构造三角形重心巧定两平面法向量的方法[资料]

构造三角形重心巧定两平面法向量的方法[资料] 构造三角形重心巧定两平面法向量的方向 利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小，由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小，许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向，来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角。这种方法虽然简单，但由于空间任意两个向量都是共面的，要从图形上直接判定他们的方向，需要很强的空间想象能力，好多学生是达不到这种境界的。在最后的复习中，我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时，而学生不知道如何找二面角内的点P，结果给解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 带来麻烦。为了帮助学生更好更快的解题，我们在二面角内总可以找到一个三角形，将此三角形的重心作为二面角内的点P，可以不加思索的让学生很方便的正确求解，偶有所得，现结合近年的年高考题，写出来与大家同享。 为了解决问题的方便，现给出如下的两个定理: 定理1:向量是平面的一个法向量，点O在平面内，点P在平面外。若，mm,OP,0,,,则向量与向量指向平面的同侧(如图1);若，则向量与向量指mOPm,OP，0mOP, 向平面的异侧(如图2)。 ,mP Pm OO ,, 图1 图2 ,m,OP,m,OPcos,cos,,0证明:当时，?，?,0，?，?向量m,OP,0m,，2 ,cos,，,,,与向量OP指向平面的同侧。同理可证当m,OP，0时，,0，?，,2 ?向量mOP与向量指向平面,的异侧。 lP定理2:点是二面角内一点，点O是棱上一点，向量分别是平面的,,l,,,,,m,n ,m,OPn,OP一个法向量，二面角大小为。若与同号，则;若,,l,,,,,,,m,n,m,OPn,OP与异号，则(如图3) ,,,m,n, n mP, , O 图3 证明:(一)若与异号 m,OPn,OP 1)当且时，由定理1易知:向量与向量指向平面的同侧;m,OP,0n,OP，0mOP, 向量与向量指向平面的异侧，而始终都是指向两平面外部的，所以向nOPOP, 量与向量与两平面的指向互异，所以 mn,,,m,n, 2)同理可证当且时， m,OP，0n,OP,0,,,m,n, (二)若与同号 m,OPn,OP 1)当且时，由定理1易知:向量与向量指向平面的同侧;n,OP,0m,OP,0mOP, 向量与向量也指向平面的同侧，而始终都是指向两平面外部的，所以nOPOP, 向量与向量与两平面的指向一致，所以; mn,,,,,m,n,2)同理可证:当且时， n,OP，0m,OP，0,,,,,m,n,例1、(2008年全国高考数学北京卷文) 如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，?ACB=90?，AP=BP=AB，PC?AC. (?)求证:PC?AB; (?)求二面角B-AP-C的大小. 解:(?)略 PC,CB(?)由题易知:?APC??BPC，?，?以C为坐标原点，CB，CA，CP所 y在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系。xzz P AP?，则，，，中点A(0,2,0)B(2,0,0)C(0,0,0)P(0,0,2) M ，， BA,(,2,2,0)，。M(0,1,1)AP,(0,,2,2)PC,(0,0,,2)xy B设平面BAP的一个法向量为，则由n,(x,y,z)A1111 ,n,BA,0,2x，2y,0,,111图4 C,，可得即x,y,z，故可取,,111220,y，z,,11n,AP,0,1, ,n,AP,0,2,.设平面APC的一个法向量为，则由，可得n,(1,1,1)n,(x,y,z)12222,n,PC,02,,2y，2z,0,22,y,z,0即，故可取，由于二面角的棱AP的中点n,(1,0,0),22220,z,2, 22,BPCB,AP,C,BPC，而在二面角内，则的重心Q，(,0,)M(0,1,1)33 2122MQ,(,,1,,)MQ,n,,MQ,n,MQ,n?，?，， ?与异号，MQ,n12123333 B,AP,C,?二面角的大小与的大小相等，所以,n,n,12 n,n3312B,AP,Ccoscos,，故二面角的大小为,,,nn,,,arccos1233nn12 点评:利用三角形重心判定两平面法向量的方向，先在棱上找一点，为方便期间，一般找二面角棱的中点，再结合定理就可以求出二面角的大小。 ABCDE,BCDE例2. (2008年全国高考数学全国卷理科18题)，四棱锥中，底面为矩形，侧ABC,BCDEBC,2ABAC,面底面，，，( CD,2 ADCE,(?)证明:; ,CECADE,,ABE(?)设与平面所成的角为45，求二面角的大小( 解:(?)略。 ABAC,ABC,BCDE(?)取CB的中点O, ?，?AO?CB，又侧面底面，?AO?底面BCDE，?以O为坐标原点，OC，Oy，OA所在直线分别为轴、x y轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，B(,1,0,0)C(1,0,0)zz A，，设，因此 ，A(0,0,a)D(1,2,0)E(,1,2,0)AD,(1,2,,a) ，，二面角的棱AD的中点CD,(0,2,0)DE,(,2,0,0)MBE y12aM(,,)，设平面CAD的法向量为，On,(x,y,z)1111222CDx 图5 ,,xaz2y,0,,111则由，可得，故可取，同,n,CD,n,ADn,(a,0,1),,111,0y,x，2y,az,01,111, 12a,ABCM(,,)理可得平ADE的一个法向量为，由于棱AD的中点，而n,(0,a,2)2222 aC,AD,E,ABC(0,0,)在二面角内，且的重心Q的坐标为， 3 2a22a12aMQ,n,,MQ,n,,MQ,(,,,,,)?，?，， 1233226 ,?与同号，?所求的二面角大小与的大小互补，MQ,nMQ,n,n,n,1212 n,n2,12cos,,cos,n,n,,,,,所以，由于CE与平面ABE成的,451222a，1,a，2nn12 角，由题易知平面ABE的一个法向量为，而，所以CE,(,2,2,0)n,(,a,0,1) 10nCEa,22cos,,nn,,，?，a,3sin45:,,,12210a，1,6nCE, 1010coscos,,,,,nn,,,CADE,,,?，?故二面角的大小=.,arccos,121010 点评: 法向量的夹角与二面角的大小可能相等也可能互补，要注意法向量的方向。 利用法向量确定两平面的夹角的基本思想是:根据所求得的法向量的坐标，确定两法向量的指向(可以以坐标原点为起点，以两坐标对应的点分别为终点)若两法向量的指向互异，则它们的夹角与二面角的大小相等;若两法向量的指向一致，则它们的夹角与二面角的大小是互补的。 n,nn,n1212cos,,cos,n,n,,,,arccos即向量指向互异，则，;n,n1122nnnn1212 n,nn,n1212cos,,,cos,n,n,,,,,,,arccos若向量指向一致，则，n,n1122nnnn1212 参考文献: 1、 袁智斌.由动手操作上升到计算推理，中学数学教学参考(高中)(J)2007.6 2、 严勇.立体几何中的轨迹问题，中学数学杂志(高中)(J)2007.3 、 王克亮.不妨回到最朴素的判定方法，中学教研(数学)(J)，2008.13