,, 4.2 二元函数一致连续在含参量积分中的应用 ，，fx,y,,,,R,a,b，c,d定理4.2 若二元函数在矩形域上连续，则函数 函数的一致连续性及其应用 d ，，，，Ix,fx,ydy,c 在上连续. ,,a,b x,,,a,b证明 设，对充分小的，有(若想为区间的端点，则仅考虑x，,x,,,a,b,x ,x,0,x,0或)，于是 d. ，，，，，，，，,,Ix，,x,Ix,fx，,x,y,fx,ydy,c 由于在有界闭域上连续，由定理4.1知在一致连续，，，，，fx,yfx,y,,,,R,a,b，c,dR即对，只要x,x,,,y,y,,就有 ，，，，,,,0,，,,0,,x,y,x,y,R12121122 ，，，，fx,y,fx,y,,. 1122 dd,x,,当时，. ，，，，，，，，，，Ix，,x,Ix,fx，,x,fx,ydy,,dx,,d,c,,cc ，，Ix在上连续. 这就证得了,,a,b 结束语 从以上四部分，我们对函数一致连续的定义，相关定理，判别法，与连续函数的关系，函数一致连续性的应用,以及多元函数的一致连续性作出了相应的介绍. 参考文献 [1] 刘玉琏，傅沛仁编.数学分析讲义[M].高等教育出版社，2003年6月. 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