二维不可测集的一个注记

二维不可测集的一个注记二维不可测集的一个注记二维不可测集的一个注记第23卷第1期 2005年2月河南 HENAN 科学 SCIENCE V01.23No.1 Feb.2005 文章编号:1004—3918{2005)01.0012—02 二维不可测集的一个注记焦玉兰,唐风军 (信息工程大学理学院数理系,河南郑州450001) 摘要:给出了一个二维不可测集.一维空间的不可测集的构造方法基本相同,本文通过将二维空间里的点其对应坐标为有理数的划分方法来确定亲和集,进而给出了一个二维的不可测集. 关键词:...

二维不可测集的一个注记二维不可测集的一个注记第23卷第1期 2005年2月河南 HENAN 科学 SCIENCE V01.23No.1 Feb.2005 文章编号:1004—3918{2005)01.0012—02 二维不可测集的一个注记焦玉兰,唐风军 (信息工程大学理学院数理系,河南郑州450001) 摘要:给出了一个二维不可测集.一维空间的不可测集的构造方法基本相同,本文通过将二维空间里的点其对应坐标为有理数的划分方法来确定亲和集,进而给出了一个二维的不可测集. 关键词:亲和集;不可测集;映射中图分类号:O174.1文献标识码:A 在R上不可测集的构造通常用下述方法:在直线上造一个集z,要求对于z,可取这样一组数rl,,-2, -3,…,,使得z经平移rr后可得到集Zn=rrz有下述性质: , (i)UZ包含一个区间; 月=l (ii){Zn}是一列互不相交的集,且U是有界集. 则集z一定不是勒伯格可测集. 下面我们通过映射给出一个二维不可测集. 1主要结论考虑集合中E:(0,1]×(0,1]的点,对于E中的任意两点A(,Y),B(,),若(等,)为平面上的有理点,则称A与B是相亲的,否则称为相斥的.显然对于A,B,C?E,有 (I)A与A是相亲的;(II)若A与B相亲,则B与A也相亲;(1l1)若A与B相亲,B与C相亲,则A与 C也相亲. 对任意A?E,把E中与A相亲的所有点记为K(A),称为A的亲和集,则有: 引理1不同的亲和集不交. 证明对于A(x,Y),B(,)?E,只需证明若K(A)nK(B)?,则有K(A)兰K(B),设(0, )?K(A)nK(B),对任意(xl,Y1)?K(A),.,171Xl'?Q,YlYl.?Q,即(Xl,Y1)?K(B) 由对称性知K(A)三K(B)恒成立. 这样我们将E中的点分为两两不交的亲和集的并集,在每一个亲和集里取一个点作为代表组成一个集 s,显然s中的任意两个点都是相斥的.现在将E中的所有有理点排成一列Ml,M2,M3,…,其中M=(, t),令S={(,Y)lX=,-,Y=t.r/,(,叩)?S,M=(,-,t)},则有引理2SnS=,当k?时. 证明设P(Pl,P2)?SknS,k?,则必有A(al,a2),B(bl,b2)?S使得(Pl,P2)=(rkal, ta2)=(bl,tb2)成立,由传递性知A与B相亲,这与S的取法相矛盾,故结论成立. 引理3USE. 引理4记(n,b)=(infS横,lnfS纵),(其中S横为S中的点的横坐标),则有 (1)a>0,b>0; (2)(0,a]×(0,b]US. 收稿日期:2004—10—15 作者简介:焦玉兰(1965一),女,河南洛阳人,信息工程大学理学院数理系讲师,硕士.主要研究方向为Fourier 分析 . 2005年2月二维不可测集的一个注记一13一证明(1)E中的点被分为两两不交的亲和集,任何一个亲和集里均有点(,)使得>1, r/>1 ,由 S的取法知,可令S中的点其横坐标或纵坐标均大于,故结论成立. (2)任意P(Pl,Pz)?(0,口]×(0,b],则必定存在M?E使P?K(M),设K(M)的代表为Q(ql,q2) 则显然有Pl<ql,P2<q2,ttt~:P,Q相亲,故必定存在?N使得M(,)=(,tj),这样就有 P?S,由P的任意性知必有(0,口]×(0,b]US. 引理5设FE为可测集,对任意的M,令 = {(z,)lz=,=,(,r1)?F} 则为可测集,且mFi=tit,F. 证明对任意覆盖F的开区域G,将G中所有点的横坐标均乘以r,,其纵坐标均乘以t得到一个开区域G,则显然G,能够覆盖F,故结论成立. 定理S不可测. 证明由引理4知(0,a]×(0,b]US,E,故以6,,J(US,)1, 而由引理2,引理5知(. Ul)=?Sj=?,"jtjmS=mS??=mS?(?),J1JIJ1J=1 显然(?)=oo,故若mS=0,则有ab(U.)=0矛盾; 若mS?0,则有 (US)=oo1矛盾,因此S不可测. 参考文献: [1]夏道行,吴卓人,严绍宗,等.实变函数论与泛函分析[M].北京:高等教育出版社,1985 [2]郑维行,王声望.实变函数与泛函分析概要[M].北京:高等教育出版社,1980. [3]柳藩,钱佩玲.实变函数论与泛函分析[M].北京:北京师范大学出版社,1987. [4]陈建功.实函数论[M].北京:科学出版社,1978. Anoteab0uttwodimensionnon.measurableset JIAOYu—lan,TANGFeng-jun (InstituteofScience,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China) Abstract:Inthispaperwepresentatwo-dimensionnon— measurableset.Weknowthestructurewayoftheone- dimensionno-measurableset,inthispaperwefirstdefineaamicablesetusingamapping,then wegiveatwo- dimensionnon—measurableset. Keywords:amicableset;non—measurableset;mapping

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