关于极坐标的相关知识点(1)

关于极坐标的相关知识点(1)关于极坐标的相关知识点在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。在极坐标中,x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替。ρ∧2=(x∧2+y∧2) 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离...

关于极坐标的相关知识点在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。在极坐标中,x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替。ρ∧2=(x∧2+y∧2) 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴:r(半径坐标)和θ(角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t)。r坐标表示与极点的距离,θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线(有时也称作极轴)的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。比如，极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(?3,240°)和(3,60°)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° ? 180° = 60°)。极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点(r,θ)可以任意表示为(r,θ ± 2kπ)或(?r,θ ± (2k+ 1)π)，这里k是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。使用弧度单位极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。两坐标系转换极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x = rcos(θ), y = rsin(θ), 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标:r=(×2+y2)?θ = arctan(y/x) 在x = 0的情况下：若y为正数θ = 90°若y为负，则θ = 270° 极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(?θ)= ρ(θ)，则曲线关于极点(0°/180°) 对称，如果ρ(π-θ)= ρ(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称, 如果ρ(θ?α)= ρ(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。圆在极坐标系中，圆心在(r,φ)半径为r的圆的方程为方程为r(θ)=1的圆 ρ=2rcos(θ-φ) 另：圆心M(ρ',θ') 半径r 的圆的极坐标方程为: (ρ')2+ρ2-2ρρ'cos(θ-θ')=r2 根据余弦定理可推得。直线经过极点的射线由如下方程表示 θ = φ, 其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点(r′,φ)处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为r′(θ)= r′sec(θ - φ) 玫瑰线极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程方程为r(θ)= 2 sin 4θ的玫瑰线来描述，方程如下: r(θ)= acos kθ 或r(θ)= asin kθ, 如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘(disc)状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2(如2,6,10……)个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。阿基米德螺线右图为方程r(θ)= θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线。阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:r(θ)= a+bθ, 改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。一条阿基米德螺线圆锥曲线圆锥曲线方程如下: 其中l表示半径,e表示离心率。如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。或者其中e表示离心率,p表示焦点到准线的距离。双绞线取AB为x轴，中点为原点，那么A,B坐标分别为(-a,0),(a,0) 设M(x,y)，则根号[(x+a)^2+y^2]*根号[(x-a)^2+y^2]=a^2 整理得 (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2) 这就是双纽线直角坐标方程。在Mathematica中绘制双纽线的语句为: PolarPlot[{Sqrt[2 Cos[2 t]], -Sqrt[2 Cos[2 t]]}, {t, 0, Pi}] 图形如右图: 双纽线(a=1) 方程(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)，在极坐标中，可化简为: ρ^2=2a^2*cos2θ 另一个双纽线的方程(x^2+y^2)^2=4x*y*a^2对应的极坐标方程是:ρ^2=2a^2*sin2θ 补充：如果双纽线的焦距为(2^0.5)*a，即双纽线方程为(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)，则其极坐标中可化简为:ρ^2=a^2*cos2θ 极坐标方程下:x=ρcosθ,y=ρsinθ 心形线 ρ(θ) = a(1 +cosθ) 的心脏线的面积为:S=3(πa^2)/2 极坐标下的面积扇形顶点为极点，一个边为极轴. 设：扇形顶角为θ(弧度)，半径为R. 则扇形面积S=(1/2)θR2 温馨推荐您可前往百度文库小程序享受更优阅读体验不去了立即体验

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