文档LC无阻尼受迫(交流)振荡电路

我们已经知道,将带电电容C与电感L串联,无电阻、无电源,电路接通后会产生正弦交变电流(参见《LC无阻尼自由振荡电路》)。现在要说的是,如果电路中还有个正弦交变电源,而电容初始时不带电,又会怎样呢? 由基尔霍夫定律,得 u L+u C=e=E m sin(ωt+φ)(注:E m是电动势最大值,ω为电动势圆频率,φ为初相位) 根据电感上电压、电流间的微分关系,有 u L=L*di/dt 则得到 u C=e-u L=E m sin(ωt+φ)-L*di/dt du C=d[E m sin(ωt+φ)-L*di/dt]=E mωcos(ωt+φ)*dt-L*d2i/dt 根据电容上电流、电压间的微分关系,有 i=C*du C/dt 则 i=C*[E mωcos(ωt+φ)*dt-L*d2i/dt]/dt i=E m Cωcos(ωt+φ)-LC*d2i/dt2 LC*d2i/dt2+i=E m Cωcos(ωt+φ) 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程。相对有些难解。为解此微分方程,须介绍两个定理: 定理一一个二阶线性非齐次微分方程的通解,等于其对应的齐次方程的通解加上原方程的一个特解。 (为避免与电流混淆,虚数单位用j表示) 定理二若y=y1+y2j是二阶线性非齐次微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=S(x)+T(x)j的解,则y1是微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=S(x)的一个解, y2是微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=T(x)的一个解。 根据定理一,先解它对应的齐次方程。它对应的齐次方程为: LC*d2i/dt2+i=0 用特征方程法,其特征方程为: LCx2+1=0 解得 x1=(1/LC)1/2j,x2=-(1/LC)1/2j 则齐次方程对应的通解为:(为避免与电容混淆,积分变量用A'、B'表示) i=A'e(1/LC)^(1/2)jt+B'e-(1/LC)^(1/2)jt 由欧拉公式e jx=jsinx+cosx得 i=A'{jsin[(1/LC)1/2t]+cos[(1/LC)1/2t]}+B'{jsin[-(1/LC)1/2t]+cos[-(1/LC)1/2t]} i=A'jsin[(1/LC)1/2t]+A'cos[(1/LC)1/2t]-B'jsin[(1/LC)1/2t]+B'cos[(1/LC)1/2t] i=(A'-B')jsin[(1/LC)1/2t]+(A'+B')cos[(1/LC)1/2t] 令A=(A'-B')j,B=A'+B',则齐次方程通解为 i=Asin[(1/LC)1/2t]+Bcos[(1/LC)1/2t] 而现在要求特解的方程,右端的自由项为一余弦函数,不易进行处理。如果尝试把它化成指数函数,就会容易一些。 要将余弦函数化为指数函数,要用到欧拉公式e jx=jsinx+cosx,其中jsinx为虚部,cosx为实部。根据定理二,可以直接在自由项后加一个带虚数的正弦函数,构成指数函数,求出特解后取实部便是。 则先解如下的方程: LC*d2i/dt2+i=E m Cωcos(ωt+φ)+E m Cωjsin(ωt+φ) LC*d2i/dt2+i=E m Cω[jsin(ωt+φ)+cos(ωt+φ)] LC*d2i/dt2+i=E m Cωe(ωt+φ)j LC*d2i/dt2+i=E m Cωeωjt+φj LC*d2i/dt2+i=E m Cωeφj eωjt 为方便记录,令E m Cωeφj=k,则 LC*d2i/dt2+i=keωjt 其自由项是一个指数函数,其指数的系数为ωj,要看它是否与特征方程根相等。于是分三种情况。 情况一:ωj不是特征方程根(即ω≠(1/LC)1/2) 观察方程L*d2i/dt2+i=keωjt的右端,指数函数前的整式为零次,则左端若提出了eωjt,也应为零次。明显i提出eωjt后的次数一定要高于二阶导数d2i/dt2的次数,因此i为零次整式与指数函数eωjt的积。 设i=aeωjt,代入方程,得 LC*(aeωjt)''+aeωjt=keωjt -LCω2aeωjt+aeωjt=keωjt -LCω2a+a=k (1-LCω2)a=k a=k/(1-LCω2) 所以微分方程LC*d2i/dt2+i=keωjt的特解为: i=aeωjt i=k/(1-LCω2)*eωjt 前面令E m Cωeφj=k,则 i=E m Cωeφj*eωjt/(1-LCω2) i=E m Cωeφj+ωjt/(1-LCω2) i=E m Cωe(ωt+φ)j/(1-LCω2) 根据欧拉公式e jx=jsinx+cosx,有 i=E m Cω[jsin(ωt+φ)+cos(ωt+φ)]/(1-LCω2) i=E m Cω/(1-LCω2)*cos(ωt+φ)+E m Cω/(1-LCω2)*jsin(ωt+φ) 根据定理二,微分方程LC*d2i/dt2+i=E m Cωcos(ωt+φ)的一个特解为: i=E m Cω/(1-LCω2)*cos(ωt+φ) 则根据定理一,方程LC*d2i/dt2+i=E m Cωcos(ωt+φ)通解为: i=Asin[(1/LC)1/2t]+Bcos[(1/LC)1/2t]+E m Cω/(1-LCω2)*cos(ωt+φ) 当t=0时,因电感上电流不突变,所以i=0,代入上式,得 0=Asin0+Bcos0+E m Cω/(1-LCω2)*cosφ 0=B+E m Cω/(1-LCω2)*cosφ B=E m Cω/(LCω2-1)*cosφ 代回原式,得 i=Asin[(1/LC)1/2t]+E m Cω/(LCω2-1)*cosφcos[(1/LC)1/2t]+E m Cω/(1-LCω2)*cos(ωt+φ) 两侧求导,得 di/dt=A(1/LC)1/2cos[(1/LC)1/2t]-E m Cω(1/LC)1/2/(LCω2-1)*cosφsin[(1/LC)1/2t]-E m Cω2/(1-LCω2)*sin(ωt+φ) 当t=0时,因电容上电压不突变,所以u C=0,则u L=L*di/dt=e=E m sin(ωt+φ)=E m sinφ,所以di/dt=E m sinφ/L 代入上式,得 E m sinφ/L=A(1/LC)1/2cos0-E m Cω(1/LC)1/2/(LCω2-1)*cosφsin0-E m Cω2/(1-LCω2)*sinφ E m sinφ/L=A(1/LC)1/2-E m Cω2/(1-LCω2)*sinφ A(1/LC)1/2=E m sinφ/L+E m Cω2/(1-LCω2)*sinφ A(1/LC)1/2=E m sinφ[1/L+Cω2/(1-LCω2)] A(1/LC)1/2=E m sinφ[(1-LCω2)/(L-L2Cω2)+LCω2/(L-L2Cω2)] A(1/LC)1/2=E m sinφ[1/(L-L2Cω2)] A=E m sinφ/(L-L2Cω2)*(LC)1/2 A=E m(C/L)1/2sinφ/(1-LCω2) 代回原式,得 i=E m(C/L)1/2sinφ/(1-LCω2)sin[(1/LC)1/2t]+E m Cω/(LCω2-1)*cosφcos[(1/LC)1/2t]+E m Cω/(1-LCω2)*cos(ωt+φ) i=E m/(1-LCω2)*{(C/L)1/2sinφsin[(1/LC)1/2t]-Cωcosφcos[(1/LC)1/2t]+Cωcos(ωt+φ)} 找到一个符合题意的特解。 不过此式中要除以1-LCω2,万一它等于0,又如何呢? 情况二:ωj是特征方程单根(即ω=(1/LC)1/2) 则LC=1/ω2 微分方程LC*d2i/dt2+i=keωjt变为: d2i/dt2/ω2+i=keωjt d2i/dt2+ω2i=kω2eωjt 此方程右端为指数函数与零次整式的积,但此时特征方程根有一个就是ωj,如果仍将i设为零次整式与指数函数eωjt的积的话,方程左端的次数会降低,不能与右端平齐。所以必须将i设成零次整式乘以t再乘以指数函数eωjt 设i=ateωjt di/dt=aeωjt+ωajteωjt d2i/dt2=ωajeωjt+ωajeωjt-ω2ateωjt d2i/dt2+ω2i=kω2eωjt ωajeωjt+ωajeωjt-ω2ateωjt+ω2ateωjt=kω2eωjt aj/ω+aj/ω-at+at=k 2aj/ω=k a=-ωkj/2 i=-ωkj/2*teωjt 前面令E m Cωeφj=k,则 i=-ωE m Cωeφj eωjt j*t/2 i=-E m Cω2eφj+ωjt j*t/2 i=-E m Cω2e(ωt+φ)j j*t/2 根据欧拉公式e jx=jsinx+cosx,有 i=-E m Cω2[jsin(ωt+φ)+cos(ωt+φ)]j*t/2 i=-E m Cω2[-sin(ωt+φ)+jcos(ωt+φ)]*t/2 i=E m Cω2tsin(ωt+φ)/2+jtcos(ωt+φ)/2 根据定理二,微分方程LC*d2i/dt2+i=E m Cωcos(ωt+φ)的一个特解为: i=E m Cω2tsin(ωt+φ)/2 则根据定理一,方程LC*d2i/dt2+i=E m Cωcos(ωt+φ)通解为: i=Asin[(1/LC)1/2t]+Bcos[(1/LC)1/2t]+E m Cω2tsin(ωt+φ)/2 当t=0时,已证i=0,代入上式,得 0=Asin0+Bcos0+E m Cω2tsinφ/2 0=B+E m Cω2tsinφ/2 B=-E m Cω2tsinφ/2 代回原式,得 i=Asin[(1/LC)1/2t]-E m Cω2tsinφ/2*cos[(1/LC)1/2t]+E m Cω2tsin(ωt+φ)/2 此时ω=(1/LC)1/2,则 i=Asin(ωt)-E m Cω2tsinφ*cos(ωt)/2+E m Cω2tsin(ωt+φ)/2 两侧求导,得 di/dt=Aωcos(ωt)+E m Cω3tsinφ*sin(ωt)/2+E m Cω3tcos(ωt+φ)/2 当t=0时,已证di/dt=E m sinφ/L,代入上式,得 E m sinφ/L=Aωcos0+E m Cω3tsinφ*sin0/2+E m Cω3tcosφ/2 E m sinφ/L=Aω+E m Cω3tcosφ/2 A=E m sinφ/Lω-E m Cω2tco sφ/2 A=E m sinφ/Lω-E m/L*tcosφ/2 A=E m/L*(ωsinφ-tcosφ/2) 代回原式,得 i=E m/L*(ωsinφ-tcosφ/2)sin(ωt)-E m Cω2tsinφ*cos(ωt)/2+E m Cω2tsin(ωt+φ)/2 i=E m/L*(ωsinφ-tcosφ/2)sin(ωt)-E m/L*tsinφ*cos(ωt)/2+E m/L*tsin(ωt+φ)/2 i=E m/L[(ωsinφ-tcosφ/2)sin(ωt)-tsinφ*cos(ωt)/2+tsin(ωt+φ)/2] i=E m/L[ωsinφsin(ωt)-tcosφsin(ωt)/2-tsinφ*cos(ωt)/2+tsin(ωt+φ)/2] i=E m/L{ωsinφsin(ωt)-t/2*[cosφsin(ωt)+sinφ*cos(ωt)]+tsin(ωt+φ)/2} 利用和角公式,有 i=E m/L{ωsinφsin(ωt)-tsin(ωt+φ)/2+tsin(ωt+φ)/2} i=E m/L*ωsinφsin(ωt) 情况三:ωj是特征方程二重根 则 ω=(1/LC)1/2=-(1/LC)1/2 (1/LC)1/2=0 1/LC=0 在这里此式不可能成立,故不存在这种情况。 现在已经得到了LC无阻尼受迫(交流)振荡电路的电流公式: 当ω≠(1/LC)1/2时,i=E m/(1-LCω2)*{(C/L)1/2sinφsin[(1/LC)1/2t]-Cωcosφcos[(1/LC)1/2t]+Cωcos(ωt+φ)} 当ω=(1/LC)1/2时,i=E m/L*ωsinφsin(ωt) 这两个式子如此不同,只不过是特定的频率造成的。 如果没有电源,则自由振荡的圆频率为(1/LC)1/2,称为固有频率。 而电源的频率与其相等,此时称为共振,在电学中称为谐振。此时电流峰值达到最大,电路呈纯电阻性(可惜这个电路没电阻,所以这两者看不出效果),在电工中有广泛的应用。