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一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题

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一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题 一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解. 2例1. 设函数,对于满足10,求实数a的 f(x),ax,2x,2 取值范围. 112f(x)a(x)2【解析】法一:当a>0时,,,,,,由x?(1,4),f(x)>0得 aa 1,111,,4,,,,1,4,,,a 或或 aa,,,11,,,f(),2,...

一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题
一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题 一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解. 2例1. 设函数,对于满足10,求实数a的 f(x),ax,2x,2 取值范围. 112f(x)a(x)2【解析】法一:当a>0时,,,,,,由x?(1,4),f(x)>0得 aa 1,111,,4,,,,1,4,,,a 或或 aa,,,11,,,f(),2,,0f(1),a,2,2,0f(4),16a,8,2,0,,,aa, 11,,a,,a,1,,a,1,11,,44a,1,a,1a, 所以或或,所以或,即。 ,,,3212a,0,,,a,a,,,82,, f(1),a,2,2,0,, 当a<0时,,解得a?; ,f(4),16a,8,2,0, 当a=0时,, f(1)=0,f(4)=-6,?不合题意. f(x),,2x,2 1a, 综上可得,实数a的取值范围是。 . 2 2ax,2x,2,0 法二:由f(x)>0, 即,x?(1,4), 22a,,, 则有在(1,4)上恒成立. 2xx 221111112()2()()(2)gx,,,,,,,,(,1)?gx,g, 令, , max2222x4xxx 11a,a, 所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立,只要即可. 故a的取值范围为. 22针对性练习: 2mx1.已知不等式,2x,m,1<0. (1)若对所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|?2的一切m的值都成立,求x的取值范围( 2mx解析 (1)不等式,2x,m,1<0恒成立, 2mx 即函数f(x),,2x,m,1的图象全部在x轴下方. (i) 当m,0时,1,2x<0不恒成立; (ii) 当m?0时,函数f(x),mx2,2x,m,1为二次函数,需满足图象开口向下且 ,m<0~,, 方程mx2,2x,m,1,0无解,即则m无解. Δ,4,4m,1,m,<0~,, 综上~不存在这样的m~使不等式恒成立. 2 (2) 设f(m),(,1)m,(1,2x), x 2 当,1,0时,即x,?1时,检验得x,1时符合题意, x 2 当?1时,则f(m)是以m为自变量的一次函数,其图象是一条直线,由题意知该 x 直线当,2?m?2时的线段在x轴下方, 2,,f,,2,<0~,2x,2x,3<0~ ?,,,, ?即 2 f,2,<0~2x,2x,1<0~ ?,,,, ,1,7,1,71,31,3 解?~得x<或x>~ 解?~得
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分类:生活休闲
上传时间:2017-09-18
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