【doc】平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线

【doc】平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线 平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线 第22卷第4期 2004年12月 佛山科学技术学院(自然科学版) JournalofFoshanUniversity(NaturalScienceEdition) VO1.22NO.4 Dec.2004 文章编号:1008-0171(2004)04-0003-04 平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线 吕岚,谭宜家 (福州大学数学系,福建福州350002) 摘要:研究了平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线的关系,证明了平面曲线的插值抛物线的极限位置(如果存 在)必是该曲线的渐近抛物线. 关键词:曲线;插值抛物线;渐近抛物线;极限 中图分类号:Ol74文献标识码:A l问题与结果 设函数y=f(x)在区间(户,+o.)内有定义,点A(z,厂(z)),A:(z:,厂(z:))和A.(z.,f(x.))是曲线 j,一厂(z)上3个不同的点.那么存在惟一的多项式(z)一6.+6z+6:z满足L(x)一厂.),一1,2,3,其 中b.,b.与bz是常数.称曲线y=bo+6.z+6:z为曲线:厂(z)上经过点A,A:和A.的插值抛物线(注: 当3点A.,A:与A.共线时,此插值抛物线退化成曲线=厂(z)的割线). 设Pz(z)一口o+口-z+口:z是一个多项式.如果lim(Jr(z)一P:(z))一0,则称多项式P:(z)为函数 j,=厂(z)的渐近二次多项式,而相应的曲线j,一日.+日z+日:z称为曲线j,一厂(z)的 渐近抛物线?. 杨延龄L2]研究了平面曲线的割线与渐近线的关系,证明了割线的极限位置(如果存在)是渐近线,凸 函数的渐近线(如果存在)必是割线的极限位置,并提出了如下类似的问题. 考虑平面曲线j,一厂(z),对于任意.27,点A(z,厂(z)),B(z+1,厂(z+1))和c(z+2,厂(z+2))确定一 条抛物线(可能退化为直线),研究它与渐近抛物线的关系. 本文对上述问题进行了探讨,得到如下结论. 定理1设函数j,一厂(z)在区间(户,+cx.)内有定义,且在此区间内任意有限区间上有界,则有 (1)V.270?(户,+o.),经过点A(xo,厂(zo)),B(x.+1,f(x.+1))和C(x.+2,厂(z.+2))的插值抛物 1 线(有时0-3能退化成一条割线)是y=L2(z,z.)一at(x--x.一1)(x--x.一2)厂(Xo)一(z—Xo)(z—Xo一2) 厶 1 (zo+1)+寺(z—z.)(z—z.一1)厂(z.+2);厶 (2)如果li厶(z,zo)一口o+日lx+a2z,其中日.,口1与日2为常数,那么lim(厂(z)一(日.+日1z+ 0一下,一+co azx))一0,即曲线=口o+口z+口:z是曲线一厂(z)的渐近抛物线. 2定理的证明 为了证明定理1,需要下面引理. 收稿日期:2004—07—05 基金项目:福建省教育厅资助项目(JB03056) 作者简介;吕岚(1982一),女,福建罗源人,福州大学硕士研究生. 4佛山科学技术学院(自然科学版)第22卷 引理llla若序列z(=1,2,…)收敛,则=?Xi(=1,2,…)也收敛,且nz—a 引理2?设函数一厂(z)在(户,+co)内有定义,且在此区间内任意有限区间上有界.如果 lim(厂(x+1)一厂(z))存在(有限或无穷大),则lim存在,且li:li(厂(z+1)一 r一?一十^一,一|, 厂(z)). 引理3设函数=厂(z)在(户,+?)内有定义,且lim(厂(z+1)一厂(z))=0,同时li(厂(z)一 f一+?一十? (厂(z+1)-f(x))z)一0.那么lim厂(z)一0. 证明用反证法.假设当z一+?时,厂(z)不趋向于零,那么存在E>O,以及o<z?<zz<…<z,满 足limz=+o.,同时lf(x)l?,.因此,或存在无穷多个下标,使得f(x.)?,;或存在无穷多个下标 ",,使得f(x)?一,.不妨假定为前者,并简单记为f(x)?,,=1,2,…. 对于这个,>O,由lim(厂(z)一(厂(z+1)--f(x))z)一0知,存在X>O,使得当z>时,均有 Jf(z)一(厂(z+1)一厂(z))zl<,/z,(1) 因为limz一+oO,所以存在下标,,使得z,,.>X. 考虑数列{f(x,,.+)},=0,1,2,….由式(1)可得r个不等式 >一 z++1z+ 将上述r个不等式两边同时求和,并整理得 , 2(z+)(z++1)' 士>z,,.十rz 一0,1,2,…,r一1, 瓦E:r2x,于是(+ ,.)'. 宰>一麦?麦(因为几,,.)?c)a(2)——————,/?一瓦瓦囚刀Jz. 另一方面,有(厂(z,,.+r)一f(x,,.))一?(厂(z+)一f(x,,.+i一1)),于是由lim(厂(z+,.一十? 1)--f(x))一0及引理1,有 亭一一li+m(f(,,.+r),,,.+r—1))一., 这与式(2)相矛盾.所以坚厂(z)寻oa证毕. 下面证明定理1. (1)由拉格朗日插值 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 立即可得. 2由于Lz(x,xo)=ao+alx+a2x2~则有 (吉厂(z.)一厂(z.+1)+吉厂(z.+2))一n:, (吉(2z.+3)f(x.),(2x.+2)f(x.+1)+(2z.+1)f(x.+2))一一日.,n一十?\厶』 l{寺(zo+1)(x0+2)f(xo)一zo(zo+2)f(xo+1)+1zo(zo+1)厂(zo+2)I=口o.一十?\厶f 现令g(z)==:厂(),(口.+口zz+口zz),则g(z)在(户,+?)内有定义,且在此区间内任意有限区问上 有界,并由上述3个式子可分别得到 {专g(z),g(x+1)+-g(z+2)):0,(3)一+?\厶J li(寺(2z+3)g(z)一(2z+2)g(x+1)+1(2+1)g(x+2)I一0,(4)十\J liI寺(z+1)(z+2)g(z),x(x+2)g(x+1)+-~x(x+1)g(x+2)l=0.(5),+?\厶,J,一 下证lil=ng(z)一o.令^(z)=g(z+1)--g(x),则式(3)等价于lim告(^(z+1)--h())=o,即I''十? 第4期吕岚等:平面曲线的插值抛物线与渐近抛物线5 lira(^(z+1)一h(z))一0.(6) 因为式(4)可化为 , lirai(g(z)一2g(z+1)+g(z+2))z+(g(z)一g(z+1))+ (专g(z)一g(z+1)+专g(z+2)))一0. 所以由式(3)及h(z)一g(z+1)--g(x)知,式(4)等价于 lim((^(z+1)一h(z))z,h(z))一0.(7) 应用引理3,及式(6)与(7),有lirah(z)一0.即 lim(g(z+1)一g(z))一0.(8) 由引理3与式(8),若能证明lim(g(z)一(g(z+1)--g(x))z)一0,则必有limg(z):0,从而定理 1的(2)得证. 假设当z一+c×3时,g(z)一(g(z+1)--g(x))z不趋向于零,存在e>0及O<x<z<…<z,满足 lira . (z)一+c×3,同时lg(x)一(g(z+1)--g(x))zl?e.因此,或存在无穷多个下标n,使得g(L) 一 (g(L+1)一g())z?e;或存在无穷多个下标n,f~g(xv)一(g(十1)一g(X~j))L?一e.假定为 前者,简单记为g(x)一(g(z+1)--g(x))z?e,即 一 ?z — z十l.(9) 对于这个e>0,由式(5)知,存在X>O,当x>X时,均有 i专cz+cz+2gcz一zcz十2gcz++zcz+gcz+2f<?,即 l一1+2l<2x下12.(10)Izz+'z+I,(z+)(z+).w 因为一 lira + xn=+o.,所以存在下标,使得z>x. 考虑数列{g(z+z)),/=0,1,2,….由式(10)可得r个不等式 f曼兰竺?一曼??1一f曼兰竺??一曼兰竺??1/\ z+zz+z+1』\z+z+1z+z+2J\ 干?干一{((—)一 f1 l币一 即得 )),叭,2,…,r一, (I一2卜三4(I一南)>I———————————————————,}一一I,一————————=—一一I\\z+z+z+z+』Iz++z++』/ (一)_{(一)'z-o,11,…一.I—————————?一,l一一I一一—————__———一I,一nn..1\+zz+z+1/4Iz+zz+z+』,'一u'…'r—l. 将上述r个不等式两边同时求和,再整理得 (r一r1)一而>lz十z++/4(z+])(z一+r+1,,一 fg(x)g(x+1)\ lzz+1/4x(z+r). 现令一一'贝lJ由)知'?而,同时1)等价于 丝?._ Cr,H(x)e,.一 41=F-1>一4x乏:_=F.z+r(z+)(z+r+),一z,..(. (11) 6佛山科学技术学院(自然科学版)第22卷 将上述不等式两边同乘以(z+r),并整理得 字>+4"T-甍一忐?一一T.=—————?—_=?I_l.l_,.,/,.ZmZ—I上z—I—r,—r上qz—I +4琵一忐c因为?.z,,.(z一.+1)'(z一.+1)(z一.+,.+1)4z一.…z一.zm(zm十1). 因为南>?而+l_币,所以 竺?二竺\!!——————一/. +1)'2x(z+1)' (z,,.+r)ee..........————--------——————------—-————------一:=: 4(z+1)(z+r+1)4x e 4x,,.(z+1). 另一方面,因为 肌+一肌一(一)cz+一(一一 (g(z+1)一g(z))一(g(z+2)一g(x+1))+ 而g(z)在(p,+..)内任意有限区间上有界,所以由式(8)及引理2,有 lim(H(z+1)一H(z))一lim(g(z+1)一g(z))+ g(z+1))+一一o. 一十?山I一十?山l1 g(z+2)g(z+1) z+2z+1' lim(g(z+2)一 — +十? (12) (13) 又因为l ,. (H(x+r)一H(x))一1?(H(z+)一H(x+一1)),于是由式(13)及引理1,有 i=1 lim(H(z,,.+r)一H(z))一lim(H(z一.+r)一H(z一.+r一1))一0. r—++?7r—..+? 这与式(12)矛盾,所以lim(g(z)一(g(z+1))一g(z))z)一0.从而limg(z)一0.证毕. 定理1证明了平面曲线的插值抛物线的极限位置(如果存在)必定是该曲线的渐近抛物线.反过来, 平面曲线的渐近抛物线(如果存在)是否一定为插值抛物线的极限位置?这个问题有待进一步探讨. 参考文献: [1]张君施.密切多项式与渐近多项式EJ].大学数学,2003,19(1);103—107. [2]杨延龄.平面曲线的割线与渐近线EJ].北京工商大学(自然科学版),2002,20(3):57—58 [3]吉林大学数学系.数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 (中册)[M].北京:人民教育出版社,1978.16—18. [4]BII吉米多维奇.数学分析习题集题解(一)[M-I.济南;山东科学技术出版 社,2003.321—323 Interp0lati0nparabolasand theasymptoticparabolaofaplanecurve LULan,TANYi—jia (DepartmentofMathematics,FuzhouUniversity,Fuzhou350002,China) Abstract:Inthispaper,wediscusstherelationbetweeninterpolationparabolasandtheasymptotic parabolaofaplanecurve,andprovethatifafamilyofinterpolationparabolasofaplanecurvehasa limitcurvethenthislimitingcurvemustbetheasymptoticparabolaofthiscurve. Keywords:curve;interpolationparabola;asymptoticparabola;limit