动力系统简介文献综述

动力系统简介文献综述 文献综述 动力系统简介 前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点) 本文给出动力系统的相关概念,了解动力系统国内外的研究动态和最新成果,动力系统的应用现状;并对动力系统的性质加以总结。 动力系统就最广泛的意义来说是一门研究系统演化规律的数学学科。这里,演化的直接含义是就时间而言。因此,动力系统又被简单地称为时间的数学。时间是连续的,比如经典的微分方程定性论;也可以是离散的,比如迭代论。演化的进一步的含义是就系统空间而言,比如向量场的扰动和映射的扰动。动力系统是属于基础数学,处于微分方程和拓扑学的一个交汇点。同时,动力系统与物理、力学甚至是生物学、经济学都有着密切的关系,与工程技术的许多方面是互相渗透的。 随着现代科学技术的飞速发展,数学正日益广泛地应用于各种科技和生产领域,并建立了许多数学模型来描述各种现实客体。这其中的一个中心问题便是研究系统的性质,以及研究系统能够稳定地起作用的条件,这就需要我们去学习和研究两种最常见的稳定性:即Lyapunov稳定性和实用稳定性。在近十几年来人工神经网络的理论和应用的研究,形成了世界性的热潮,其中稳定性就扮演了重要的角色。 由于大量的工程系统都含有时滞,时滞的存在是系统不稳定的一个重要因素,因而时滞系统的研究已成为控制理论研究的热门课题。到目前为止,具有时滞的线性区间动力系统的鲁棒稳定性的讨论多数借助于正定矩阵、膨矩阵的性质或微分不等式做工 具。 二、主体部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述) 动力系统的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体的流动。在常微分方程发展早期,牛顿、莱不尼兹、欧拉、伯努里家族等发现了许多通过初等函数或他们的积分表达式等方法来求常微分方程的通解。但是,Liouville 在1841年证明了大多数微分方程都不能求得显式解。因而动力系统的历史一般可以追溯到19世纪末法国大数学家Henri Poincaré创立的微分方程定性论,或者可以称为微分方程的几何理论。其精神是不通过微分方程的显式解而直接研究解得几何和拓扑性质。这是由于已经知道的大多数微分方程都不可能求出显式解。20世纪早期Birkhoff关于拓扑动力系统的公理化式的工作为这一学科建立了大范围的理论框架。这使得动力系统的含义更为广泛,可以不一定由微分方程产生。经过了几十年相对寂静的时期,从20世纪60年代开始,动力系统,尤其是与计算机迭代直接相关的离散时间的动力系统,迅速活跃起来。新的研究方向相继产生,形成了各具实力的美国学派、前苏联学派、欧洲学派、巴西学派以及廖山涛先生独树一帜的理论为代表的中国学派。经过40多年的迅速发展,动力系统前进的势头,越来越生机勃勃。 今天的动力系统大致有微分动力系统、Hamilton动力系统、拓扑动力系统、复动力系统、遍历论、随机动力系统等若干方向。其界限并不严格,相互交叉很多。微分动力系统研究一般的可微系统。它的发端是60年代初兴起的结构稳定性研究。所谓的结构稳定性是说系统的整体拓扑在可微扰动下保持不变,这显然是一恢弘的概念。其研究产生了很大的影响,成为现代动力系统诞生的一个标志。结构稳定性系统比较理想而少见。大量存在的,是不那么结构稳定的系统,和很不结构稳定的瞬息万变的系统。目前微分动力系统的研究对非 结构稳定系统正在取得大量激动人心的成果。与一般的微分动力系统相比,比较特殊的是自成体系的Hamilton动力系统理论。这一理论有天体力学的背景,更加地传统,也更贴近现实的物理世界。其结构精巧微妙,拥有很多深刻的发现,比如,著名的KAM理论。拓扑动力系统则研究一般的连续系统,在纯粹的意义下研究动力系统最基本的概念,最广泛的共性。其理论清晰透彻,高度凝练。有和动力系统紧密相关的分型理论。分形理论以其奇异的几何图形和氛围概念倾倒着无数研究它的学者,也为动力系统的复杂研究对象提供了鲜明的几何直观。动力系统的复杂不变集常常是分形,比如奇异吸引子,以及更加一般的奇异不变集。80年代突起的复动力系统,以其强大的现代计算机在复平面上向世人展示了变幻无穷的下按时的分形世界。挟实复分析身后的根基,分形和复动力系统犹如交织在一起的两股旋风,十几年来风靡一时。遍历论和新起的随机动力系统则在分析、拓扑的基础上进一步从统计的角度开展深入的研究,其理论宽广厚重。这些愤分支有一些共同的数值不变量,比如拓扑熵、Lyapunov指数,对动力系统的一些基本数量随时间增长的规律做了扼要的提炼,对整个系统起着宏观标志的作用,有时甚至是火龙点睛。它们之间的关系尤其引人入胜。几十年来动力系统的各个分支互相呼应,互相交织地向前发展。目前富于挑战性的重要问题仍然不断出现。这也如真是的宇宙,我们所尚未了解的,相对于已经了解的,是一个浩瀚无边而激动人心的世界。这就赋予动力系统不竭的生命力。 动力系统的生命力也许特别来自它与实际应用的联系。微分方程本来就有联系实际的特点。现代计算机武装起来的离散动力系统的划时代发展,使这一联系更为现实有力。比如著名的Lorcnz系统和Henon系统,就是气象学家和天文学家分别发现的。计算机屏幕上的演示说明,这两个系统的核心部分象是有复杂的吸引子。几十年的研究逐步揭开了其中极为 丰富优美的数学内涵,确定它们的确是非结构稳定的奇异吸引子。说这样的成果是理论的还是应用的都不足以表达人俐的欢愉,因为理论和应用在这里同时达到了极致。 动力系统的一些观念产生了远远越出本学科的影响。突出的是近年来深受注意的混沌与复杂性的科学观念。所谓混沌是指高度复杂的、对误差极其敏感的性态。60年代初在结构稳定性研究中发现的Smalc马蹄揭示,复杂性可以与结构稳定性共存。这一重要发现催生了现代的混沌概念。对混沌概念是否有统一的数学定义并不重要。已有的许多不同的数学描述,恰恰表现了这一概念不寻常的魅力。重要的是它的认识论意义。它发现,复杂的并曾经被认为是不可认识的现象,其实是我们这个世界基本的存存方式,是不可能回避也无须回避的现实。高度复杂而又可认识??这或许是思辩的命题正在成为人们习以为常的生活 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 。可以说,混沌与复杂性的观念,是动力系统能够引以自豪地献给整个科学的礼物。 以廖山涛教授为代表,我国老一辈数学家在动力系统领域作出了重要的贡献。廖山涛先生从上世纪60年代初即投身于当时初现端倪的微分动力系统领域,是这一领域在世界范围内最早的几位开拓者之一。在随后十几年与世界相对隔绝乃至动乱的年代,廖先生在他小小的书斋里,顽强地进行着少见地系统而深刻的数学研究。他的典范方程组和阻碍集两大理论就是在这一期间完成的,为我国数学界一段佳话。这些理论因其独到之处成为今天动力系统中国学派的标志。在廖先生和其他老一辈数学家的长期辛勤耕耘栽培下,几十年来我国动力系统的各个分支都有了很大的发展,有了一支相当整齐的研究队伍,尤为可喜的是有才华的年轻人纷纷脱颖而出。我国动力系统学者的研究工作已经走向世界,在国际上有了不可忽视的地位。 1892年,俄国著名数学力学家Lyapunov在他的博士论文"运动稳定性的一 般问题中",给出了渐近性理论中运动稳定性的严格数学定义和用来讨论渐近性行为的一般数学方法。他将由Peano、Bendixson和Darboux等人建立的微分方程的解对初值和参数的连续依赖性这一概念,从自变量在有限区间上变化拓展到无穷区间上,科学地给出了系统中运动的稳定和渐近稳定的概念;他从类似系统总能量的物理观念得到启示,提出了后来被人们称为Lyapunov函数的概念。从而建立了稳定性理论研究的框架,奠定了动力系统渐近性行为的数学理论基础。随着现代科学技术的飞速发展,数学正日益广泛地应用于各种科技和生产领域,并建立了许多数学模型来描述各种现实客体。这其中的一个中心问题便是研究系统的性质,以及研究系统能够稳定地起作用的条件。在实际问题中,系统的实用稳定性由一些特定的集合刻画,这些集合反映实际扰动情况和在此扰动影响下系统的预期运动状态。动力系统的稳定性一般有结构稳定、、Lyapunov稳定、Poincaré稳定等。在微分方程中所说的稳定性一般是指Lyapunov稳定。具体的说,如果用集合表示系统的初始区域,用集合表示系统的初始,用集合表示系统的随后扰动区域。多数情况下,是与初始时刻有关的,因此常记作,而一般还可以是时变集合,满足一定的“瞬态”要求,这时常用表示。于是实用稳定就是说,对于系统的每一个从内出发的运动,其随后的整个运动过程都不离开集合中,则系统关于已知的估计区域和是实用稳定的。 微分动力系统研究一般的可微系统。起初的研究是着眼于解的局部拓扑结构,特别是对周期解及奇点附近轨线的性态描述。如闭轨的稳定性、线性奇点的拓扑分类等,并有一大批卓越的数学家投身其中比如,V. I. Arnold、Lyapunov 等。自上世纪30年代Andronov 和Pantryagin对微分方程结构稳定研究以来,人们开始了对动力系统的整体研究。 微分动力系统的现代研究兴于20世纪60 年代。先是M. Peixoto1959年和1962年发表文章,讨论维的结构稳定常微系统,重新处理Andronov 和Pantryagin的成果,将其扩充至闭曲面上,并加进新的所谓稠密性的内容,引人注意。而一般认为微分动力系统作为一门学科的开始是Steve Smale。一维动力系统主要是线段自映射和圆周自映射的同胚,因为一维紧流形拓扑上看就线段和圆周两种。 总结部分(将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测)线性系统几乎是常微分方程中存在完整理论的唯一的一大类。这种理论本质上是线性代数的一个分支,它允许我们去解所有的自治线性方程。另一方面,这种线性方程的理论对于用一次近似来研究非线性问题也是有用的。平面动力系统因为其较好的几何直观,在过去几十年来获得了长足的发展。平面动力系统的许多结果都是由方程解的存在唯一性和平面Jordan 定理这个简单的几何事实推得。关于闭轨的一些结果主要是H. Poincare 和I. Bendixson 得到的。必须指出的是,很多结论只在欧氏平面或二维球面成立,这是因为Jordan定理的缘故。偏微分方程的定性理论又称无穷维动力系统。有限维动力系统的研究至今已取得了许多重要的成果,但是,动力系统的问题远远不限于有限维的情形,无穷维动力系统是有限维动力系统的深入和发展。许多数学物理问题可以用无穷维动力系统来描述,或等价于某类函数空间上的连续半群的性质。无穷维动力系统中一个非常重要的概念就是连续半群的整体吸引子,它可以解释演化系统的最终性态。判别整体吸引子的存在性的一个经典结果是证明连续半群是一致紧的且存在一个有界吸收集。然而,许多问题,特别是无界域上的抛物问题和双曲问题,要验证半群的一致紧是很困难的,甚至是不可能的。因此,许多数学家如钟承奎采用分 解半群,用证明渐进紧的方法来证明整体吸引子的存在性。 动力系统的一些基 本数量随时间增长的规律做了扼要的提炼,对整个系统起着宏观标志的作用,有 时甚至是火龙点睛。未来动力系统的各个分支将更紧密地互相呼应,互相交织地 向前发展。目前富于挑战性的重要问题仍然不断出现。动力系统的生命力也将更 加地旺盛随着它与实际应用的联系越来越紧密。 四、参考文献(根据文中参阅和引用的先后次序按序编排) [1] 阿.阿.玛尔德纽克,孙振绮.实用稳定性及应用[M].科学出版社.2004. [2] 年晓红.具有时滞的线性区间系统的鲁棒稳定性[J].控制理论与应 用,1988,151:134-138. [3] J. Palis, On the -stability conjecture, Publ. Math. IHES, 66 1988 211~215. [4] D. Birkhoff. Dynamical systems, Amer. Math. Soc., 1991 [5] 文兰.动力系统简介[J].数学进展.2002,314:1-1. [6] 廖山涛.微分动力系统的定性理论[M].北京.北京科学出版社.1992. [7] 廖晓昕.动力系统的稳定性理论和应用[M].北京.国防工业出版 社.2000. [8] 马知恩.周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].科学出版社.2001[9] 楚天广.时滞系统的实用稳定性硕士学位论文.哈尔滨.哈尔滨工业大学.1989. [10] A. Andronov and L. Pontryagin, Systèmes grossiers, Dokl. Akad. Nauk. USSR 14 1937.247 ~251. [11] M. Peixoto, Structural stability on two-dimensional manifolds, Topology, 1 1962.101~120. [12] S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 747~817. [13] 张筑生,微分动力系统原理[M],科技出版社,1987. [14] Q. Ma, S. Wang, C. Zhong, Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractors for semigroups and applications. [15] R. Temam, Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics, second editionSpringer-Verlag, 1988.