§6 矩阵的秩
教学目的 通过2学时讲授，使学生理解矩阵秩的定义、性质，掌握矩阵秩的相关秩等式与秩不等式，基本掌握矩阵秩的分块方法．
教学内容
矩阵的秩是矩阵相抵不变量，在矩阵理论中基础又重要．本节利用行列式定义矩阵的秩，阐述矩阵秩的一些基本结论，并运用分块技巧证得矩阵秩的一些著名不等式．
6.1 矩阵秩的概念
定义1 设．若A有一个r阶子式不为0，且A的所有r + 1阶子式(假设A有r + 1阶子式)全为0或不存在，则称r为A的秩，记作rankA=r．
若A = 0，规定rankA = 0．设rankA = r，那么由定理2.3.2知道，对于t＞r，若A有t阶子式，则A的所有t阶子式全为0．因此，r是A的子式不为0的阶的最大者．
易见rankA=rankA．
例1 设
经计算知道A的4个三阶子式全为0，因而易见rankA=2．
显然，逐个计算A的子式来求rankA较麻烦．为了化简计算，我们来
证明
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定理2.6.1 初等变换不改变矩阵的秩
证 由于互换变换、倍法变换均不改变子式是否为零，因此这两类初等变换均不改变矩阵的秩．
考察消法变换，设，且rankA=r．取B的任一个t阶子式
．
若，则M是A的一个t阶子式，有M = 0；
若，则由命题2.2.5知道M与A中的一个相应t阶子式相等，也有M= 0；
若，则由命题2.2.4、2.2.3知道
，
其中是A的两个t阶子式，且至多相差一个符号．因而由rankA = r知道．所以M= 0．
综上，则得rankB≤rankA，又Tij(k)B=A，因而有rankA≤rankB．故rankA= rankB．
类似地，知道列的初等变换也不改变矩阵的秩．
据上，并注意到定理1.3.2，则得
推论2.6.1 设，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则rankA =rankPA = rankAQ = rankPAQ．
再注意到定理1.4.1，则得
推论2.6.2 设，则A与B相抵，即，当且仅当它们有相同的秩；并且，设rankA = r，则有可逆矩阵P，Q，使得
． (5)
因此，秩是矩阵相抵的不变量，是秩为r的矩阵相抵的
标准
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形．
例2 求下面矩阵A的秩：
．
解 A的第2行分别乘以(－2)、(－3)，各自加到第1、3行，再将此行调到第1行，则得
．
因此，易见rankA = rankB = 3．
下面证明乘积矩阵秩的一个基本性质．
定理2.6.2 设，，则
rankABmin{rankA,rankB}．
证 若A、B中有一个是零矩阵，则定理显然成立．
若，设rankA = r，则由推论2.6.2知道有可逆阵P，Q，使得
，
于是
．
考察右边矩阵，易见此矩阵不为0的行至多r行，因而由推论2.6.1与秩的定义得到
rankAB r = rankA．
因此，
rankAB=rank(AB)=rankBArankB=rankB．
故rankABmin{rankA,rankB}．
6.2 矩阵秩的分块方法
首先注意到块初等矩阵是可逆矩阵，则由推论2.6.1知道
引理2.6.1 块初等变换不改变矩阵的秩．
引理2.6.2 设，，，则
rankA+rankB=rankrank．
证 由秩的定义易见
rankA+rankB=rank．
设rankA=r1,rankB=r2，则A有一个阶可逆子块，B有一个
阶可逆子块．于是，有一个阶子式
．
所以
rankrank．
定理2.6.3 设，则
rank(A+B) rankA+rankB
证 因为
．
所以，由引理2.6.1、引理2.6.2及矩阵秩的定义得到
rankA+rankB=rank
=rankrank(A+B)．
定理2.6.4(Frobenius) 设,，则
rankABCrankAB+rankBCrankB．
证 因为
，
所以，由引理2.6.1、2.6.2得
rankABC+rankB=rankrankAB+rankBC．
故Frobenius秩不等式成立．
让ABC的后两个因子依次为In，B，则得
推论2.6.3 (Sylvester) 设，，则
rankABrankA+rankBn．
推论2.6.4 (Cauchy) 设，．若AB = 0，则rankA +rankBn．
例3 设A．若A是对合矩阵，则
rank+rank．
证 由定理2.6.3有
rank+rankrank．
又由有．于是，由推论2.6.4有
rank+rank．
因此，rank+rank．
课外作业：
P101：3、4、5、7．
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