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首页 2007年高中总复习第一轮数学 第六章 6

2007年高中总复习第一轮数学 第六章 6.3 不等式的证明(二)

2007年高中总复习第一轮数学 第六章 6

心慌慌的夏天
2019-05-16 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2007年高中总复习第一轮数学 第六章 6doc》,可适用于综合领域

 不等式的证明(二)巩固·夯实基础一、自主梳理用综合法证明不等式:利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法,概括为“由因导果”用分析法证明不等式:从待证不等式出发分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法概括为“执果索因”除三种基本方法外,还有以下常用方法:()反证法:是先假设结论不成立,并由此出发,推出与题设条件或已经知道的结论相矛盾的结果,从而说明结论成立()换元法:原不等式的代数式,经适当的三角代换或代数换元,能使证明的过程简化()放缩法:借助于不等式的传递性,要证a>b,只需证a>c,c>b,或借助于其他途径放缩,如舍项、添项等值得注意的是,放缩法是高考的“热点”特别在解答题中注意使用()构造函数法、导数法在证明不等式时,也经常使用()数学归纳法证明不等式在数列中的运用也应引起重视链接·提示不等式证明方法多,证法灵活,其中比较法、分析法、综合法是基本方法,要熟练掌握,其他方法作为辅助,这些方法之间不能截然分开,要综合运用二、点击双基(上海春季高考)若a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(  )A<    Ba>b       C>     Da|c|>b|c|解析:由不等式的性质容易得答案C答案:C(理)(北京春季高考)若不等式()na<对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是(  )A[,]    B,)     C[,]      D(,)解析:当n为正偶数时,a<,又为增函数,∴a<=当n为正奇数时,a<,a>而为增函数,<,∴a≥故a∈[,)答案:A(文)(经典回放)若<<则下列结论不正确的是(  )Aa<b          Bab<b       C>      D|a||b|>|ab|解析:由<<,知b<a<∴A不正确答案:A(湖北八校联考)设函数f(x)是定义在R上,周期为的奇函数,若f()<,f()=,则(  )Aa<且a≠    B<a<    Ca<或a>     D<a<解析:由题意得f()=f()=f()<,∴f()<,即<∴>,即a(a)>∴a<或a>故选C答案:C(上海春季高考)同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列a,a,…,an满足a≤a≤…≤an,则(结论用数学式子表示)解析:设原有人数为n,去掉nm个人(≤m<n),n个人的平均分为m个人的平均分为依题意,≤,≥答案:≤(≤m<n)和≥(≤m<n)诱思·实例点拨【例】设实数x、y满足y+x=<a<求证:loga(ax+ay)<loga+.剖析:不等式左端含x、y而右端不含x、y故从左向右变形时应消去x、y证明:∵ax>ay>∴ax+ay≥=.∵xx=(x)≤<a<∴ax+ay≥=.∴loga(ax+ay)<loga=loga+.讲评:本题的证题思路可由分析法获得要证原不等式成立只要证ax+ay≥·即可.【例】已知a、b、c∈R且abc=求证:(a)(b)(c)≥(a)(b)(c)剖析:在条件“abc=”的作用下将不等式的“真面目”隐含了给证明不等式带来困难若用“abc”换成“”则还原出原不等式的“真面目”从而抓住实质解决问题证明:∵a、b、c∈R且abc=,∴要证原不等式成立,即证[(abc)a]·[(abc)b][(abc)c]≥[(abc)a]·[(abc)b]·[(abc)c],也就是证[(ab)(ca)][(ab)(bc)]·[(ca)(bc)]≥(bc)(ca)(ab)    ①∵(ab)(bc)≥>,(bc)(ca)≥>,(ca)(ab)≥>,三式相乘得①式成立故原不等式得证【例】已知a、b∈R求证:≤证法一:当|ab|=时,原不等式成立当|ab|≠时,=≤==≤证法二:构造函数f(x)=(x≥),研究其单调性,f′(x)==>∴f(x)在[,∞]上单调递增∵|ab|≤|a||b|,∴≤=≤讲评:证法一是放缩法,证法二是单调性法,这样直接证可以吗≤分式放缩时,分子、分母能同时放大或缩小吗应用·习题精练巩固篇若x>,y>,且=,则xy有(  )A最大值    B最小值    C最大值    D最小值解析:=≥=,∴xy≥答案:B已知mn=,ab=,则ambn的最大值是(  )A      B      C        D以上都不对解析:三角代换:令m=cosα,n=sinα,a=cosβ,b=sinβambn=cos(αβ)≤答案:C已知<a<,b>且ab>,则下列不等式中成立的是(  )Alogb<logab<loga          Blogab<logb<logaClogab<loga<logb          Dloga>loga<logab解析:特殊值法令a=,b=答案:B已知|ab|<c(a、b、c∈R),给出下列不等式:①a<bc②a>bc③a<bc④|a|<|b|c⑤|a|<|b|c其中一定成立的不等式是(注:把成立的不等式序号都填上)解析:∵|ab|<c,∴c<ab<c∴a<bc,a>bc,①②成立又|a||b|<|ab|<c,∴|a|<|b|c④成立当a=,b=,c=时,虽|ab|=<c,但>=,>,故③⑤不成立答案:①②④已知a>b>c且abc=,求证:<a证明:要证<a,只需证bac<a,即证ba(ab)<a,即证(ab)(ab)>,即证(ab)(ac)>∵a>b>c,∴(ab)(ac)>成立∴原不等式成立已知abc=,求证:abbcca≤证法一:(综合法)∵abc=,∴(abc)=展开得abbcca=,∴abbcca≤证法二:(分析法)要证abbcca≤,∵abc=故只需证abbcca≤(abc)即证abcabbcca≥亦即证[(ab)+(b+c)+(c+a)]≥.而这是显然的由于以上相应各步均可逆∴原不等式成立证法三:∵abc=∴c=ab∴abbcca=ab(ba)c=ab(ab)=abab=[(a+)+]≤.∴abbcca≤提高篇设a、b、c均为实数求证:≥证明:∵a、b、c均为实数∴(+)≥≥当a=b时等号成立(+)≥≥当b=c时等号成立(+)≥≥,当c=a时等号成立.三个不等式相加即得++≥++当且仅当a=b=c时等号成立(全新创编题)有一位同学写了一个不等式≥(x∈R),她发现当c=,,时,不等式都成立,试问:不等式是否对任何正实数c都成立为什么解:设f(x)=,z=(z≥),则f(x)=,原不等式成立则≥,只需z≥x≥cc≤≤cc≥故原不等式对任何正数c不都成立教学参考一、教学思路若已知xy=a或=常用三角代换放缩时,最重要的是放缩适度,特别地,认真总结放缩的技巧,充分运用不等式的性质,及均值不等式、绝对值不等式和题设条件是进行放缩的关键函数的有关知识如值域、单调性,在证明不等式时也应考虑分析法与综合法相互转换、互相渗透、互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题的思路,开阔视野放缩法和换元法的合理运用,可以摆脱习惯思维方法的局限,转换解题途径反证法是逆向思维的过程,它能增大思维的发散量,克服思维定势的影响

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