概率论与数理统计(第三版)课后答案习题4

概率论与数理统计(第三版)课后 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 习题4 第四章 随机变量的数字特征 1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用,， , 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，经过一段时间的考察，知,，,的分布律如下: 0 1 2 3 0 1 2 ,, p 0.7 0.1 0.1 0.1 p 0.5 0.3 0.2 试比较两台车床的优劣。 解:因为E=0，0.7+1，0.1+2，0.1+3，0.1=0.6; , E,=0，0.5+1，0.3+2，0.2=0.7。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。 2. 连续型随机变量,的概率密度为 a,kxxka010,,,(,)fx(),,0其它, 又知E,=0.75，求k, a之值 。 k，,，,afxdxkxdx(),1,即,1,？,1,,,,,,a，1解:首先由密度函数性质知; k，,，,a，1xfxdxkxdx(),0.75,即,1,？,0.75,,,,,,a，2又 E=0.75，即有 ; , 由上述两式可求得k=3, a=2。 3.已知随机变量,的分布律为 -1 0 2 3 , p 1/8 1/4 3/8 1/4 22 求E,，E(3,-2)，E,，E(1-,)。 解:E,=(-1)，(1/8)+0，(1/4)+2，(3/8)+3，(1/4)=11/8; 22222 E,=(-1)，(1/8)+0，(1/4)+2，(3/8)+3，(1/4)=31/8; 22222 E(1-,)=(1-(-1))，(1/8)+(1-0)，(1/4)+(1-2)，(3/8)+(1-3)，(1/4)=17/8 222或者， E(1-,)=E(1-2,+,)=1- (E2,)+E,=17/8。 1,||xfxe(),224. 若,的概率密度为。求(1)E,，(2)E, 。 1,|x|,E,,xedx,-|x|-|x|,,2解:(1)中因e为偶函数，x为奇函数，故xe为奇函数，且积分区 间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上 1,,，,||xx,,|x|f(x)dx,|x|edx,xedx,,(2),1,，,,,,0,,,,2 故 E,=0。 1,，,2||2,x,x,22,xedx,xedx,,(3),2!,2,,E,,xf(x)dx0,,,,,2 (2)。 5. 轮船横向摇摆的随机振幅,的概率密度为 2x,,2,2,Axex,0fx()(),,,0, ,x,00, 求(1)确定系数A;(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少, 2x,12，,，,2,fxdx,即Axedx,？A,()1,1,,,2,,,,,解:(1)由密度函数性质知, 2x,,x22,,e,x0,,f(x),2,,,0,x0.,,即 222xxx,,,，,x222，,，,，,222,,,,()[]E,xfxdx,xedx,,xe,,edx,,,002,,0,(2) x2(),,,x，,2,2()2,,,,,,,ed,0222, ， 22xx,,，,x22，,,,/422,,,,P{,E},edx,[,e],e,,2,,,,22 。 6. 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度,和,为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表: 9 10 11 6 7 , , p 0.3 0.5 0.2 p 0.4 0.6 试求E(,+,)，E(,,)。 解:因为 E,=9，0.3+10，0.5+11，0.2=9.9，E,=6，0.4+7，0.6=6.6， 故 E(,+,)=E,+E,=9.9+6.6=16.5; 又,和,为两个相互独立的，因此有E(,,)=E,?E,=9.9，6.6=65.34。 7. 已知(,，,)的联合概率密度为 40101xyxy,,,,,fxy(,),,0其它, 22试求E(,+,)。 ，,，,112222(x，y)f(x,y)dxdy,(x，y)4xydxdy,122,,,,,,,,00解:E(,+,)=。 8. 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以,表示停车的次数，求E, (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)。 0,在第i站没有人下车,,,,,i1,在第i站有人下车.,解:引入随机变量 ,,,，,，？，,1210易知，，现在求E, 由题设，任一游客在第i站不下车的概率为9/10，因此，20位游客都不在第i站下车的2020概率为(9/10)，在第i站下车的概率为1-(9/10)。也就是 2020i,1,2,？,10 P{, =0}=(9/10)， P{, =1}=1-(9/10)()，因此， ii 20i,1,2,？,10 E, =1-(9/10)()。 i 20,,E(,，,，？，,),E,，E,，？，E,,10，(1,(9/10)),8.78412101210故E,=E(次) 9. 圆的直径用,度量，而,且在[a，b]上服从均匀分布，试求圆的周长和圆的面积的数学期望和方差。 解:由于服从[a，b]上的均匀分布，因此的分布密度为 ,, 1,,a,x,b,,,E,(b，a)/2,f(x),b,a,2,0,其它D,,(b,a)/12., 2而圆的周长L=,,，圆的面积A=,,/4，故有 ,(a，b)/2 EL=E(,)=,E=， ,, 222,(b,a)/12 DL=D(,,)=,D,=; 1,,,b2222E,xdx,(a，ab，b),,2a44b,a12 EA=,,/4=， 11b4432234xdx,(a，ba，ba，ba，b)4,aE,b,a5又 =，因此 22,,,,22224222E(),[(a，ab，b)],E,(a，ab，b),,2241216144 DA=EA-(EA)= 221,,432234222,(a，ba，ba，ba，b),(a，ab，b)165144 = 2,222,(b,a)(4a，7ab，4b)720 10. 设随机变量,，,相互独立，其概率密度分别为: ,xx01,, ,,y,ey,fx(),212,,,xx0,,fy(),,,,0其它0其它,, ， 试求E(,,)，D(,+,)。 ，,122E,,xf(x)dx,xdx，x(2,x)dx,1,,,,,,01解:因为 ， ，,122232E,,xf(x)dx,xdx，x(2,x)dx,7/6,,,,,,01 ， ，,，,y,E,,yf(y)dx,yedy,1,,,0,, ， ，,，,222y,E,,yf(y)dx,yedy,2,,,0,, ， 又,与,是独立的，故有 E(,,)=E,，E,=1，1=1; 2222[E,,(E,)]，[E,,(E,)],7/6,1，2,1,7/6 D(,+,)=D,+D,=。 2 11. 设随机变量,与,相互独立，且E,=E,=0，D,=D,=1，求E(,+,)。 22222解: E(,+,)= E(,+2,,+,)= E,+2E(,,)+E,，又,与,相互独立，因此 2222E,,(E,),？E,,D,，(E,) E(,,)= E,，E,，而D,=， 22E,,D,，(E,)同理 22222 故有 E(,+,)=E(,+2,,+,)= E,+2 E,，E,+E, 22D,，(E,)D,，(E,) =+2 E,，E,+=1+1=2。 12. 若连续型随机变量的概率密度是 2,axbxcx，，,,01fx(),,0其它, 且已知E,=0.5，D,=0.15，求系数a, b , c 。 ，,12f(x)dx,1(ax，bx，c)dx,1,即a/3，b/2，c,1,,,,0解:因为，即有 ? 12x(ax，bx，c)dx,0.5,即a/4，b/3，c/2,0.5,0又E=0.5，故 ? ,2又E,=0.5，D,=0.15，因而E,=0.4，因此 122x(ax，bx，c)dx,0.4,即a/5，b/4，c/3,0.4,0 ? 解?、?、?组成的方程组，解得a=12，b=-12，c=3。 13. 设随机变量,有分布函数 ,,x,,,1,0,ex,F(x),0,其它., 求E(2,+1)，D(4,) 。 解:先求,的分布密度函数 ,,x,,,0,,exdF(x),,()fx,dx0,其它., 11，,，,,,x,,x，,,,x，,,,E,xfxdx,xedx,,xe,e,()()||,,000,,,,故 ， 2，,，,222,x,,,E,xfxdx,xedx,(),,0,,2, , 122,,,D,E,E,()2,因此。从而有 162，12,, E(2,+1)=2E,+1=，D(4,)=16D,=。 214. 证明:当k=E,时，E(,-k)的值最小，且最小值为D,。 2222解:E(,-k)=E[(,-E,)+(E,-k),= E(,-E,)+2E(,-E,)(E,-k)+E(E,-k) 222 = E(,-E,)+E(E,-k)=D,+ E(E,-k), D,。 2即当k= E,时，E(,-k)取得最小值D,。 15. 如果,与,相互独立，不求出(,,)的分布，直接用,的分布和,的分布能否计算出 D(,,)，怎样计算, 22222解:因为,与,相互独立，故D(,,)=E(,,)-[ E(,,)]= E(,,)-(E,E,) 2222 = E,E,)-(E,)(E,)。 16. 一台仪器有10个独立工作的元件组成，每一个元件发生故障的概率为0.1，试求发 生故障的元件数的方差。 ,0,在第i个元件不发生故障,,,,i1,在第i个元件发生故障.,解:引入随机变量 ,,,，,，？，,D,,0.1,(1,0.1),0.091210i易知， ， ，故 ,D(,，,，？，,),D,，D,，？，D,,10，0.09,0.912101210 ,。 17. 设随机变量,服从瑞利(Rayleigh)分布，其概率密度为 2x,,x22,,ex0,2fx(),(,,0),, ,x0,0, 求E,，D,。 ，,22xx，，，,2,,x222，,，,22,,,,,x,,xe,,edx2,2,,，，E,xfxdx,edx,,,,02，，,00解: ,, 2,,x,,，,,,,,,x2,,,,,,,2,ed,,2,,,,,2,0,,22 ，,22xx，，，,2.,,x2.22，,，,22,,,,,x,,xe,,e2xdx2222,2,,，，E,.xfxdx,xedx,,,,02，，,00 ,, ，,2x，，.,2222,,,,2,e,2,,,，，0 = ,4,,222222,,,,,,,,D,E,E,,,22？ 。 18. 若,，,，,为相互独立的随机变量，且 123 EEE,,,,,,92012，，123 222EEE,,,83401148，，,,,123 ,,,,,,，25123试求: 的数学期望和方差。 E,,E(,,2,，5,),E,,2E,，5E,,9,2，20，5，12,29123123解:， 22E,,E(,,2,，5,)123 222,E,，4E,，25E,,E,,E,，10E,,E,,20E,,E,123121323 ,83，4，401，25，148,4，9，20，10，9，12,20，20，12,947, 222D,,E,,(E,),947,29,106故 。 19.设二维随机变量(,，,)的联合分布律为 -1 0 1 , , -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 计算,，并判断,与,是否独立。 ,, 证明:由题得(,, , )的边际分布律各为 -1 0 1 -1 0 1 , , p 3/8 2/8 3/8 p. 3/8 2/8 3/8 i.j? p?p?p.，(i,j=1,2,3)故,与,不独立。 iji.j 3323E,,xp.,(,1)，，0，，1，,0,,ii888i,1又 3323E,,yp,(,1)，，0，，1，,0,,jj.888j,1 E,,,xyp,0,,,ijijij Cov(,,,),E(,,),E(,),E(,),0,0,0,0? ,,0,,? ，即,与,不相关。 20. 设二维随机变量(，)的联合概率密度为: ,, 1,22xy，,1,fxy(,),,, ,其它0, 试验证,和,是不相关的，但,和,并不相互独立。 解:先求f(x),f (y): ,, 212,,x12,,,dy1x,x1,,,2,1,x,,,，,,,f(x)f(x,y)dy,,,,,,0,其它.,, 2,2,,1y,y1,,,,，,,,f(x)f(x,y)dy,,,,,,0,其它.,,同理 显然，f(x, y),f(x)f (y)，故,与,不独立。 ,, 2，,12,E,xf(x,y)dx,x1,xdx,0.,,,,,,1, 又 2，,12,E,yf(y)dy,y1,ydy,0.,,,,,,1, 21,11x,,,,,,,,Cov(,),E(),E(),E(),E(),dxxy,dy,0.,,2,1,,1x,故 ,,Cov(,),,,0,,D,D,? ，即,与,不相关。 21. 设随机变量(,，,)的联合概率密度为: ,1y,x,0,x,1f(x,y),,0其它, 求:E,，E,，Cov(,，,)。 2，,，,，,11x2,,E,,xf(x,y)dxdy,xf(x)dx,xdydx,2xdx,,,,,,,,,,,,,,,0,0x解:? 3，,，,，,1x,,E,,xf(x,y)dxdy,yf(y)dx,ydydx,0,,,,,,,,,,,,,0, x，,，,1x,,E(,,),xf(x,y)dxdy,xydydx,0.,,,,,,,,0, x 2Cov(,,,),E(,,),(E,)(E,),0,，0,0.? 3 22 . 设有随机变量,和,，已知D,=25，D,=36，,=0.4，计算D(,+,)，D(,-,)。 ,, D(,,,),D(,)，D(,),2Cov(,,,)解:由于 ,25，36,,,D,D,,, ,25，36,24,61,24, 故 D(X+Y)=61+24=85， D(X-Y)=61-24=37。 23. 证明:当,，,不相关时，有: (1)E(,,)=E,?E, (2)D( ,?,)=D,+D,。 ,,,,E(),(E)(E),,,,D,D,证明:(1)因为 ，由题知,，,是不相关的，故,=0， ,,因此，有E(,,)=E,?E,。 222222(2)D(,?,)=E(,?,)-[E(,?,)]=E[,?2,,+,]-[(E,)?2(E,)(E,)+(E,)] 2222, = E,-(E,)+E,-(E,)?2(E,)(E,)2(E,)(E,)=D,+D,。 G,{0,x,1，0,y,x}上服从均匀分布24. 设(,，,)在。试求,。 ,, G,{0,x,1，0,y,x}上服从均匀分布解:因为(,，,)在，故联合密度为 2,0,x,1,0,y,x,,f(x,y),,0,其它., 2，,，,1x,,E,,xf(x,y)dxdy,2xdydx,,,,,,,,,,00? 3 1，,，,1x,,E,,yf(x,y)dxdy,2ydydx,,,,,,,,,,,00 3 11x,,E(,,),xy,2dydx,,,,0,x 4 111x1x2222,,,,E,,2xdydx,,E,,2ydydx,,,,,,0000 26222D,,E,,(E,),1/2,(2/3),1/18, 222D,,E,,(E,),1/6,(1/3),1/18 ,,,,EEE(),()()1/4,(2/3)，(1/3)1,,,,,,2D,D,1/181/18? 。 25. 设(,，)的联合概率密度为 1，xy,|x|,1,|y|,1,f(x,y),4, ,0其它, 22证明:,与,不独立，但,与,独立。 解:,与,的边际概率密度为 ，1xy1,1,,dy,x1,,,,142,，,,,f(x)f(x,y)dy,,,,,,0,其它.,, 1,,,y1,,2,，,,,f(x)f(x,y)dy,,,,,,0,其它.,,同理 显然， f(x, y),f(x)f (y)，故,与,不独立。 ,, 22,,,,,,,11令 ，则 2F(z),P{,,z},P{,,z},0,11当z?0时，; 2F(z),P{,,z},P{,,z},P{,z,,,z},11当0