§12.4 离散型随机变量及其分布列
2014高考会这样考
1.考查离散型随机变量及其分布列的概念；2.考查两点分布和超几何分布的简单应用．
复习备考要这样做
1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；2.掌握两点分布与超几何分布的特点，并会应用．
1． 离散型随机变量的分布列
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：
①pi__≥__0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2． 如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
型一 离散型随机变量的分布列的性质
例1
设随机变量ξ的分布列为P
＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则常数a的值为________，P
＝________.
思维启迪：直接根据分布列的性质求解．
答案
解析 随机变量ξ的分布列为
ξ
1
P
a
2a
3a
4a
5a
由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝
.
P
＝P
＋P
＋P(ξ＝1)
＝3a＋4a＋5a＝12a＝
.
探究提高 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数c＝________，P(X＝1)＝________.
答案
解析 由离散型随机变量分布列的性质可知：
，解得c＝
.
P(X＝1)＝3－8×
＝
.
题型二 离散型随机变量的分布列的求法及应用
例2
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值，理清随机变量取值时的概率．
解 (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝
＝0.63，P(ξ＝2)＝
＝0.25，P(ξ＝1)＝
＝0.1，P(ξ＝－2)＝
＝0.02.
故ξ的分布列为
ξ
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.
由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
探究提高 (1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求E(X)，D(X)即可．
(2011·湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布列和数学期望．
解 (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝
＋
＝
.
(2)由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝
＝
；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝
＋
＋
＝
.
所以X的概率分布列为
浙公网安备 33021202002483