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上海高中数学复习专题讲座:关于求圆锥曲线方程的方法.doc

上海高中数学复习专题讲座:关于求圆锥曲线方程的方法

之风晓青
2019-05-25 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《上海高中数学复习专题讲座:关于求圆锥曲线方程的方法doc》,可适用于综合领域

高中数学复习专题讲座:关于求圆锥曲线方程的方法高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力解决好这类问题除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题可采用“先定形后定式再定量”的步骤 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式根据“形”设方程的形式注意曲线系方程的应用如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时可设方程为mxny=(m>,n>) 定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解例某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面其中A、A′是双曲线的顶点C、C′是冷却塔上口直径的两个端点B、B′是下底直径的两个端点已知AA′=mCC′=m,BB′=m,塔高m 建立坐标系并写出该双曲线方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程点在曲线上点的坐标适合方程积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 解 如图建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上AA′的中点为坐标原点OCC′与BB′平行于x轴 设双曲线方程为=(a>,b>),则a=AA′=又设B(,y),C(,x)因为点B、C在双曲线上所以有由题意知y-y=,由以上三式得 y=-,y=,b=故双曲线方程为= 例过点()的直线l与中心在原点焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点直线y=x过线段AB的中点同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称试求直线l与椭圆C的方程 命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法设计新颖基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程如何处理直线与圆锥曲线问题对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题解法一将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二用韦达定理 解法一 由e=,得,从而a=b,c=b 设椭圆方程为xy=b,A(x,y),B(x,y)在椭圆上 则xy=b,xy=b,两式相减得(x-x)(y-y)=,设AB中点为(x,y),则kAB=-,又(x,y)在直线y=x上y=x,于是-=-,kAB=-,设l的方程为y=-x 右焦点(b,)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(,-b)在椭圆上得(-b)=b,b= ∴所求椭圆C的方程为=,l的方程为y=-x 解法二 由e=,从而a=b,c=b 设椭圆C的方程为xy=b,l的方程为y=k(x-),将l的方程代入C的方程得(k)x-kxk-b=,则xx=,yy=k(x-)k(x-)=k(xx)-k=- 直线l y=x过AB的中点(),则,解得k=或k=- 若k=,则l的方程为y=,焦点F(c,)关于直线l的对称点就是F点本身不能在椭圆C上所以k=舍去从而k=-直线l的方程为y=-(x-),即y=-x,以下同解法一 例如图已知△POP的面积为P为线段PP的一个三等分点求以直线OP、OP为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力 知识依托 定比分点坐标公式三角形的面积公式以及点在曲线上点的坐标适合方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键正确地表示出△POP的面积是学生感到困难的 技巧与方法 利用点P在曲线上和△POP的面积建立关于参数a、b的两个方程从而求出a、b的值 解 以O为原点∠POP的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系 设双曲线方程为=(a>,b>)由e=得 ∴两渐近线OP、OP方程分别为y=x和y=-x设点P(x,x),P(x,-x)(x>,x>),则由点P分所成的比λ==,得P点坐标为(),又点P在双曲线=上所以=,即(xx)-(x-x)=a,整理得xx=a      ①即xx=             ②由①、②得a=,b=故双曲线方程为= 例双曲线=(b∈N)的两个焦点F、FP为双曲线上一点|OP|<,|PF|,|FF|,|PF|成等比数列则b= 解析 设F(-c,)、F(c,)、P(x,y),则|PF||PF|=(|PO||FO|)<(c),即|PF||PF|<c,又∵|PF||PF|=(|PF|-|PF|)|PF|·|PF|,依双曲线定义有|PF|-|PF|=,依已知条件有|PF|·|PF|=|FF|=c∴c<c,∴c<,又∵c=b<,∴b<,∴b= 答案 学生巩固练习 已知直线xy-=与圆xyx-ym=相交于P、Q两点O为坐标原点若OP⊥OQ则m等于(  )A           B -        C         D - 中心在原点焦点在坐标为(±)的椭圆被直线x-y-=截得的弦的中点的横坐标为则椭圆方程为(  ) 直线l的方程为y=x,在l上任取一点P若过点P且以双曲线x-y=的焦点作椭圆的焦点那么具有最短长轴的椭圆方程为  已知圆过点P(-)、Q(-)两点且在y轴上截得的线段长为则该圆的方程为  已知椭圆的中心在坐标原点焦点在x轴上它的一个焦点为FM是椭圆上的任意点|MF|的最大值和最小值的几何平均数为椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M和M且|MM|=试求椭圆的方程  某抛物线形拱桥跨度是米拱高米在建桥时每隔米需用一支柱支撑求其中最长的支柱的长  已知圆C的方程为(x-)(y-)=,椭圆C的方程为=(a>b>)C的离心率为如果C与C相交于A、B两点且线段AB恰为圆C的直径求直线AB的方程和椭圆C的方程 参考答案: 解析 将直线方程变为x=-y,代入圆的方程xyx-ym=,得(-y)y(-y)m= 整理得y-ym=,设P(x,y)、Q(x,y)则yy=,yy= 又∵P、Q在直线x=-y上∴xx=(-y)(-y)=yy-(yy)故yyxx=yy-(yy)=m-=故m= 答案 A 解析 由题意可设椭圆方程为 =,且a=b,即方程为= 将直线x-y-=代入整理成关于x的二次方程 由xx=可求得b=,a= 答案 C 解析 所求椭圆的焦点为F(-,),F(,),a=|PF||PF| 欲使a最小只需在直线l上找一点P 使|PF||PF|最小利用对称性可解 答案 = 解析 设所求圆的方程为(x-a)(y-b)=r则有 由此可写所求圆的方程 答案 xy-x-=或xy-x-y= 解 |MF|max=ac,|MF|min=a-c,则(ac)(a-c)=a-c=b,∴b=,设椭圆方程为        ①设过M和M的直线方程为y=-xm      ②将②代入①得 (a)x-amxam-a=    ③设M(x,y)、M(x,y),MM的中点为(x,y),则x=(xx)=,y=-xm= 代入y=x,得,由于a>,∴m=,∴由③知xx=,xx=-,又|MM|=,代入xx,xx可解a=,故所求椭圆方程为 =  解 以拱顶为原点水平线为x轴建立坐标系如图由题意知|AB|=|OM|=A、B坐标分别为(--)、(-)设抛物线方程为x=-py,将A点坐标代入得=-p×(-),解得p= ,于是抛物线方程为x=-y 由题意知E点坐标为(-)E′点横坐标也为将代入得y=- ,从而|EE′|=(- )-(-)=  故最长支柱长应为 米  解 由e=,可设椭圆方程为=,又设A(x,y)、B(x,y),则xx=,yy=,又=,两式相减得=,即(xx)(x-x)(yy)(y-y)= 化简得=-,故直线AB的方程为y=-x,代入椭圆方程得x-x-b= 有Δ=b->,又|AB|=,得解得b= 故所求椭圆方程为= 课前后备注 

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