第四章 理性期望效用理论（可编辑）

第四章 理性期望效用理论（可编辑） 第四章 理性期望效用理论 第四章 理性期望效用理论 ?4 理性期望效用理论 教学目的 通过本章内容的学习，使学生了解事态体的基本概念及其性质;理解并掌握效用的概念和测定;了解效用 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的定义及构成;理解冯诺曼―摩根斯坦期望效用模型;培养学生在实际中灵活应用理性期望效用理论的能力。 教学重点 效用的概念及其测定、冯诺曼―摩根斯坦期望效用模型、理性期望效用理论的不足之处。 教学难点 理性期望效用理论在描述模型和 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 模型中的应用。 课堂导入 期望效用值理论以规范模型(prescriptive or normative model)的形式应用于管理科学特别是管理决策分析中;以预测模型(Predictive or Positivistic Model)的形式应用于金融和经济领域中，以描述性模型(descriptive model)的形式应用于心理学中。由于期望效用值理论的发展，决策(特别是理性决策)理论才得以形成一门独立的学科，综合运用概率论、心理学、思维科学、经济学等跨学科的理论来研究决策和判断问题。 你会怎么做, 假定有这样两个选择，A是肯定赢1000元，B是50,可能性赢2000元，50,可能性什么都得不到。你会选择哪一个呢, 你会怎么做, 假定你刚刚赢了2000元。你面临两个选择，A是你肯定损失1000元，B是你有50,可能性损失2000元，50%可能性什么都不损失。在这种情况下你会选择什么呢, 为什么, 肯定赢1000元等于从赢来的2000元中肯定损失1000元;50,赢2000元也就是先赢2000元的情况下有50,可能性不损失钱50,;什么也拿不到就相当于先赢2000元的情况下有50,的可能性损失2000元。 但是人们为什么在第一种情况下风 险规避，在第二种情况下就变成了风险偏爱呢, 决策主体的决策差异 决策主体的决策差异 ?4.1 事态体及其关系 事态体的概念 具有两种或两种以上有限个可能结果的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，称为事态体L，事态体中各可能出现的概率是已知的，设事态体的n个可能结果值为c1,c2 ,„, cn，相应出现的概率值为p1,p2 ,„, pn，并且 ，则事态体记作 。 事态体的比较 设两个事态体L1，L2具有相同的结果值c1，c2 ，即: ， ， c1 c2 ，若p1 p2 ，则 ;p1 p2 ，则 ; p1 p2 ，则 。 设两个事态体: ， ， c1 c3 c2 ，p1 p2 ，则 ; ，则p1 p2 。 事态体的基本性质 可调概率: 设事态体 ， ，且 ，若 ，则存在 x p′ p，使得 ，其中x称为可调概率值。 事态体的基本性质 简化性 任一事态体无差异于一个简单事态体，设事态体 ，则必存在一个简单事态体 ，使得 ，其中: ， 。 且 设有决策系统(A，Q，V)，在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵: 矩阵C的第j行表示第j个可行方案的n个可能结果值，即事态体 Lj,(p1, cj1;p2, cj2 ;„;pn, cjn) j 1, 2, „, m 决策分析就是要对这 m个事态体进行排序。 由事态体的简化性知，存在简单事态体L’，使得 Lj’,(pj’, c*;1,pj’, c0 ), Lj 问题又化为对这m个简单事态体Lj’进行排序。 Lj’,(pj’, c*;1,pj’, c0 ), Lj 注意到这m个简单事态体Lj’具有相同的结果值c*、 c0 ，其优劣关系可以由比较pj’的大小决定。 根据前述简化性 ?4.2 效用函数的定义和构成 效用的概念和测定 设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值c，依据决策者的主观愿望和价值取向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用，反映结果值对决策者价值和作用大小的量值称为效用。 效用函数的概念 设决策问题的结果值集合 ，且 ， ，定义在c上的实值函数 满足条件: ， ，存在 ，使 满足无差异关系 。 存在 ，如果 ，当且仅当 。 存在 ，且 ，则: 称 为结果值集合上的效用函数，并记为 。 ?4.3 期望效用准则 公理1(可比性) 设R为事态体L的集合，对于任意的 ，则: 或 或 。 公理2(传递性) 对于任意的 ，若 ， ，则: 公理3(替代性) 对于任意的 及任意的 ，如 ，意味着 公理4(连续性) 对于所有 ，如有 ，则存在 ，使得 。即:存在 ， ，使得 ， 偏好的有界性: 若死亡为无穷劣，则不能过马路 偏好的有界性: 狂犬病疫苗 基本定理 决策者对于事态体集合中的事态体L优先排序，如果满足 上述公理1,4，则一定存在这样一个函数u x ，有且只有 的条件下: ，u x 称为效用函数。同时，在u x 正线性变换的条件下保证决策者的优先顺序不变。 可见，事态体的优先顺序可在给定函数的条件下，计算期望效用值得出，即为效用函数。基本定理所表达的事态体辨优规则叫期望效用值准则。需要指出，期望效用值并不意味着寻求期望效用值的最大值，只是说，决策者如遵循公理1,4就能选择各替代方案中期望效用值最大的方案，并可符合理性的一致性。 ?4.4 效用的测定――辨优 估计效用函数的方法 效用的测定――辨优 变动调整后果值法 例 效用理论在决策中的应用 效用:衡量决策方案的总体指标，反映决策者对决策问题各种因素的总体看法 使用效用值进行决策:首先把要考虑的因素折合成效用值，然后用决策准则下选出效用值最大的方案，作为最优方案。 例:求下表显示问题的最优方案(万元) 效用理论在决策中的应用(续) 用收益期望值法: E S1 0.3?60 + 0.5?40 + 0.2? -100 18万 E S2 0.3?100 + 0.5?(-40)+ 0.2? -60 -2万 E S3 0.3?0 + 0.5?0 + 0.2?0 0万 得到 S1 是最优方案，最高期望收益18万。 一种考虑: 由于财务情况不佳，公司无法承受S1中亏损100万的风险，也无法承受S2中亏损50万以上的风险，结果公司选择S3，即不作任何项目。 用效用函数解释: 把上表中的最大收益值100万元的效用定为10，U 100 10;最小收益值-100万元的效用定为0，U -100 0; 对收益60万元确定其效用值:设经理认为使下两项等价的p 0.95 1 得到确定的收益60万; 2 以 p 的概率得到100万，以 1- p 的概率损失100万。 计算得:U(60) p*U 100 + 1-p *U -100 0.95*10+0.05*0 9.5 效用理论在决策中的应用(续) 类似地，设收益值为40、0、- 40、- 60 相应等价的概率分别为0.90、0.75、0.55、0.40，可得到各效用值: U 40 9.0; U 0 7.5; U -40 5.5; U -60 4.0 我们用效用值计算最大期望，如下表: 效用理论在决策中的应用(续) 一般，若收益期望值能合理地反映决策者的看法和偏好，可以用收益期望值进行决策。否则，需进行效用分析。 选学:效用函数构造一种实用方法 前面给出了效用函数的概念，在管理决策分析中，需要进一步讨论能够反映决策者不同偏好具体的效用函数，画出相应的效用曲线，便于在分析过程中操作应用。 构造效用函数的基本思路是:对于决策问题的结果值集合，先用V-M效用测定法找出一个基准效用值。这就是效用值等于0.5的结果值，称之为确定当量 ，其余效用值无须测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一个 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 计算得到。在这个假设前提下，大大简化了效用函数的构造过程。 效用函数的构造(一) 设决策问题结果值集合V c1,c2,„,cn ,，取最优 值 ，最劣值 。现在构造效用函数 ，并且令 ，为了测定基准效用值，各以0.5的概率取最优值和最劣值，构造简单事态 体 ，用标准测定法，得到该事态体的确定当量 ，使得 效用函数的构造(二) 由效用函数的定义知 由此得到的确定当量 ，是构造效用函数 的基准值。这样，就得到了效用曲线的三个已知点 。 效用函数的构造(三) 为了使效用函数规范化，下面对结果值进行归一化处理，令: 其它结果值按线性变换 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 进行处理。特殊的，确定当量 的归一化值 为 ，称 为权衡指标值。 效用函数的构造(四) 效用曲线上的三个已知点对应于变换后的三个已知点 ，在坐标平面上用横轴表示归一化值x，用纵轴表示效用函数值u x ，就可以粗略地勾画出相应的效用曲线了。 为了较精确地描绘出效用效用曲线，仅有上述三个点是远远不够的，还需要补充足够多的点。为此，将纵轴效用函数值区间[0，1]划分为2n等分，得到一系列效用函数值 得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点: (0, 0),( ε, 0.5),(1, 1) 在新区间[0, ε] 和[ε, 1]按同样方法插入点(x0.25, 0.25)和( x0.75, 0.75)，保持比例关系 效用曲线上新增两个点: ( ε2, 0.25),(2ε,ε2, 0.75) 若认为点数太少，效用曲线不够精确，可继续按同样方法在新产生的区间内插入效用中点，直到产生足够的点为止。 若在效用区间[0, 1] 中插入2n个分点: 效用函数的构造(五) 当n 2时，即将[0，1]划分为4等分，相应的4个效用值分别为0.25,0.5,0.75,1,其对应的横坐标值依次为 ,其中，已知 ，只须求出另外的横坐标值 即可。 效用函数表 效用函数的构造方法，基本思路是通过标准效用测定法，测定决策者对于效用值0.5的结果值，经过归一化处理后，以此为标准，用线性内插法计算出效用曲线上其余点。 在实际应用中，为了使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数值编制成表格，便于使用查找，这种表格称之为效用函数表。 效用表的使用举例 某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择，假设市场划分为三种状态，即市场畅销、一般、滞销，三种方案在不同的市场状态下所获利润额，根据预测分析可以表示为如下矩阵。 举例 根据标准效用法测定 ， 该企业的决策者认为，某风险方案盈利20万元和亏损5万元的机会各一半，等价于稳获利4.5万元的无风险方案，试求该企业决策者的效用矩阵。 求该企业决策者的效用矩阵。 c* ? cij ,20， c0 ?min cij ,,5 u o* 1， u o0 0 将决策矩阵的结果值归一化: 由 cξ,4.5,(0.5, 20; 0.5, ,5) 得: 同理得: u x11 ,0.7300， u x12 ,0.6091， u x13 ,0.4306， u x31 ,0.8742 u x32 ,0.5596， u x33 ,0.2068 且 u x21 ,u o* 1， u x23 ,u o0 0 在上例中，若决策者认为: cξ,11.25,(0.5, 20; 0.5, ,5) 试求该企业决策者的效用矩阵。 同上例方法得归一化后的决策矩阵为: 由 cξ,11.25,(0.5, 20; 0.5, ,5) 得: 同理得: u x11 ,0.3819， u x12 ,0.2598， u x13 ,0.1271， u x22 ,0.2920 u x31 ,0.5725， u x33 ,0.0251 且 u x21 ,u o* 1， u x23 ,u o0 0 ?4.5 效用和风险的关系 在风险型或不确定型决策问题中，决策者选择方案几乎都要承担一定的风险，不同的决策者对风险的态度是有区别的。 效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度，也反映了不同类型的决策者对风险的不同态度。 因此从不同类型的效用函数可以看出决策者对风险的不同态度。 效用和风险的关系 中立型效用函数 设有效用函数u u x ，若结果值x1 x2，有 ，此效用函数称为中立型效用函数。 该效用函数表明效用与结果值呈线性关系，说明决策主体对风险持中立态度，或是认为该决策的后果对大局没有重大影响，或是认为该决策可以重复进行从而获得平均意义上的成果，因此，不必对决策的某项不利后果特别关注。 保守型效用函数 设有效用函数u u(x)，若结果值x1 x2， 有 ，此效用函数称为保守型效用函数。 该效用函数表明随着结果值的增加效用值也递增，但递增速度随着结果值的增加而下降，说明决策主体对亏损十分敏感，大额收益对其吸引力不大，即宁可不赚大钱，也不愿意承担大风险。 冒险型效用函数 设有效用函数u u(x)，若结果值x1 x2，有 ，此效用函数称为冒险型效用函数。 该效用函数表明随着结果值的增加效用值也递增，但递增速度随着结果值的增加越来越大，说明决策主体对收益十分关注，而不太顾及风险，敢冒风险，为追求高收益而“孤注一掷”。 不同类型效用函数曲线 混合型效用函数 三种基本效用函数的混合，如: 应用期望值算子表达有如下关系: (凹，保守型) (线性，中立型) (凸，冒险型) 这意味着一个具有凹效用函数特性的决策主体愿用分布效用值去交换一个非随机性的分布后果的效用值。 由上面内容可推出，决策主体总能找到一个后果值，其效用值和分布效用值相等，该后果值即等价确定值CE为: 。则后果期望值和等价确定值之差即为风险的主观价值 。 (凹，保守型) (线性，中立型) (凸，冒险型) ?4.6 在描述模型中的应用 期望效用值理论应用于描述性模型，以描述和解释事物的机理。现以个人或企业的财产、火灾保险为例。 设某企业欲将价值为A的厂房设备申报火灾保险。如保险，显然明年要付保险金i元，明年内如果发生火灾，所有损失将全部得到赔偿;如不保险，一旦发生火灾则损失B元，当然B A。 企业管理者面临两种事态体，即保险情况下的 ，需做出选择。 在判断何种事态体为优的过程中，火灾发生的概率 是个关键因素。 假定，按期望收益值的准则进行判断，这时投保的判断式为: 即 。也即，只要火灾出现的概率大于保险金和火灾损失额之比时，以参加保险为优。 然而，实际考察人们的行为并非如此。即使概率小于此数还是愿意保险。其原因可以这样来解释，这是一次性的损失，面临长期辛苦积累的财富可能毁于一旦，人们总力求万无一失，而愿意付出比期望收益值准则算出的保险金要高得多的费用。 用效用值函数来描述上述情况可得到明确的解释，按期望效用值准则有判断式: 在效用曲线属于稳重型效用曲线的情况下，如下图中曲线所示，其几何形式的表达式为: 如按前述期望收益值准则，其效用值函数相当于下图中的直线 ，则判断式为: 比较以上两式，显然 。这个结果可以解释保险公司的运行机理。 ?4.7 在规范模型中的应用 决策分析是规范性技术，这就是说，如果你同意它的各种假设、推理程序，那就应接受按决策分析选择出的最优方案。但实际上决策者并不一定接受决策分析的结论。决策分析技术所起的作用犹如决策者的思维“拐杖”，使得决策过程得到数据和定量分析的支持，直感判断容易遗漏的信息有可能系统而清晰地显示在决策者面前。此外，决策树提供了一种“语言”，便于决策者和咨询人员相互沟通意见，进行集体讨论，也便于利用计算机进行人机对话，改善决策。如果决策者掌握了这种技术，即使自己无暇去系统地应用它，也有助于改善他的直感判断质量。 做出更好的决策以应对风险 风险是不确定性的副产品，对抗它的最好的武器是知识。 帮助我们做出明智判断的知识可以分为四类。决策者需要了解其个人的偏好，以及这些偏好是如何影响他的判断的。他们还要通过统计数据，测算成功的可能性和失败的概率。他们要了解专家们是怎么想的。最后，他们要清楚自己的组织内部有哪些“软肋”，会对预期的结果产生什么样的威胁。 决策分析框架 定量化 研究风险型决策问题的两个基本需求 * 自然状态不确定性度量 决策后果的价值量化 收益值/损失值 客观概率 先验 修正概率 效用值 后验 得决策者的效用矩阵为: u x 1 1 0 中立型效用函数 保守型效用函数 冒进型效用函数 u x 1 1 0 混合型效用函数 表示当x,x0时，即结果值不大时，决策者具有一定冒险精神;当x,x0时，即结果值较大时，决策者对风险转而持谨慎态度。 x0 常见的拟合效用函数曲线形式: 线性函数 指数函数 抛物线函数 对数函数 幂函数 例 某决策人面临着大、中、小批量三种生产方案的选择问题。该产品投放市场可能有三种情况:畅销、一般、滞销。根据以前同类产品在市场上的销售情况，畅销的可能性是0.2，一般为 0.3，滞销的可能性为0.5，问该如何决策, 举例说明效用在风险决策中的应用。 其决策表如表所示。按期望值法以损益值进行决策，可得: 表 生产方案决策表 应进行中批生产。 假定对该决策人进行测定得到的效用曲线。将其上页决策表中的货币量换成相应的效用值，得到效用值决策表如下。 表 决策人甲效用值表 这时 应采取小批量生产，这说明决策甲是小心谨慎的，是为保守 型决策人。 假定对该决策人进行测定得到另一种效用曲线。将决策表中的货币量换成相应的效用值，得到效用值决策表如下。 表 决策人乙效用值表 这时 对决策人乙来说应选大批量生产，显然这是位敢冒风险的决策人。 由于在某些情况下，利用货币期望值作为标准的决策无法完全反映决策的因果，因此，可以改用效用作为标准进行决策，此时只要将原来的损益值改为相应的效用值即可。下面举例来说明效用决策模式。 例 某公司准备引进某新设备进行生产，这种新设备具有一定的先进性，但该公司尚未试用过，预测应用时成功的概率为0.8，失败的概率为0.2。现有三种方案可供选择:方案 ?，应用老设备，可稳获 4 万 元收益; 方案?，先在某一车间试用新设备，如果成功，可获7 万元收益，如果失败则将亏损 2万元;方案?，全面推广使用新设备，如果成功，可获12万元收益，如果失败则亏损10万元，试问该公司采取哪种方案, 解:(1)如果采用货币期望值标准，可画出决策树如下页图所示: 方案?损益值为: 方案?的损益值为: 方案?的损益值为: 决 策 树 图 由决策值可知，该公司应采取方案?为最优方案，因为方案?收益期望值为最大(7.6万元)。但是，可以看到，若采取方案?，必须冒亏损 10万元的风险，虽然亏损的概率较小，但仍有可能发生。如果该公司资金较少，亏损10就意味着因资金无法维持正常 周转而停产，甚至倒闭。那么公司领导一般不会采取方案?，而采取收益期望值较低的方案?或?。如果公司资金力量雄厚，经受得起亏损10万元的打击，公司领导又是富有进取心的，那么他可能会采取方案?。鉴于以上种种情况，有时以效用作为标准进行决策比以损益值进行决策更加切合实际。 (2)求决策值的效用曲线。规定最大收益(12万元)时，效用值为1，亏损最大(-10万元)时，效用值为0，用标准测定法向决策者提出一系列问题，找出对应于易损值的效用值，即可绘制出该决策值对此决策的效用曲线，如下图所示。 图 效用曲线图 在所得曲线上可找到对应于各易损值的效用值: 4万元的效应值为 0.94; 7万元的效用值为 0.98; 12万元的效用值为 1 ; -2万元的效用值为 0.70; -10万元的效用值为 0.00; 现用效用值进行决策: 0.94 方案?的效用期望值为: 方案?的效用期望值为: 于是可得如下决策树，如下页图所示: 图3-10 决策树图 由此可见，以效用值作为决策标准，应选方案?。这与损益期望值法的结论不一致，原因在于决策者对风险持慎重态度， 是保守型决策者。 用效用值作为决策的标准有其方便之处，它可以把决策者对风险的态度反映进去，从而使所作出的选择更能符合决策者的需要。但它也有不足之处，即它不能准确地测定。 因为用标准测定对决策者做测验时，决策者往往感到难以回答，尤其需要反复提问之后才能绘出效用函数曲线。因此，往往需要同时采用上面介绍过的几种办法，再把所选结果进行综合判断，才能最后做出抉择。 案例 某电器厂根据自己的生产能力提出三种生产方案甲、已、丙，当市场分别为畅销 、一般 和滞销 时，各方案的收益(利润)如表所示。 表 收益矩阵 单位(万元) 畅销、一般、滞销的概率分别是0.4、0.4、0.2。决策者决定采用 效用函数法进行决策。所有可能收益的区间为[-1000元，2000元] 即 故 画出其效 用曲线其他3个点。 (1)请决策者在“甲:稳获 元”和“乙:以 50%的机会获得 2000元，50%的机会损失1000元”这两个方案间进行比较。假设 先取 ，若决策者的回答是偏好于甲，则适量减少 ，例 如取 ;若决策者的回答是偏好于方案乙，则应适量增 加 的值，例如取 。假设当 时决策者认为方案甲和 乙等价，则有 (2)请决策者在“甲:稳获 元”和“乙:以50%的机会得到 0元，50%的机会损失1000元”这两个方案间进行比较。假设当 时决策者认为方案甲和乙等价，则有 (3)请决策者在“甲:稳获 元”和“乙:以 50%的机会得到 0元，50%的机会得到2000元”这两个方案间进行比较。假设当 时决策者认为方案甲和乙等价，则有 这样便确定了当收益为-1000，-600，0，800和2000元时的 效用值分别为0，0.25， 0.5，0.75和1。据此可画出该效用曲线 的大致图形如下页图所示: 3.5 效用 理论及风险评价 图 效用曲线图 3.5 效用理论及风险评价 在效用曲 线上可找到对应于各损益值的效用值，其分别为: 2000万元 的效用值为 1 ; 1500万元的效用值为 0.91 ; 1000万元的效用值为 0.79 ; 300 万元的效用值为 0.61 ; 200 万元的效用值为 0.58 ; 0 万元的效用值为 0.5 ; -500 万元的效用值为 0.32 ; -1000万元的效用值为 0 。 3.5 效用理论及风险评价 3.5 效用理论及风 险评价 方案甲的效用值 方案乙的效用值 方案丙的效用 由此可见，以效用值为决策标准应选择方案乙， 而如果采用期望值法进行决策应选择方案甲，两个决策结论的差异是由于决策者是保守型决策者。 投保效用曲线 效用的测 定步骤 设有决策系统 A，Q，V ，其结果值集合为V x1,x2,„,xn ,记 测定 各结果值xj效用值u xj ，其步骤如下: 效用的测定――辨优 变动调整概率 法 例 某公司试制某种新产品，根据市场预测，畅销时可获利10万元，滞销时 亏损1万元。公司另一无风险方案，即如果生产老产品，可稳获利5万元，测定 效用值: c* 10, u c* 1 c。 -1, u c。 0 c 5, 如果c~ 0.6, c*; 0.4, c。 ，则u c 0.6 * 例 某决策人面临着一项最大可能获利20万元，或者 最大损失10万元的决策项目。试确定决策者的效用曲线。 第一步，确定最大 收益效用值和最小收益值，确定其效用值。它们分别为: 。 第二步，向决策人 提出下面两种选择方案，第一方案:以50%的机会获利20万元，50%的机会损失 10万元;第二方案:以100%的机会获利5万元(注:这 5万元正是第一方案的 期望值)。 对于这两个方案，每一个被测对象都可以有自己的选择。假定改决 策人选择第二方案，这说明第二方案的效用值大于第一方案，实验将继续下去。 第三步，向决策人提出将第二步第二方案中的100%机会获得5万元改成 2万元，问决策人的选择有何改变。 假定该决策人认为有50%的机会损失10 万元对他所处的现状来说是不能接受的，那么他仍然会选择100%的把握获得2万元的方案。这说明第二方案的效用仍然大于第一方案。实验继续下去。 第四步，向决策人提出，如果他不选择第一方案，他必须支付1万元，这时该决策人可能不情愿白花1万元，而愿意采用第一方案。这时说明让决策人无条件付出1万元的效用比第一方案的效用低。 这样的实验反复试验下去，直到最后可能达到这样的妥协:决策者觉得一分钱也不付，或者采用第一方案，两者对他是一样的。这说明对于该决策者来说0的货币量与采用第一方案的效用是相同的。 因第一方案的效用值是 ，故对决策者来说，货币值0 的效用值为0.5。接着，可以在0~20 万元之间和 -10~0万元之间进行与上面相同的实验。例如，在0~20万元之间的实验室关于效用值 的等价货币值的实验。其对应的投资方案是50%的机会获得0元，50%的机会获得20万元。为了下面叙述方便，称其为投资第三方案。其实验程序可参看下页表. 再继续进行下去就可以得到足够的试验数据，如假定在-10~0 万元之间的心理试验得到的结果是 -5.85 万元。这说明-5.85万元的效用值是 ，按照同样的方法，还可以在20~8.25 万元，8.25~0万元， 0~-5.85万元、-5.85~10万元之间进行同样的试验，便可以得到与效应值对应的货币量。如下: 效用函数和效用曲线的构造 * c* 1 0.5 0 c。 0.25 0.75 c0.5 c0.25 c0.75 x u x 我们不但可以用N-M法求货币的效用，也可以用它来求非货币所表现的事物的效用。比如，对 决策者来说，有A、B、C、D、E、F六件事情，假设他“最满足”的是A，“最厌恶”的是F，则令 。要测定 ,可以提问:有两个方案，第一个方案可能以 的概率获得A ，和以 的概率获得F，第二方案以1的概率获得B，你认为 为何值时，方案一与方案二等效,决策者回答 值后，便可以用上面同样的方法得出 ，同样也可以得出 。 u x 0 1 1 ε 0.5 计算得: u x 0 1 1 ε 0.5 0.25 ε2 0.75 2ε,ε2 记相应的归一化的结果值为?k ，有: 决策者认为: cξ,4.5,(0.5, 20; 0.5, ,5) 得归一化后的决策矩阵为: 查效用函数表， ε,0.38 所在列，以x22,0.5为例 : 0.490621, x22,0.5 ,0.503698 而 u 0.490621 ,0.65625， u 0.503698 ,0.671875 用线性内插法: 解得u x22 ,0.6675。 得决策者的效用矩阵为: 查附表，ε’,1-0.65 0.35 所在列，以x32,0.44为例， u x32 ,1,u’ 1,x32 ,1, u’ 0.56 : 0.53689, 0.56 ,0.5775 而 u 0.53689 ,0.734375， u 0.5775 ,0.75 用线性内插法解得u’ 0.56 ,0.7433，因此: u x32 ,1, u’ 0.56 ,0.2567 * * 你的偏好次序是什么, 第三章所述的风险决策分析方法，大多是以期望损益值作为决策标准的。需要说明的是，这样做，有时既不合理，也不符合实际。如果完全以期望值的大小作为决策标准，就会把决策过程变成机械地计算期望损益值的过程，而没有把决策人的主观作用考虑进去，这当然不够合理。 事实上，任何决策都是由决策人作出的，决策人自己的经验、才智、胆识和判断能力等主观因素，必然会对决策方案的选择产生影响。决策人对风险的态度也是至关重要的，同一个决策问题，保守型决策人与冒险型决策人所做出的选择会很不一致，而且同样的货币量对不同的经济主体往 往具有不同的“价值”。即使是对同一经济主体，在不同时刻、不同环境下，同样的货币量也可能具有不同的“价值”。 同一货币量在不同的场合对决策人会产生不同的价值含义。这种货币量对决策人产生的价值含义就称为货币量的效用值。这种决策人对于期望损益值的独特兴趣、感受和取舍反应就叫做效用。效用能够反映人们的价值观念在决策活动中的具体表现，代表着决策人对于风险的态度。那么如何在决策时反映决策人的这种偏好呢,这就是本章所要介绍的效用理论问题。 为什么要引入“效用”的概念 直接利用收益值或损失值作为决策后果存在的两个主要问题: 某些后果无法用数值直接测度 下雨不带伞的后果 即使存在一个数值的测量后果，也不能准确地反映出后果对于决策人的真正价值 100元对于穷人和富人的价值完全不一样 淋雨对于年轻人和老年人的效果也不一样 同样的损失值(收益值)对于不同决策人效果不一样 * 事态体的描述 事态体 prospect : 或称“预期”、“展望”，可能的前景，即各种后果及后果出现概率的组合。既考虑各种后果 consequence ;又考虑了各种后果的概率 probability or likelihood 分布 。 事态体的比较 严格序 无差异 弱序 * 某公司试制新产品方案: L1 0.6, 20; 0.4, -5 L2 0.5, 20; 0.5, -5 显然L1优于L2 L1 0.6, 20; 0.4, -5 L2 0.6, 15; 0.4, -5 显然L1优于L2 L1 0.6, 20; 0.4, -5 L2 x, 30; 1-x, -5 L1 0.6, 20; 0.4, -5 L2 1, 10; 0, c L1~L2 等价确定值和无差异概率 设事态体 ，0 x 1，且 ，若对于满足优劣关系 的任意结果值 ， 必存在x p 0 p 1 ，使得 , 其中结果值 称为事态体L的确定当量，或称为等价确定值，p称为 关于 与 的无差异概 率。 举例 抽奖 lottery 与等价确定值(certainty equivalent) 抽奖L2 p,C2 ; 1-p ,C3 。 若 C1 ? L2，则称 确定性后果 为抽奖 L2 的等价确定值。 这里，qi i 1, 2, „, n 为ci关于c*与c0的无差异概率。 qij是结果值cij关于c*与c0的无差异概率。 其中: c* ? c0 ? qij值的大小和结果值具有一致性，可作为效用的取值。 这里需要指出，在决策理论中，效用既是概念，反映决策方案的结果值满足和实现决策者愿望和倾向的程度，另外，效用也是量值，可以用具体的方法测定，并作为决策分析的依据。 效用 效用是决策者价值观念的一种反映，但它不再是一种定性的反映，而是一种数量的表现。或者说，效用是决策者偏好关系的一种度量。它实际上是反映了决策者对待得失 风险 的―种权衡的结果。 效用如同温度是度量热的尺度一样，用以度量决策分析中各种可能结果，使之能在数量上进行比较。按照效用理论进行决策分析，应根据决策者的效用函数 曲线 来计算各方案可能结果的期望效用值，并以最大的期望效用值作为选择方案的依据。 效用函数的定义 每个收益值cij都对应一个效用值u cij 。 每个事态体L因人、因时、因地对应一个效用值u L 效用函数u满足: 0 ? u L ? 1 对于任意L1、L2，L1 ? L2当且仅当: u L1 ? u L2 L1 ~ L2，则u L1 u L2 * Von Neumann-Morgenstern 1944 认为:若要保证效用函数一定存在，需要满足下面的理性行为公理: 效用曲线因人而异，不用的决策者会有不同的决策曲线。效用曲线可以通过N-M试验加以确定。这种方法是冯.诺依曼和摩根斯坦(Von Neumann和Morgenstern)两人于1944年共同创立的。这种方法也称为标准测定法。 效用可以用效用值u表示。效用值介于0和1之间。在一个决策问题中，一般把最大收益值的效用定义为1，把最小效益值的效用定义为0 ，即 。在平面直 角坐标系中，如果用横坐标表示收益值，纵坐标表示效用值，则可把决策者对收益值的态度绘成一条直线，这条曲线称为这个决策者的效用曲线。 自然状 态 行动方案 N1 (需求量大) p N1 0.3 N2 (需求量中) p N2 0.5 N3 (需求量小) p N3 0.2 S1(作项目A) 60 40 -100 S2(作项目B) 100 -40 -60 S3(不作项目) 0 0 0 自然状态 行动方案 N1 (需求量大) p N1 0.3 N2 (需求量中) p N2 0.5 N3 (需求量小) p N3 0.2 E[U SI ] S1(作项目A) 9.5 9.0 0 7.35 S2(作项目B) 10 5.5 4.0 6.55 S3(不作项目) 7.5 7.5 7.5 7.5