二次型方法求解坐标与动量耦合的n维谐振子能量本征值

二次型方法求解坐标与动量耦合的n维谐振子能量本征值 二次型方法求解坐标与动量耦合的n维谐 振子能量本征值 第30卷第3期 2011年3月 大学物理 C0LLEGEPHYSICS Vo1.30NO.3 Mar.2O11 二次型方法求解坐标与动量耦合的维谐振子能量本征值 张仲,卢纪材,吴 (1.济南大学理学院,山东济南250022; 献,张海鹏,金毅 2.营口职业技术学院,辽宁营口115000) 摘要:借助于数学上的二次型理论,给出一种求解n维坐标与动量耦合的谐振子的普遍方法,并且运用该方法求出了二 维和三维坐标与动量耦合的本征值.该方法给出的结论与其他方法相同,说明该方法的正确性,并且由于该方法不需要求出 变换矩阵的具体形式,使得运用此方法求解具有对称形式的哈密顿量的本征值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 变得简单,易计算出结果.该方法具有普 遍性,是一种十分有效的代数方法. 关键词:量子光学;n维耦合谐振子;二次型;坐标与动量耦合;能量本征值;对角化 中图分类号:O413.1文献标识码:A文章编号:1000.0712(2011)03—0011—03 诸多学科(如量子力学,核物理,分子光谱学 等)的许多物理问题的解决都依赖于耦合谐振子的 求解,因此研究耦合谐振子的解也就显得十分 必要. 文献[2]一文献[5]研究了二维耦合谐振子能 量本征值问题,然而在实际情况中,往往还要处理多 维坐标与动量耦合谐振子问题.文献[6]用量子变 换理论,求出了各向异性n维耦合谐振子的精确能 谱,但它只是涉及到坐标耦合,未提及坐标与动量之 间的耦合问题.尽管有些文献涉及到二维及三维坐 标与动量耦合谐振子能量本征值问题,其涉及的知 识往往过于高深,不太容易理解和掌握.为不失一般 性,本文将采用数学上较为常见的二次型理论构造 一 个变换矩阵,使哈密顿量对角化,从而求解出包含 坐标与动量耦合的各向异性n维谐振子的本征值. 在最后,应用此方法求解了二维与三维坐标与动量 耦合谐振子的本征值,并且得到了满意的解. 1系统的哈密顿量 本文给出坐标与动量耦合的n维耦合谐振子的 哈密顿量为 ()? H[+1m曼]+? 其中为坐标与动最耦合系数.,p,满足算符对易 关系: [,P,]=ih8(i,=1,2,3,…)(2) 为了便于求解,我们将哈密顿量写为如下形式: = ?(???【Ac 其中,G:[],A= m0) ,n? .B=C= ^ pl ^ : ? ^ ^ 1 ^ : ? ^ : Ox(3) 0 ,0 :… ? ,J… ,D= … … . . 0 根据式(1)可知:矩阵G是2n阶的实对称矩 阵.由文献[7]上的数学知识可知,G不仅可以相似 对角化,而且可以要求变换矩阵为正交阵. 2耦合谐振子本征值的求解 实对称矩阵G的特征方程为: GX=AX 即lG—AEl=0(4) 其中A为G的特征值,上式有非零解的充分必要条 件是系数行列式为零,即 收稿日期:2010—09—06;修回日期:2o10-09—19 作者简介:张仲(1960一),男,山东潍坊人,济南大学理学院教授,主要从事量子力学 和数学物理方法课程教学工作和理论物理与材料性能 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 征研究工作. 大学物理第30卷 即 一 , ,孔 C A—AE曰f:0(5)化处理:l=(5)CD—AEI 1 ——一 A m =0 (6) {【m?2+一?4cn一+(m?2一)】c7 ?[m2++?4cn一+(m2一)】c8 (z.五+n:声+…+?(9) "/7=【00…0bb2…b】= b.xl+62;2+…+6;(10) 【0FJ … 叠] 等价于blin1J+62..…口w=6(12) 很明显[,=[西,而=0(13) PGP= A 于是哈密顿量可以化为 :了 1?n(A+A) 再令 (15) (16) A=?,A,_mtoy2 这样H就化为 詹=耋(羔2mr+1m)(17) 此时构造升降算符: = ?m2't}ioi\[Or'i^,/2}i\J 其共轭算符: ?去)^\/一J 根据式(13),(14)我们可以得到: [&,&]=8,,&]=[占,]=0(18) 这样哈密顿量化为 = (占&+1)卉?:(19) = &&为体系的粒子数算符,它的本征值为n,于 是就得到了n维坐标与动量耦合的谐振子能量本 征谱 H ,1, E_-?(ni+?1}i,(i=1,2,3…n,n=1,2,3…)i三l,厶, (2o) 需要注意的是,对矩阵P的限制条件式(12)在 本质上与量子线性变换中为了保证变换后对易 关系不发生变化而提出的条件是一致的.事实上我 们没有给出更为具体的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 来求解变换矩阵JP,只 是给出了它应该满足的一个重要条件式(11).当 然,借助于李代数和群论等有关理论,完全可以严格 证明变换矩阵的存在性,并且根据一系列物理条件 还可以具体求出这样的一个变换矩阵.事实上,可以 不必关心矩阵P的具体求法,因为最终要求解的是 第3期张仲,等:二次型方法求解坐标与动量耦合的n维谐振子能量本征值l3 耦合谐振子的本征值,至于变换后的坐标和动量的 具体形式不需要知道,只要求解出需要方程的本征 值即可. 从上面讨论可见,通过运用数学上二次型正交 化理论,可以成功解决n维坐标与动量耦合谐振子 的哈密顿量对角化问题,并且精确的求得本征值,可 以看出该方法在解决此类问题中具有普遍性,并且 便于计算出结果. 3应用举例 二维和三维坐标与动量耦合的谐振子在实际应 用中有重要的意义,但是真正对这个问题进行本征 值求解的文献并不是很多.现在我们通过上面介绍 的方法,计算三维坐标与动量耦合的谐振子的本征 值,并对二维坐标与动量耦合谐振子物理实例问题 进行求解. 3.1三维坐标与动量耦合的谐振子 取哈密顿量为如下形式: = (+?未(P2+P3+P,)(21) 其中,仍为坐标与动量的耦合系数,将其写成如下 形式: : (. f00 lm 求矩阵c的特征值: C—AEl= 00 m 00 m 00 0 0 ^ P ^ P2 ^ P3 ^ 1 ^ X2 ^ X3 1T ,J 0,J (22) =0 (23) 解得 Al=A2:A3=A一 ???海一圳, A:A=AA+= ?++?(一圳, 3.2应用例题 已知二维坐标与动量耦合谐振子的哈密顿量为 -(++(?+1)+4(:) 求其本征值.按照上述方法,将哈密顿量写为如下 形式. :51- , p 004 m 040 m 04m0 400m 首先求矩阵C的特征值,令: C—A层l= 一 1 一 A004 m ^ P1 ^ P2 ^ l ^ 2 0一A40 ,n 04m一A0 400m一A 解得 A-:A:=A一 = ?[m?2+一?64+(m2一)] A=A=A+=丢[,札2++?64+(m2一)】 由此方法得出的结论与已有文献给出的结论相同, 并比已有文献计算简便. 4结论 一 维线性谐振子可以通过求解薛定谔方程得到 它的本征值,但是对于坐标与动量耦合谐振子问题, 特别是多维情况,是很难通过求解波动方程得出它 的本征值,本文借助于坐标与动量的对易关系以及 二次型正交化理论使体系的哈密顿量对角化,从而 求得耦合谐振子的本证值.对于简单的二维情况,之 前有讨论过,但是方法不是很容易理解,而且涉及理 f下转18页) 000 00?0 ?00 0一m0 一m00 ))LL 000 00 "00砌00 一m0 l8大学物理第3O卷 Diag0nalizati0nofHamiltonianforthree-dimensional anisotropiccoupledharmonicoscillator FENGJin,LINGRui—liang (1.SchoolofMathematicsandStatistics,ChangshuInstituteofTechnology,Changshu,Jiang su215500,China; 2.SchoolofPhysics&ElectronicEngineering,ChangshuInstituteofTechnology,Chan gshu,Jiangsu215500,China) Abstract:Bymeansofthemensurabilityofphysicalquantityandthequadraticformtheory,ag eneralmethod ofdiagonalizationofHamihonianforthree-dimensionalanisotropiccoupledharmonicoscil latorisproposed,andthe Hamihoniandiagonalstandardformisgiven. Keywords:anisotropic;coupledharmonicoscillator;Hamihonian;quadraticformtheory;di agonalization (上接13贝) 论太深,本文给出的方法道理简单明确,不需要太深 的理论知识,并且具有普遍性,有一定的价值. 参考文献: [i]李洪奇.求解动量耦合下两谐振子体系的能量本征值 问题[J].聊城大学,2004,17(3):27—28. [2]徐世民.利用二次型理论精确求解双摸双耦合谐振子 的能谱[J].聊城大学,2006,19(3):42—44. [3]李洪奇.一般双耦合非全同玻色谐振子能量本征值的 精确解[J].曲阜师范大学,2005,31(1):58—60. [4]蒋继建,李洪奇,李传安.利用表象变换精确求解最一 [5] [6] [7] [8] 般双耦合谐振子的能量本征值[J].大学物理,2005, 24(6):36—37. 徐秀玮,郭春,迟永江,等.二维耦合量子谐振子的本 征值和本征函数[J].大学物理.2006,25(9):26—27. 逯怀新,张永德.各向异性/Z模耦合谐振子的精确求 解[J].大学物理,2000,19(5):19—20. 苗丽安.线性代教与空间解析几何 于朝霞,张苏梅, [M].北京:中国科学技术出版,2003:188—197. 郁司夏,逯怀新.量子变换理论及其应用概述[J].大 学物理,2004,23(10):3—7. Aquadraticapproachton-dimensionalharmonicoscillatorenergy eigenvalueofcoordinateandmomentumcoupling ZHANGZhong,LUji—cai,WUXian,ZHANGHai—kun,JINYi (1.ScienceSchool,UniversityofJinan,Jinan,Shandong250022,China; 2.YingkouVocationalandTechnicalCollege,Yingkou,Liaoning115000,China) Abstract:Bymeansofquadratictheory,wepresentageneralmethodtosolvetheenergyeigenv alueofcoordi— nateandmomentumcouplingofn-dimensionalharmonicoscillator.Toapplythismethodtos olvetheenergyeigen— valueoftwo-dimensionalandthree-dimensionalcouplingharmonicoscillator,ourconclusi oniSthesamewiththe others.Sincethepresentmethoddoesnotrequireaspecificformoftransformationmatrix,thismakesitbesimple tosolvetheeigenvalueofasymmetricalformHamiltonandeasytocalculatetheresults.Thismethodisauniversal andveryeffectivealgebraicmethod. Keywords:quantumoptics;n— dimensionalcoupledharmonicoscillators;quadratictheory;coordinateand momentutrlcoupling;energyeigenvalue;diagonalization