递归数列通项公式的求法
确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识
定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方程，由阶递归关系及给定的前项的值(称为初始值)所确定的数列称为阶递归数列。若是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法：
一．公式法
(1)设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；
(2)设是等比数列，首项为，公比为，则其通项为；
(3)已知数列的前项和为，则。
二．迭代法
迭代恒等式：
；
迭乘恒等式： ，()
迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：
类型一：已知，求通项；
类型二：已知，求通项；
三．待定系数法
类型三：已知，求通项；
四．特征根法
类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
证明：设特征根为，则
所以====
即是以为公比，首项为的等比数列。
所以，所以
(1)当时，则其通项公式为，其中，；
(2)当时，则其通项公式为，其中
求递推数列通项的特征根法
一、形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得
例1 已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
例2已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
二、形如的数列
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。
这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。
这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得
例3已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
例4已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
五．代换法
代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下
类型五：已知，，求通项。
六．不动点法
若，则称为的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。
类型六：(1)已知，且，求通项；
(2)已知，求通项；
七．数学归纳法
八．构造法
典例分析
例1．数列{an}中，a1=1,an+1>an,且成立，求。
例2．已知正数数列满足：，其中，求。
例3．已知数列{an}满足：，求。
例4．已知，证明：该数列中的一切数都是整数。
例5．已知，求。
例6．数列满足，且，求的通项公式。
例7．已知，求。
例8．数列满足，求。
例9．已知，求的通项公式。
例10．已知数列满足：，且，求的通项公式。
例11．若数列的前项和为，且满足，求的通项公式。
拓展：若数列的前项和为，且满足，求的通项公式。
(参考答案：，其中)
例12．设数列满足：，且，，
证明：(……)是完全平方数。
练习题：
1．已知数列满足，求数列的通项
2．已知数列满足，求数列的通项
3．已知数列满足，求数列的通项
4．已知数列满足，求数列的通项
练习答案：
1．解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
2．解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
3．解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
4．解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
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