第八节 极限存在准则 两个重要极限
分布图示
★ 夹逼准则 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 单调有界准则 ★ 例10 ★ 例11
★ ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14
★ 例15 ★ 例16 ★ 例17
★ 例18
★ ★ 例19 ★ 例20 ★ 例21
★ 例22 ★ 例23 ★ 例24
★ 例25
★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26）
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题 1- 8
内容要点
一、准则I（夹逼准则）：如果数列及满足下列条件:
（1）; （2）
那末数列的极限存在, 且
注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出与, 并且与的极限相同且容易求.
二、 准则II（单调有界准则）：单调有界数列必有极限.
三、两个重要极限：
1. ； 2．.
四、连续复利
设初始本金为p (元), 年利率为r, 按复利付息, 若一年分m次付息, 则第n年末的本利和为
如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m趋于无穷大时, t年末的本利和可按如下公式计算
若要t年末的本利和为s, 则初始本金.
例题选讲
夹逼准则的应用
例1 (E01) 求
解
又
由夹逼定理得
例2 求
解 由易见对任意自然数有
故
而所以
例3 求
解 设 显然，
又由夹逼准则知
即
例4 求
解
其中因此而所以
例5 (E02) 求
解 由易见又
所以
例6 (E03) 求极限.
解 因为,故由准则,得
, 即
例7 求
解 令则
因此 ,
由于所以故
例8 求证
解 (1) 当时, 故
(2) 当时,设显然当时,由例3知所以
(3) 当时，总存在一个正数使得由(2)知所以
综合上述证明可知
例9 求极限
解 当时, ，因此，当时,
由夹逼定理可得当时，有
由夹逼定理可得从而
例10 (E04) 设有数列求
证 显然是单调递增的.下面利用数学归纳法证明有界.
因为假定则
所以是有界的.从而存在.
由递推关系得故即
解得(舍去). 所以
例11 设 为常数, 数列由下列定义:
其中为大于零的常数, 求
解 先证明数列的极限的存在性.
由即
由知因此即有下界.
又故数列单调递减，由极限存在准则知存在.
不妨设对式子两边取极限得:
解之得即
例12 (E05) 求 .
解
例13 求
解
例14 (E06) 求
解 原式
例15 下列运算过程是否正确：
.
解 这种运算是错误的.当时,本题所以不能应用上述方法进行计算.正确的作法如下：
令则当时, 于是
例16 计算
解
例17 计算
解
例18 (E07) 计算
解
例19 (E08) 求 .
解
例20 (E09) 求
解
例21 (E10) 求.
解
.
特别地，当时，有.
例22 (E11) 求
解
例23 求
解
例24 计算
解
例25 求极限
解 令则当时,又
故
连续复利
例26 (E12) 小孩出生之后，父母拿出P元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到100000元，如果投资按8%连续复利，计算初始投资应该是多少？
解 利用公式，求P. 现有方程
由此得到
于是，父母现在必须存储20189.65元，到孩子20岁生日时才能增长到100000元.
计算现值可以理解成从未来值返回到现值的指数衰退.
一般地，年后金额的现值, 可以通过解下列关于的方程得到
，.
课堂练习
1. 求极限
2. 求极限
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