椭圆的焦点弦长公式公式焦点椭圆焦点弦长焦点的焦
椭圆的焦点弦长公式
22abFF,及其应用 12222a,ccos,
贵州省龙里中学 洪其强 (551200)
在有关椭圆的综合
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢,首先我们有命题:
若椭圆的焦点弦FF所在直线的倾斜角为，、、分别
表
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示椭圆的长半轴长、ac,b12
22abFF,短半轴长和焦半距，则有。 12222a,ccos,
上面命题的
证明
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很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。
,F例1、已知椭圆的长轴长，焦距42，过椭圆的焦点作一直线交ABFF,8112
P,，PFX椭圆于、两点，设，当取什么值时，等于椭圆的短Q(0,,,,),,PQ1
轴长,
分析
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:由题意可知是椭圆的焦点弦，且，c,22，从而b,22，故由焦PQa,4
222ab2，4，(22)FF,,42点弦长公式及题设可得:，解得122222,16,8cosa,ccos,
,,,，即或。cos,,arc,,arc2,2cos2,2cos2,2
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F(3，1)，相应于F的准线为Y轴，
16,直线通过点F，且倾斜角为，又直线被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的ll53
方程。
22(x,c,3)(y,1)，,1分析:由题意可设椭圆E的方程为，又椭圆E相应于F的准线22ab
222aab16,,c，3为Y轴，故有 (1)， 又由焦点弦长公式有 (2),c5222a,ccos3
22222又 (3)。解由(1)、(2)、(3)联列的方程组得:，，，a,b，ca,4b,3c,1
22(x,4)(y,1)，,1从而所求椭圆E的方程为。 43
22xyxy例3、已知椭圆C:，,1()，直线:被椭圆C截得的l,,1a,b,0122abab
23弦长为，过椭圆右焦点且斜率为的直线l被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的，2225
求椭圆C的方程。
22分析:由题意可知直线l过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有， (1)a，b,81
22ab4a,tan3又由焦点弦长公式得=， (2) 因=，得，(3),,,222a,ccos,53
22222又 (4)。解由(1)、(2)、(3)、(4)联列的方程组得:，，a,b，ca,6b,2
22xy，,1从而所求椭圆E的方程为。 62
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