实 验 报 告
实验原理：
Kruskal 算法是一种按照图中边的权值递增的顺序构造最小生成树的方法。其基本思想是：设无向连通网为G＝（V，E），令G 的最小生成树为T，其初态为T＝（V，{}），即开始时，最小生成树T 由图G 中的n 个顶点构成，顶点之间没有一条边，这样T 中各顶点各自构成一个连通分量。然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G 的边集E 中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T 的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T 中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T 中的连通分量个数为1 时，此连通分量便为G 的一棵最小生成树。
如教材153页的图4.21(a)所示，按照Kruskal 方法构造最小生成树的过程如图4.21 所示。在构造过程中，按照网中边的权值由小到大的顺序，不断选取当前未被选取的边集中权值最小的边。依据生成树的概念，n 个结点的生成树，有n－1 条边，故反复上述过程，直到选取了n－1 条边为止，就构成了一棵最小生成树。
实验目的：
本实验通过实现最小生成树的算法，使学生理解图的数据结构存储表示，并能理解最小生成树Kruskal 算法。通过练习，加强对算法的理解，提高编程能力。
实验内容：
（1）假定每对顶点表示图的一条边，每条边对应一个权值；
（2）输入每条边的顶点和权值；
（3）输入每条边后，计算出最小生成树；
（4）打印最小生成树边的顶点及权值。
实验器材（设备、元器件）：
PC机一台，装有C语言集成开发环境。
数据结构与程序：
#include
#include
#include
using namespace std;
#define X 105
typedef struct Edge
{
int w;
int x, y;
} Edge; //储存边的struct，并储存边两端的结点
class GraphNode
{
public:
int data;
int father;
int child;
} GraphNode[X]; //储存点信息的并查集类（点的值，父结点，子结点）
Edge edge[X*X];
bool comp(const Edge, const Edge);
void update(int);
int main()
{
int node_num;
int sum_weight = 0;
FILE *in = fopen("C:\\Users\\瑞奇\\Desktop\\编程实验\\数据结构实验\\FileTemp\\in.txt", "r");
cout << "Reading data from file..." << endl << endl;
//cout << "Please input the total amount of nodes in this Graph: ";
//cin >> node_num;
fscanf(in, "%d", &node_num);
//cout << "Please input the data of each node: " << endl;
for(int i = 1;i <= node_num;i++)
{
//cin >> GraphNode[i].data;
fscanf(in, "%d", &GraphNode[i].data);
GraphNode[i].father = GraphNode[i].child = i;
} //初始化点集
//cout << "Please input the relation between nodes in this format and end with (0 0 0):" << endl << "(first_node second_node egde_weight)" << endl;
int x, y, w, tmp_cnt = 1;
//while(cin >> x >> y >> w && w)
while(fscanf(in, "%d%d%d", &x, &y, &w) != EOF && w)
edge[tmp_cnt].w = w, edge[tmp_cnt].x = x, edge[tmp_cnt++].y = y;
fclose(in);
sort(edge+1, edge+tmp_cnt, comp); //对边权进行排序
cout << "The MinSpanTree contains following edges: " << endl << endl;
for(int i = 1;i <= tmp_cnt;i++) //循环找最小边
if(GraphNode[edge[i].x].father != GraphNode[edge[i].y].father)
{
int n = edge[i].x;
int m = n;
if(GraphNode[m].father != m) //使用并查集对边是否可用进行判断
{
m = GraphNode[m].father;
GraphNode[m].father = GraphNode[edge[i].y].father;
}
GraphNode[edge[i].x].father = GraphNode[edge[i].y].father;
GraphNode[edge[i].y].child = GraphNode[edge[i].x].child;
while(GraphNode[n].child != n)
n = GraphNode[n].child;
update(n); //在合并点集后对并查集进行更新
sum_weight += edge[i].w; //计算总权
cout << "\t" << "The edge between " << GraphNode[edge[i].x].data << " & " << GraphNode[edge[i].y].data << " with the weight " << edge[i].w << endl;
}
cout << endl << "And the total weight of the MinSpanTree add up to: " << sum_weight << endl;
return 0;
}
bool comp(const Edge a, const Edge b)
{
return a.w < b.w;
}
void update(int n)
{
if(GraphNode[n].father == n)
return;
GraphNode[GraphNode[n].father].child = GraphNode[n].child;
//更新孩子结点
update(GraphNode[n].father); //递归更新
GraphNode[n].father = GraphNode[GraphNode[n].father].father;
//更新父结点
}
程序运行结果：
运行程序，程序读取文件，获取文件中关于图的信息：结点数，结点值，结点间边权。
然后使用Kruskal算法对录入信息进行处理：
1.对边权排序
2.取最小权边，若边的端结点不在同一集合众，则使边的端结点加入集合并删除该边；若边的端结点本来就在同一集合中，直接删除该边
3.循环执行步骤2，直到集合中包含所有结点和结点数-1条边
输入为：
6
1 2 3 4 5 6
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6
程序运行结果如下图：
实验结论：
Kruskal算法其实是一种贪心算法，每次选取符合条件的边，加入边集（此程序中直接输出）。直到所有结点和最少边全部包含在同一集合中，算法结束。
总结及心得体会：
在使用并查集的时候，注意在合并集合后要更新并查集的父结点和子结点。
其实Kruskal算法的复杂度为O(E^2)，其复杂度和边条数有关，和结点数无关，所以适用于稀疏图。
浙公网安备 33021202002483