2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择
题
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）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求
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的.
1.复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若集合A=｛x∈R|ax2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a=
A.4 B.2 C.0 D.0或4
3.
A.
B.
C.
D.
4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是
A.
B.
C.
D.
5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。利用下面的随机数
表
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选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A.08 B.07 C.02 D.01
6. 下列选项中，使不等式x＜
＜
成立的x的取值范围是
A.（
，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+
）
7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是
A.S＜8 B. S＜9 C. S＜10 D. S＜11
8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为
A.200+9π B. 200+18π
C. 140+9π D. 140+18π
9. 已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=
A.2:
B.1:2
C. 1:
D. 1:3
10.如图。已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤x≤1，单位：s）
的函数y=f（t）的图像大致为
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若曲线
（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 。
12.某住宅小区
计划
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植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 。
13设f（x）=
sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是 。
14.若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 。
15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分） 正项数列｛an｝满足
。
（1） 求数列｛an｝的通项公式an；
（2） 令
，求数列｛bn｝的前n项和Tn。
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
（1） 求证：a，b，c成等差数列；
（2） 若C=
，求
的值。
18．（本小题满分12分）
小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋
（1） 写出数量积X的所有可能取值
（2） 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率
19．（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=
，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1）
证明：BE⊥平面BB1C1C;
（2） 求点B1 到平面EA1C1 的距离
20.（本小题满分13分）
椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率
，a+b=3
(1) 求椭圆C的方程；
(2)
如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值。
21．（本小题满分14分）
设函数
a 为 常数且a∈（0，1）.
（1） 当a=
时，求f（f（
））；
（2） 若x0满足f（f（x0））= x0,但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，证明函数
有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
（3） 对于（2）中x1，x2，设A（x1,f（f（x1））），B（x2,f（f（x2）））,C(a2,0)，记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[
,
]上的最大值和最小值。
参考答案及解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1.[答案]：D
[解析]：Z＝-2i-i2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限
2.[答案]：A
[解析]：
3. [答案]：C
[解析]：
4. [答案]：C
[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C
5.[答案]：D
[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D
6. [答案]：A
[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A。
7.[答案]：B
[解析]：依次运行i=1,2,3,4,时s=0，5，8，9若输出i=4,则表示s=8时运行是，s=9运行否，故选B
8.[答案]：A
[解析]：还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱。
9. [答案]：C
[解析]：依题意可得AF所在直线方程为
代入x2=4y得
，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1:
10.[答案]：B
[解析]：法1：取特值x=0时t=0,则y=1排除A，D，取
时
,选B
法2：依题意可知
，则
选B
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.[答案]：2
[解析]：
，则
，故切线方程
过点（1，2）解得
12.[答案]：6
[解析]：直接计算2+4+8+16+32+64＝128得n=6, 或解
得n为6.
13[答案]：
[解析]：
得
故
14.[答案]：
[解析]：设圆心坐标为（x，y）,半径为r，则x=2,又
故r=
，则
。
15.[答案]：4
[解析]：设CD的中点为M，连结EM，FM易证平面EFM
平面α，则EF与平面α平行，不会相交，故EF只与其余四个面相交。
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
[解析]：
由于｛an｝是正项数列，则
。
（2）由（1）知
，故
17.（本小题满分12分）
[解析]：（1）由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin2B
因为sinB不为0，所以sinA+sinC=2sinB再由正弦定理得a+c=2b,所以a，b，c成等差数列
（2）由余弦定理知
得
化简得
18．（本小题满分12分）
解：（1） x 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1。
（2）数量积为-2的只有
一种
数量积为-1的有
，
六种
数量积为0的有
四种
数量积为1的有
四种
故所有可能的情况共有15种。
所以小波去下棋的概率为
因为去唱歌的概率为
，所以小波不去唱歌的概率
19．（本小题满分12分）
解.（1）证明：过B作CD的垂线交CD于F，则
在
在
，故
由
（2）
，
同理，
因此
。设点B1到平面
的距离为d，则
，从而
20.（本小题满分13分）
所以
再由a+b=3得a=2,b=1,
将
代入
，解得
又直线AD的方程为
与
联立解得
由
三点共线可角得
所以MN的分斜率为m=
，则
（定值）
21．（本小题满分14分）
21.解：（1）当
时，
（
当
时，由
解得x=0,由于f（0）=0,故x=0不是f（x）的二阶周期点；
当
时由
解得
因
故
是f（x）的二阶周期点；
当
时，由
解得
因
故
不是f（x）的二阶周期点；
当
时，
解得
因
故
是f（x）的二阶周期点。
因此，函数
有且仅有两个二阶周期点，
，
。
（3）由（2）得
则
因为a在[
,
]内，故
，则
故
浙公网安备 33021202002483