初等行变换[最新]
初等行变换
一、基本理论
设为矩阵, 可对实施以下三类初等行变换,将化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵.AAAmn,
i的第行与第行交换位置; (1)将Aj
,i(2)将的第行乘以非零常数; A
,i(3)将的第行的倍加到第行. Aj
行阶梯矩阵: 若A的每个非零行上方没有非零行, 且每个非零行从左到右第一个非零元所在列aii,j
号满足. iii,,,?12r
最简行阶梯矩阵: 若行阶梯矩阵A的每个阶梯元为1,且阶梯元所在列的其余元素都为零,则称A为
最简行阶梯矩阵.
二、Matlab实现
由于需要反复使用三种初等行变换,所以将它们写成函数文件,方便以后调用.
1. 将第i行和第j行交换位置 编写文件rowswap.m如下: function B=rowswap(A,i,j) B=A;
B(i,:)=A(j,:);
B(j,:)=A(i,:);
end
2. 将第i行乘以常数c
编写文件rowscale.m如下: function B=rowscale(A,i,c) B=A;
B(i,:)=c*A(i,:);
end
3. 将第i行的c倍加到第j行 编写文件rowcomb.m如下: function B=rowcomb(A,i,j,c) B=A;
B(j,:)=c*A(i,:)+A(j,:); end
将以上三个函数文件保存到某个目录下, 例如 D:\myfunc下,然后在Matlab的File菜单, Set Path,
Add Folder,将D:\myfunc 添加到 Matlab 的搜索路径, Save, Close. 即可在Matlab 中调用这三个函数.
三、例子
111,,
,,A,421例. 将用初等行变换化为行阶梯矩阵和最简行阶梯矩阵. ,,,,931,,
解. 生成矩阵 A
A=sym('[1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]')
A =
[ 1, 1, 1]
[ 4, 2, 1]
[ 9, 3, 1]
将的第1行的(-4)倍加到第2行,结果保存到矩阵: AB
B=rowcomb(A, 1, 2, -4)
B =
[ 1, 1, 1]
[ 0, -2, -3]
[ 9, 3, 1]
BB将的第1行的(-9)倍加到第3行,结果仍保存到矩阵
B=rowcomb(B, 1, 3, -9)
B =
[ 1, 1, 1]
[ 0, -2, -3]
[ 0, -6, -8]
B将的第2行的(-3)倍加到第3行 B=rowcomb(B, 2, 3, -3)
B =
[ 1, 1, 1]
[ 0, -2, -3]
[ 0, 0, 1]
AB已经为行阶梯矩阵. 即可通过初等行变换化成行阶梯矩阵
111,,
,,023,, ,,,,001,,
B继续将化成最简行阶梯矩阵.
将第3行的3倍加到第2行 B=rowcomb(B,3,2,3)
B =
[ 1, 1, 1]
[ 0, -2, 0]
[ 0, 0, 1]
将第3行的(-1)倍加到第1行
B=rowcomb(B,3,1,-1)
B =
[ 1, 1, 0]
[ 0, -2, 0]
[ 0, 0, 1]
将第2行乘以(-1/2)倍
B=rowscale(B,2,-1/2)
B =
[ 1, 1, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
将第2行的(-1)倍加到第1行 B=rowcomb(B,2,1,-1)
B =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
AB已经为最简行阶梯矩阵. 即可通过初等行变换化成如下最简行阶梯矩阵
100,,
,,010 ,,,,001,,
A注:也可直接调用Matlab函数 rref(A), 直接将化成最简行阶梯矩阵
R=rref(A)
R =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
四、练习
A(1)通过初等行变换将下面的矩阵化为行阶梯矩阵及最简行阶梯矩阵.
234,,,,
,,A,125 ,,,,3615,,
A(2)通过初等行变换将下面的矩阵化为行阶梯矩阵及最简行阶梯矩阵.
21112,,,,
,,11214,,,A,,,46224,,
,,36979,,,,
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