1 平移变换在几何中的应用
平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的研究和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。
一、平移变换在几何证明中的应用
例1．如图，△ABC 中，BD=CE ，求证：AE AD AC AB +>+
【解析】
本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有BD=CE ，运用平移变换，将△AEC 平移到△A ’BD 的位置，问题迎刃而解。
【答案】
证明：如图2, 分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，
两线相交于F 点，DF 于AB 交于G 点。 所以ACE FDB ∠=∠，AEC FBD ∠=∠
在△AEC 和△FBD 中，又CE=BD ，
可证 △AEC ≌△FBD ，
所以AC=FD ，AE=FB ，
在△AGD 中，AG+DG>AD ，
在△BFG 中，BG+FG>FB ，
所以AG+DG-AD>0, BG+FG-FB>0,
所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,
即AB+FD>AD+FB ，
所以 AB+AC>AD+AE .
【思考】
本题还有没有平移其他图形的方法？
例2．如图，梯形ABCD 中，∠B +∠C=90°，点E 、F 分别为上下底边的中点， 求证：)(2
1AD BC EF -=
【解析】
题目需要证明的几条线段是分散的，通过平移变换可以将AB 、EF 、DC 集中到一起。此时，其他条件也很能好好地得到应用。
【答案】 证明：分别过点E 、F 作EG//AB,EH//CD 交BC 于点G 、H
所以四边形ABGE,DEHC 是平行四边形.AE=BG,DE=CH, E D C B A
A B F E D
C B A H G F E
D C B
A
因为FB=FC，所以FG=FH=)(2
1AD BC - 所以∠EGC=∠B ，∠EHB=∠C，又∠B +∠C=90°，所以∠EGC+∠EHB=90°，∠GEH=90° 所以△GEH 是直角三角形.所以，EF=
)(21AD BC - 二、平移变换在几何作图中的应用
例3. 如图，河流的河岸AB 与CD 平行，点A 、B 表示两个村庄，现要在河上架桥，满足两个条件：（1）桥与河岸垂直；（2）A 、B 两个村庄之间的线路最短，请问桥应架在何处？
【解析】
不管桥设计在何处，A 、B 两个村庄之间的路程中总有一段是河岸间的距离，所以运用平移变换，将河“平移”，使村庄A 或B 恰好在河岸上。
【答案】
过点A 作AA ’垂直河岸，且使AA ’长度等于河的宽度，连结B A '交河岸于点C ，过点C 作CD 垂直于河岸交河岸于点D ，连结AD ，则CD 为桥的位置。
【思考】
如果A 、B 两个村庄之间有两条互相平行的小河，其他条件不变，桥的位置又该如何确定？
例4. 如图3，△ABC 的三条中线分别为AD 、BE 、CF ．在图3中利用图
形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形（保留
画图痕迹）；
【解析】
以三条中线为边长的三角形，显然要对这三条线段进行“重新组合”，
手段就是平移变换。
【答案】
A
图
3
三、平移变换在几何计算中的应用
例5. 如图，六边形ABCDEF 中，
//,//,//,AB ED AF CD BC FE 对角线.FD BD ⊥
已知FD = 24 cm ，BD = 18 cm.问六边形
ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
【解析】
题目中给出了很多平行且相等的线段，这就很容易联想到平移变换。通过平移变换，将图形“整形”，从而求出六边形的面积。
【答案】
如图，将△DEF 平移到△BAG 的位置，
将△BCD 平移到△GAF 的位置，则原六边形分解组合
成长方形BDFG .此长方形的边恰是已知长度的BD 与
FD .易知长方形BDFG 的面积为 24×28 = 432 cm 2.
所以，六边形ABCDEF 的面积是432 cm 2.
例6. 已知抛物线x x y 6
5612-=与x 轴的两个交点记为A ，B ，点M 在直线x y 2=上，点P 在抛物线上，求当以O 、A 、P 、M 为顶点的四边形为平行四边形时的P 点坐标。
【解析】
本题运用平移变换在平面直角坐标系中的应用，这样求平行四边形的顶点坐标将会简便。因为平行四边形可以理解为一条线段沿平面内某一方向平移所扫过的图形。
【答案】
① 若OA 为边，则PM ∥OA.
设M(m,2m), ∵OA=5， ∴P(m+5,2m)或P(m-5,2m).
当P(m+5,2m)时， ∵P 点在抛物线上， ∴()()21555266
m m m +-+=, 解得()120,7m m ==舍. ∴P(12,14).
当P(m-5,2m)时， ∵P 点在抛物线上， ∴()()21555266
m m m ---=, 解得342,25m m ==. ∴P(-3,4)或P(20,50). ②若OA 为对角线，则PM 为另一条对角线.
[来源:Z&xx&k] ∵OA 中点为(52
,0)， 设M(m,2m), ∴P(5-m,-2m). ∵P 点在抛物线上，
∴()()21555266
m m m ---=-, 解得()560,7m m ==-舍. ∴P(12,14).
综上，符合条件的P 点共有3个，它们分别是P 1(12,14) 、P 2(-3,4)、P 3(20,50).
【练习】
1． 已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，若BD=CE ，求证：DE>BC.
2． 在△HBC 中，∠B =∠C ，在边HC 上取点D ，在边BH 上取点A ，使HD=BA ，连结AD.求证：
AD ≥BC 2
1 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点．
（1）如图1，求证：AP ＜2
1（AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ．
①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量
关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：BC ≥2
1DE ．
F E D C B A
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