多边形面积公式与错排原理解析

多边形面积公式与错排原理解析多边形面积公式与错排原理解析 1.多面积公式: 正多边形内角计算公式与半径无关要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2) 半径为R 圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方外切三角形面积公式:3倍根号3 R方外切正方形:4R方内接正方形:2R方五边形以上的就分割成等边三角形再算内角和公式——(n-2)*180` 我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为 |x1 x2 x3| S(A,B,C) = |y1 y2 y3|...

多边形面积公式与错排原理解析 1.多面积公式: 正多边形内角计算公式与半径无关要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2) 半径为R 圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方外切三角形面积公式:3倍根号3 R方外切正方形:4R方内接正方形:2R方五边形以上的就分割成等边三角形再算内角和公式——(n-2)*180` 我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为 |x1 x2 x3| S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5 |1 1 1 | (当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的) 对多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)，设平面上有任意的一点P，则有: S(A1,A2,A3，、、、,An) = abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1)) ，0)时就是下面的了: P是可以取任意的一点，用(0 设点顺序 (x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn) 则面积等于 |x1 y1| |x2 y2| |xn yn| 0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | ) |x2 y2| |x3 y3| |x1 y1| 其中 |x1 y1| | |=x1*y2-y1*x2 |x2 y2| 因此面积公式展开为: |x1 y1| |x2 y2| |xn yn| 0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1- yn*x1) |x2 y2| |x3 y3| |x1 y1| 2.错排递推的方法推导错排公式当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示，那么M (n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推. ，一共有n-1种方法; 第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k 第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况?把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;?第k个元素不把它放到位置 n，这时，对于这n-1个元素，有M(n-1)种方法; 综上得到 M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)] 特殊地，M?=0,M?=1 下面通过这个递推关系推导通项公式: 为方便起见，设M(k)=k!N(k),(k=1,2，…，n) 则N?=0,N?=1/2 n>=3时，n!N(n)=(n-1)(n-1)～N(n-1)+(n-1)～N(n-2) 即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2) 于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3) [N?-N?]=(-1)^n/n! 因此 N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)～ N?-N?=(-1)^2/2! 相加，可得 N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)～+(-1)^n/n! 因此 M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)～+(-1)^n/n!] 可以得到错排公式为M(n)=n～(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!) 容斥原理正整数1、2、3、……、n的全排列有n～种，其中第k位是k的排列有(n-1)～，当k取1、2、3 、……、n时，共有n*(n-1)～种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上;在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除;……;继续这一过程，得到错排的排列种数为 M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1)^k*n!/k! 即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!] 注:sigma表示连加符号，(k=2~n)是连加的范围

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