用向量方法解决高中数学问题

用向量方法解决高中数学问题用向量方法解决高中数学问题郴州菁华园学校何安华向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。2001年版的高中数学教科书中就已出现向量的内容，在新版的教科书中显得更加重要。向量作为工具性知识列入中学教材中，其价值意义已为广大师生所...

用向量方法解决高中数学问题郴州菁华园学校何安华向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。2001年版的高中数学教科书中就已出现向量的内容，在新版的教科书中显得更加重要。向量作为工具性知识列入中学教材中，其价值意义已为广大师生所认同。向量的引入，揭示了数学知识之间纵横联系进一步发展和完善了中学数学知识的结构体系。拓宽了研究和解决数学问题的思维通道，也为激发和培养了学生的探索精神和创新意识，提供了更广泛的途径。下面对具体问题的向量解法作初步探讨。一、向量法证明几何、三角函数中定理、公式 cos(,,,),cos,cos,，sin,sin,例1 向量法证明两角差的余弦公式析:教科书上的探究有利用单位圆上的三角函数线和向量的知识，运用向量工具进行探索，过程十分简洁～ a,b,c,d,R例2 证明:对于任意的，恒有不等式 22222 ，，，，，，ac，bd,a，bc，d. ,, 证明:设，，，，，u,a,b,v,c,d ,,,,？u,v,u,v 2222 ？ac，bd,a，bc，d 22222 即，，，，，， ac，bd,a，bc，d 例3 向量法证明勾股定理。 ,,,,,B 证明:如图， a,b,c,a，b, ,,,,22,,,,,2,2222，，c,c,a，b,a，2ab，b,a，b 222C A c,a，b即利用向量还可以证明平面几何的许多命题，例如菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分以及关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质。 222AP，BP，CP例4(在?ABC内求一点P，使的值最小。 =，=，=，=—，=—。解:如图，设APBPCAaCBbCPxxaxb 222AP，BP，CP? A 2 22=—+—+ a)b)(x(xx 222 =3—2(+)++ xababx P 221122=3[++。 ab,(a，b)],(a，b)x C 33B 根据向量运算的意义，知 1222AP，BP，CP当时，有最小值。 x,，()ab3 设M为AB的中点，易知=， 2CMab， 12时，，此时P为三角形的重心。即当x,，()abCPCM,33 二、向量法解决代数中的最值问题 2222axby，例5 求的最值. xyabxyabR，,，,,3,4.(,,,) 解:构造向量mxynab,,,.,. ，，，， 2222因为 axbymnmnxyab，,,,,,，,，,23 axby，,23所以评:向量是解决数学问题的重要工具，根据函数的形式，结构特征，巧妙构造向量可化难为易，获得新颖、快捷的解法。例2: 求函数的最大值。 yxx,，，,3245 240x，,解:因为 ; ,50,,x 所以 ,,,25x yxxxx,，，,,,，，,32453225 设 pqxx,,，,32,1,2,5，，，， pqypqpq,,,,,,19,7,.133则当且仅当p与平行且方向相同时不等式取等号 q 即， 3252,,,，xx 88x,y,133解之得，当时， max19 评:巧妙构造向量，可以解决有关条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和的条件最值问题应用向量证明有独特之处。在高中讲授平面向量知识，是因为它有一套良好的运算性质，突出向量的工具作用，以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量的运算性质，实现“数”与“形”结合，培养运用向量知识解决问题的能力。通过定比分点公式、平移公式以及正余弦定理的推导，体会向量知识的作用，强化应用向量的意识，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，这样就比较容易的解决一些实际问题。联系实际，渗透数学思想。通过在知识引入上联系实际，引导学生用数学知识解决实际问题等内容，提高学生分析问题、解决问题的能力，动手操作能力以及将实际问题转化为数学语言的能力，增强学生应用数学的意识。

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