广义Toroidal李超代数的不可约可积
表
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示
第16卷,第4期中国传媒大学自然科学版Vo1.16,No.4
2009年l2月
JOURNALOFC0MMUNICAT10NUNIVERSITYOFCHINA(SCIENCEANDTECH
NOLOGY)Dec,2009
广义Toroidal李超代数的不可约可积表示
付佳媛
(中国传媒大学理学院,北京,100024)
摘要:首先定义了由基本典型李超代数构造的广义Toroidal李超代数,进而讨论其
具有有限维权空间的不可约可积
表示.我们得到,对于具有非零centralcharges的此类表示一定是平凡的.而
centralcharges非零的表示则具有最高
权空间.
关键词:基本典型李超代数;广义Torodial李超代数;不可约可积表示;最高权空间
中图分类号:0152.5文献标识码:A文章编号:1673—4793(2009)04—0029—06
TheIrredncibleIntegrableRepresentationof
GeneralizedToroidalLieSuperalgebra
FUJia-yuan
(DepartmentofMathematics,CommunicationUniversityofChina,Beijing100024,China) Abstract:WegivethedefinitionofthegeneralizedToroidalLiesuperalgebrasfirstly,whichconstructed
fromthebasicclassicalLiesuperalgebras(finite-dimensiona1),thenwediscusstheirreducibleintegrable
moduleswithfinite—
dimensionalweightspaces.Weprovethatthesemodulesmustbetrivialiftheyhave non—
zerocentralcharges.Andifthecentralchargesareallzero,thesemoduleshaveaso-calledhigh
est
weightspaces.
Keywords:basicclassficationLiesuperalgebras;generalizedToroidalLiesuperalgberas;irr
educibleinte—
grablerepresetations;highestweightspaces
1背景介绍
Toroidal李代数作为扩张仿射李代数,是一类重 要的无限维李代数.可积表示是李(超)代数的一 类重要的表示,关于Toroidal李代数的具有有限维 权空间的不可约可积表示至今已经有了很多结果 (参考文献?.??'.'),其中无扭情况下的
分类已经有姜翠波教授和s.EswaraRao给出参考 文献,扭的情况的分类也已经给出参考文献. 2004年,S.EswaraRao和赵开明研究员给出了对于 由基本典型李超代数构造的Toroidal的不可约可积 表示的分类.李超代数是上个世纪由物理学家提出 来的,其与李代数密切相关,并在很多领域都有着广 泛的应用,关于Toroidal李超代数不可约可积表示 由赵开明研究员和S.EswaraRao在2004年给 出.
本文主要讨论由基本典型李超代数构造的广义 Toroidal李超代数的具有有限维权空间不可约可积 表示.Toroidal李超代数作为仿射李代数的超扩张, 其表示理论与Toroidal李代数有着显着的不同,广 义Toroidal李超代数在结构上比Toroidal李超代数 收稿日期:2009—10—19
基金项目:国家自然科学基金项目(10901146),"382人才工程"项目
作者简价:付佳嫒(1978一),女(汉族),黑龙江人,中国传媒大学理学院讲师.E—
mail:fujy@CUC.edu.ca
30中国传媒大学自然科学版第16卷
更为复杂,其阶化导子和中心元素的系数由简单的 系数变成了含有n个变元的多项式.本文的目的就 是研究这类李超代数的不可约可积表示的结构与分 类,从而可以看到对于此类李超代数来说,阶化导子 与中心元素的系数对其表示会有怎样的影响.我们 将首先介绍一些预备知识,包括基本典型李超代数 的结构及一些基本理论,第三节我们将给出广义 Toroidal李超代数的定义和结构,在文章的最后一 节,我们将讨论广义Toroidal李超代数的具有有限 维权空间的不可约可积表示的结构与分类. 2预备知识
本节主要介绍基本典型李超代数的基本定义以 及结构性质.早在1977年,Kae就给出了这类李超 代数的分类.
.
定义2.1一个李超代数称为基本典型的,如 果满足
(1)李超代数是单的,有限维的;
.
(2)偶部分是约化的,并且有一个偶的非退化 的对称不变双线性型.
基本典型李超代数自从引入就受到了广泛的关 注,下面列出的是所有的基本典型的李超代数以及 它们偶部分的分解幢,":
A(m,n)Am+A+Cm/>0,n?0,m+n?1
(m,n)B+CmI>0,1/,?1
C(n)C一1+Cn?3
D(m,n)D+Cm?2,n?1
D(2,Z,)D2+AI?O,一1
F(4)B+A1
G(3)G2+A1
g=9o?9.为以上定义的基本典型李超代数, 但9?A(n,n).对于基本典型李超代数A(/7,,n),我 们取9=st(n+z,n+1),这是A(n,n)的泛中心扩 张.令g为g的偶部分g.的第一个成分,g为第 二个成分,由上面所列可知,g总是一个单李代数, 除去D(2,,1),D(2,1,)的情况,g己也是单的. 由参考文献?.可知,我们可以选取9上的非零双线 性型,使得其在9上的限制是正定的,在g:上的限 制是负定的.令5,6:分别为g,9的Cartan子代 数,?..,?..分别为g,g的根系,令(,)为在6'0 6上诱导的双线性型,容易得到下面的引理. 引理2.2.
(/3,n):(),a,卢??.=1,2
(JB,Ot):0,??o1,/3?A02
注意:如果OLE?01,则lO/I>0;如果a?/k则l I<0
3广义Toroidal李超代数的定义
本节将给出由基本典型李超代数构造的广义 Toroidal李超代数的定义及一些基本结论.令A: C[,1?,,…,f]为具有n个可交换变元t,t:, …
,t的罗朗多项式环,/1,为某一固定的正整数.对 于盟(ml,m2,…,m)?77,记t=,'f2tn…ttn?A;对 于任意的向量空间,记oA=vA,()=口ot, 则9~A具有自然的李超代数结构.令,c为具有基 底{.,:,…,j}}的自由A一模,记Q为由形如t
,1??n,E的向量张成的向量空间,为
由形如?mtJ}的向量张成的向量空间,则Q/d^ 为由微分形构成的空间,其中向量t在Q/中 的像仍记为tm-k,从而/是由集合{tm-li=1, 2,…,17,,E7/}按如下关系式张成的向量空间: ?mt=0f一'
我们在孚=9oA?n/上定义李超代数结构: [(),),(垦)]=[,,,](+塑)+(,y)d(t)?t., (1)
其中d(t)?t=?mtJ},(,)是上面取定的非零 g一不变的双线性型,Q/为的中心,即
[手,Q/]=0(2)
定理3.1(参考文献?中定理4.7);是gOA的 泛中心扩张.
,,
令d为阶化导子,即d.=,,记
'i
D=8panc{t-mdIi=1,2,…,凡,rn?7/"}. 对于D?D,D可以通过以下形式自然地扩张成张量 积g~a上的导子:
D(厂)=Of,?g,fEA.
并且D也可以唯一地扩张成g~a的泛包络代数 上的导子:
td.(ft五6)=nat2o+not后6+.^+
第4期付佳媛:广义Toroidal李超代数的不可约可积表示3l
t,".
我们知道,李代数D上可以定义两个非平凡的Q/ d一值2一上圈币.,(参考文献):
咖-(to.d0d6,n.
tu
m一
,
2(totd.,totd6=m.n6ZP一P.选取咖为,咖的任意的线性=nm
组
t
合
o
,令
t
r=;?D.
定义其李超运算为(1),(2)以及:
[,d,(堕)]nix(+盟),(3)
[d]=ni,+6.
mf,(4)
[d,,]:12it一mjr"d+咖(fd,). (5)
则J『为李超代数,称=goA?Q/doD为基本典 型李超代数构造的广义Toroidal李超代数.令5为 9的Carran子代数.则6=60C?Cd为 的Carran子代数.令A=A.uA为g的根系,其中 ?.为g的偶根系,?.为9的奇根系,则g=?g 06.定义6E6,满足6(6)=0,6(di):6占, ()=0,用符号6表示…即6=-
-
~
1
m6,定义
?6,满足(6)=0,(dj)=0,W(,)=,6.
显然,6,6,6,…,占,鲫.,W:,…,线性张成5.
令
+m=9,,??,
=
6oo(ot),?Q,
.=
6
则r具有如下的根空间分解:
7.=o.r+
qE?U1ul,?
+,??,m?称为实根,6,?7/称为虚
根.令为相应于根的根向量,则称()为实 根向量.
4广义Toroidal李超代数的不可约
可积表示
本节我们将讨论广义Toroidal李超代数的不 可约可积表示.记g为第一节所定义的基本典型李 超代数,g为9.的单李子代数.我们假设g一不变 的非零双线性型在上g的限制是正定的.令6为 9的Cartan子代数5"为6在g.的Cartan子代数的 余空间.本节中我们总做如下假设:
(1)所有的向量空间都是定义在复数域C上 的.
(2)对任意的李超代数g,我们按标准的方式定 义其仿射化:
=goC[t,t]oC0Cd
令?={+硒l,m艿1I??,m,n?7/},类似定义 .,厶.:.若E?.,=?m,定义=?m车IOLI ,令为所有由实根定义的反射构成的Weyl群. 定义4.1r一模称为可积的,如果满足
(1)V=0,其中={?Vlh?:A(h) ^e?
,Vh?5}.
(2)对于任意的向量EV,??,?7/,存在 =
.i}(O/,m,),使得(())?=0.
在以下的讨论中,除了特别
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
外,我们总用 表示具有有限维权空间的不可约可积一模,记P (V)={Al?0}为的权集.由参考文献中引 理2.3的证明可得如下引理:
引理4.2
(1)P(V)是不变的.
(2)dim=dimVw^,?V/.
(3)若??.,A?P(V),贝4A()?77. (4)若?A,A()>0,贝4A—OL?P(V). (5)对于所有的A?P(),A(),i=1,2,…, 为整数.
设A()=c,i=1,2,…,n.在本节中,c,i= 1,2,…,n总是如此定义的.
定理4.3如果具有非零的centralcharges:
c0,c一,c,则我们总可以假设c0?0,c1=c2=…= c=0.
证明由参考文献中引理2.2可知,对于任 意的,lJ×n一矩阵A=(0),满足detA=1,??,一 定存在一个的自同构,使得下列等式 (x~t)=x~t,
Or(t~-kj)=?.
P,
1?n,
()=?.
b如tdp,1??n,
成立,其中B=(b,)=A,.由于是具有有限维权 空间的不可约可积r一模,如果具有非零的een— 32中国传媒大学自然科学版第16卷 tralcharges:c0,c一,c,利用的任意自同构,总 可以假设co?0,cI=c:=…:=0.定理得证. 下面,我们将给出具有不同centralcharges的具 有有限维权空间的不可约可积Jr一模的分类.回 忆:6',6l,62,…,6,w1,w2,…,w线性张成6,任 给A?6.,令表示其在6上的限制,显然,6中任 意的权总可以很自然地扩张成6中的权,从而6 中的任意权可以唯一的写成如下形式: A=A+9..十s..
在6上定义序?:对于,?,如果一A=? niol,其中n为非负整数,为李超代数g的素根, 贝0记i.t?A.
命题4.4.g,V如上定义,如果c>0,c:c,=
…=c=0,则对任意的A?P(),存在?7?0,使得 对于任意的?厶,均有A+?7+隹P(V),这里. =
{卢+,谚1ln?,卢??0l}.
证明取A?P(),贝?
A=A+?g6+?$iw.
已知0=A(ki)=3iw(kf)=s,2?i?n,cl=A (k.)=s,,从而
A=十?g.占+c1w1.
令g={:,一,9},考虑=o其中
=
{?VId'=f,i=2,2,…,n}.
注意到每一个都是?一模,记
=
0
这里v={?vih.=A(h),Vh?6,,}.显然,
为可积9一模,且相对于6具有有限维权空间. 定义6至O,如果5=?ni,并且n为非负整数,o/ 为的素根,由参考文献的定理1.1o中的断言 可以得到,对于任意的EP(.
),以及,??总
存在6ti>0,使得+6+盛P().由A的任意性, 我们可以用P(V)代替P(I,^.),从而得到此命题的 结论.
定理4.5设g为(m,n),m?1,n?1,B(m, n),m?1,It?1,D(m,n),m?2,n?1,D(2,1,),F (4),G(3)型李超代数,令为具有有限维权空间的 不可约可积f一模,如果c,?0,c:=…=c=0,则 一
定是平凡的.
证明不失一般性,我们可以假设c>0,令g 为偶部分中的单李子代数.令g为第一节所列的 基本典型单李超代数的偶部分的第二个成分.由定 理的假设可知,g为单李代数,根据参考文献可 知,我们可以选取一个非零的双线性型,使得其在 g上的限制是正定的,在g上的限制是负定的.记 g的Caftan子代数为6:,由参考文献中定理2.6 的断言可知,存在一个属于权A的权向量,使得对 于所有的??ou{0},以及n<0,()=0这里 为g的相应于根的根向量.由此可知,对于
所有的h?6:,It<0,均有h(n)=0成立.注意双 线性型限制到6:上是负定的.而日=6@C[t] oC是一个Heisenberg李代数,并且由生成一 个的最低权模,则由经典的结论可知,对于任意 的h?5.,rt>0,均有h(n)t,?0.因此,对于所有的 n>0,A+n8.?P().这与命题4.4矛盾,定理得 证.
下面考虑c=c=…=c=0的情况.令=
n/d0D,
+
=
+
oC[t1",…,t'],
r一=9一oC[t,…,t.],
r.=6oC[t1?,,,…,f'].
命题4.6.设g为(m,n),m?0,n?1,D(/71,, n),m?2,n?1,D(2,I,),F(4),C(3)型李超代 数.取定某个A.?P(),则一定存在A?P(),满 足对于任意的0?50,均有A+5隹P(V),并且A (d)=Al(d),i=1,2,…,n.
证明记a=A1(di),=1,2,…,n.=(aI, a2,…,a)令
堡=}?jdf?:口,i=1,2,…,},
则是具有有限维权空间的可积9.一模.记P ()={A?P()I鱼},贝4
A=A+0'占+乏ciw',
这里?6,易得AI=.由已知李超代数的构造 (9.均为有限维半单李代数),可得是完全可约 的,即
:0(A).(6)
这里()是不可约可积的g.一模.我们断言, (6)右端是有限和.
事实上,我们可以考虑由张成的格Q,,a是二 9的偶根.令0为由9的素根张成的格,即Q=? ,其中是g的素根,显然,Q.Q,对于任意的 第4期付佳媛:广义Toroidal李超代数的不可约可积表示33
A一/x?P(Vo),由的不可约性可得A一/.L?Q Q..令=1或2,对于固定的A?P(v_a),考虑有限 集
{A?P()lA=A+?}
d?d0d
由已知及以上讨论可得,对于任意的?P(V堡), ?A+Q=A一?—I.X—+Q:A+Q, ?0Jg
其中Q表示g.的根格,记
P={Al(A)出现在(6)右端}.
则P包含在Q的有限个陪集中.如果在某个 陪集中包含无限多个P中的,我们令.为这个陪 集中的最小权(由复半单李代数的有限维不可约最 高权表示理论可知,这样的.是存在且唯一的),从 而dim.=,与已知是具有有限维权空间的.r 一
模矛盾,所以P是有限集,进而(6)使有限和. 因为每个P都是有限集,所以P(Vo)也是有限 集.令A是在序?下的最大权,则A为满足命题条 件的权,命题得证.
对于任意的??,?为基本典型李超代数9的 根系,都可以唯一的表示成=?ni.?7/,为9 的素根.定义的高度htoL=?13;.
定理4.7.令g如命题4.6中所定义,令V为具 有有限维权空间的不可约可积一r一模.如果c=c =…=c=0,则存在v?V,使得对于任意的? "
,仪E?,x(m)v=0,其中x为相应于娃的根 向量,令
T={v?VIT?v=0}
我们称T为V的最高权空间.
证明由命题4.6,存在?P(V),满足
入+仅P(V),对任意的d?A.(7) 我们分两种情形证明此定理.
情形1+d+6P(V),对于任意的??
任意的虚根8.
我们称一个V中的向量W是半正向量,如果对 于所有的非奇素根的正根仪??以及所有的堡? ,都有x(m)w=0成立.对于已知的入,取v? V,由(7)及情形1的假设可得:对于任意的正偶根 ,唯一的正奇素根和所有的m?",都有X ()v=0和仅(0)v=0成立.又已知每一个高度 大于1的正奇根p,总可以写成=0l+0,其中 是正偶根,p是正奇根,且htp.<htp.由 x
,
()p.(0)V=p.(0)x.()V+[xB1]V,
可得()=0,从而是半正向量.同理可证. (盟.)是半正向量.用归法可得.
(m.)…
(.)也是半正向量.我们断言,对于某个足够大 的正整数后,
.
(1)….
()=0
事实上,如果对于任意的正整数,(堡)…
.
()?0,我们有A十五+?P(V).由参考
文献?中给出的Cartan矩阵可知,存在一个偶素根 使得()<0.从而,对于足够大的,(A+妇
+占)()<0.由弓I理4.2,A+后++OZ?P (V).由的不可约性可知,生成整个;又由
PBW定理以及是半正向量可知:对于I,的任意比 A大的权(模掉虚根)一定形如A+妇+6,而显然 A+妇++>A,且为偶素根,得到矛盾.所 以断言成立,因此定理在情形1时成立. 情形2A++?P(V),对于某个E?和
某个虚根.
在此情形下,我们只需证明下面断言: A+Ol++卢+占岳P(V),对于任意的??和 任意的虚根6.
事实上,简记A++=,且假设+JB+6?
P(),对于某个卢??和某个虚根6,如果,? ?.2,我们有(0c+卢,+卢)<0;从而,或者(+卢,卢) <0或者(a+,)<0.不妨假设(Ol+卢,卢)<0,由 引理2.2,(+)(卢)>0,以及已知的A(卢)?0 和IX(|j})=0,从而(++6.)(+.+6))>0.
由引理4.2可得A+?P(V),与(7)矛盾.类似可 证,??..的情形.如果??卢E?02,则(,JB) =
0,(Ol+卢)(a)>0.因此,(+卢+6)((+6 +艿))>0,由引理4.2,A+?P(),仍然与(7)矛
盾.
至此,我们已经证明了对于任意的卢?A.和任 意的?,都有口()=0.如果对于所有的
奇素根,m?也有()=0成立,则定理得
证.假设对于某个奇素根.和rn.?7/,.(盟.)
?0,贝4+.+6.?P(V).假设.(a)>一2,贝0
(o+Olj)()>0
(A+,+6+7o+61)(d,+6+6o)>0
P(v),这与(7)矛盾.所以我们 可得A+.?
得到.()?一2.这说明y.+2,??,而我们从
34中国传媒大学自然科学版第16卷
参考文献中给出的根系可以看出:对于奇素根. 和偶素根来说,7.不可能是根,所以断言成
立,进而定理在此情形下得证.
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