数形结合例题选集

数形结合例题选集数形结合例题选集数形结合数形结合一、在一些命题证明中的应用举例: 1、证明勾股定理: 2222 4，(0.5ab)，(a,b),a，b,c 解析:上图中，四个小三角形(阴影部分)的面积加上中间小正方形的面积等于 222大正方形的面积，化简后得到勾股定理a，b,c。 2、证明乘法公式(平方差与完全平方): 22222 a,b,(a，b)(a,b)(a，b),a，b，2ab解析:在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、...

数形结合例题选集数形结合数形结合一、在一些命题证明中的应用举例: 1、证明勾股定理: 2222 4，(0.5ab)，(a,b),a，b,c 解析:上图中，四个小三角形(阴影部分)的面积加上中间小正方形的面积等于 222大正方形的面积，化简后得到勾股定理a，b,c。 2、证明乘法公式(平方差与完全平方): 22222 a,b,(a，b)(a,b)(a，b),a，b，2ab解析:在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式: 1 数形结合 a，b解析:如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为，2根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为，显ab然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正(余)弦定理: 解析: 11,ABC的面积S,a,h,a,bsinC,bsinC,csinB(1)如上图所示，; 22 bcabc,，同理可得,,即; sinBsinCsinAsinBsinC aa，A,，D，sinA,sinD,，即,2R根据圆的性质(等弧对等角); 2RsinA abc,,,2R综上，得正弦定理:。 sinAsinBsinC 22222222AB,BE,AC,CE，即c,(c,cosB),b,(a,c,cosB)(2)根据勾股定理; 222acb，,cosB,整理可得余弦定理:;同理得出cosA、cosC的余弦定理。 2ac ,tanx,x,sinx，x,(0，)5、证明结论 2 2 数形结合 ,解析:如上图所示，根据y=tanx、y=x、y=sinx在上的图像可看出x,(0，)2 ,tanx>x>sinx，。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右x,(0，)2 ,图的单位圆中，当时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线x,(0，)2 l,,R,x,1,x可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式，即图中黑色弧线的长度表示x，显而易见。红线长度>弧线长度>蓝线长度，即 ,tanx>x>sinx，x,(0，)。 2 6、证明两角差的余弦公式: 解析:如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标 222表示。左图中，，将B点旋转至(1，0)处(右AB,(cos,,cos,)，(sin,,sin,) 222图所示)。此时，，因为线段AB的长度没有AB,[cos(,,,),1]，[sin(,,,)] 2222发生变化，即，化简:(cos,,cos,)，(sin,,sin,,)[cos(,,,),1]，[sin(,,,)]cos(,,,),cos,cos,，sin,sin,。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量 ,,,,OA,OB(cos，sin)(,cos，sin)cos(,),,积定义，证明更加简洁。如左图，,, 1,1OA,OB 。 ,cos,cos,，sin,sin, 二、在考试中的具体应用: 1、与函数的综合运用,主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面, 例1 (14奉贤)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意x都满足f(x+2)=-f 3-1,x,1时，f(x),x，若函数g(x),f(x),logx(x)，当只有四个零点，a 则a的取值范围是 11(，),(3，5) 答案 : 53 解析:根据已知条件，f(x)的周期为4，先画f(x)一个周期图像，当1x<3, 3 数形结合 22时，，由此画出[-1，3)的图像，f(x,2),(x,2),-f(x)，f(x),(-x,2) 此为一个周期，图像如下，只有四个零点即f(x)与g(x),f(x),logxa y=只有四个交点，需分类讨论: logxa (1)当01时，也有两个界值，如下图所示: 此时3个交点，代入(-3，1)，解得a=3。评注:数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握;另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。 4 数形结合 ,logx0,x,4，2,例2 (14闵行)，若a、b、c、d互不相同，且ffx,(),2702x,8x，，x,4,33, (a)=f(b)=f(c)=f(d)，则abcd的取值范围是答案:(32，35) 2解析:根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=，40时，y=f(x)单调递减且无最值; ?方程f(x)=kx+b(k0)一定有解; , ?如果方程f(x)=k有解，则解的个数一定是偶数; ?y=f(x)是偶函数且有最小值。则其中真命题是答案:?、? 解析:含绝对值、分类讨论。先画x>1和00且a1，已知函数f(x)=至少a，2sin2,x,(2x,0), 有5个零点，则a的取值范围为答案:(0，1)(1，2) , x解析:就是求函数上的交点个数，分两y,2sin2,x与函数y,2,a在x,(0，，,) 种情况: x,(0，，,)(1)当01时，如下图所示，在要至少5个交点，在(2)当a函数y,2,ax=1处要大于0 即2-a>0，a<2，满足至少有5个交点。评注:这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题，注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。 3例3 (14虹口)函数f(x)=2sin与函数的图像所有交点的横,xg(x),x,1 坐标之和为答案:17 3解析:画出函数f(x)=2sin,x与函数的图像，如下图所示: g(x),x,1 8 数形结合这俩图像都是关于点(1，0)对称，所以它们的交点也是关于点(1，0)对称，即一对对称交点的横坐标之和为2，总共有8对关于点(1，0)对称的点，再加上(1，0)点本身，即所有交点的横坐标之和为17。评注:本题首先要熟悉函数的图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点的特性，在这道题中，交点关于点(1，0)对称的，在这个前提下，求横坐标之和就转化成简单的中点问题。例4 已知函数y=f(x)，任取tR，定义集合:，A,{y|y,f(x)，点P(t，f(t)),t }，设，Q(x，f(x)，PQ,2M和m分别表示集合A中元素的最大和最小值ttt 记 h(t),M,m，则:tt (1)若函数f(x)=x，则h(1)= ,(2)若函数f(x)=sinx，则h(t)的最大值为 2 答案:(1)2;(2)2 解析:定义的意思是函数y=f(x)在以定点P(点P在函数图像上)为圆心半径为的圆内的部分，这部分函数图像的值域即 2At 1，1)，如下图所示，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这(1)定点P( 部分图像最大值为2，最小值为0，所以h(1)=2 ,x(2)对于f(x)=sin，函数最大值与最小值之差2，如下图所示，通过理解2 A观察，可得出能够同时包含最大值和最小值，所以h(t)的最大值为2，此t 时t=2k，k。 ,Z 评注:这是一道理解性的定义体型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像 9 数形结合分析就不难了。 sinx，x,[0，2],,,例5 (14闵行)对于函数f(x)=，有以下四个命题: ,1f(x,2)，x,(2，，,),,2 ?任取恒成立; x、x,[0，，,)，都有f(x),f(x),21212 ,?f(x)=2kf(x+2k)(k)，对于一切x恒成立; ,N,[0，，,) ?函数y=f(x)-In(x-1)有3个零点; k9?对任意x>0，不等式f(x)恒成立，则实数k的取值范围是 [，，,),x8则其中所有命题的序号是答案:?、? k解析:根据下图所示可知:?选项是，?选项反比例函数图像至少要满足点2 551(,)上，此时，k, 224 评注:数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确，才能避免差错 3、与解析几何的综合运用, 22例1 (14闸北)设曲线C:x，y，2,2(3x，y)，则曲线C所围封闭图形的面积为 32,，83答案: 3 解析:因为图像关于x轴、y轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限x>0，y>0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于x轴、y轴对称翻折，如，ABC,150:下图所示，根据题目数据，可得，AB=2，可以先算第一象限的面 32,，83积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4，全面积为。 3 10 数形结合评注:方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。 22变式由曲线所围成的封闭图形的面积为 x，y,x，y 答案:2+ , 2l例2 (14金山)已知直线:4x-3y+6=0，抛物线C:图像上的一个动点y,4x lP到直线与y轴的距离之和的最小值是答案:1 l解析:结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点P到直线与y轴的距离之 ,PH',1,PH'和，如下图所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1用点到直线距离公式求出来等于2，所以答案为1。 11 数形结合评注:注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了“抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离”这个性质，然后结合图像进行转化。 22xx22例3 (14金山)已知有相同焦点的椭圆，y,(1m,1)和双曲线,yF、F12mn=0( ) (n,0)，点P是它们的一个交点，则S,,FPF12 21;B.;C.2;D.1 A.22 答案:, 2解析:法一:如下图所示，由题意得: c,m,1,n，1，PF，PF,2m，PF,122 222 PF,2n，两式平方相减得:PF,PF,m,n,2，所以PF，PF,(PF，PF)1121212 22 ,PF,PF,4m,4,4c,FF，即PF,PF，得S,1121212 ,2Sbtan,法二:对于椭圆而言，焦点三角形的面积为，对于双曲线而言焦点三2 ,,,,2tancotSbcot,,，即,,角形面积，而这是同一个三角形，所以，所2222 12 数形结合以,。 S,,FPF12 评注:熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。 22,例,(14金山)设双曲线上动点,到定点Q(1，0)nx,(n，1)y,1，(n,N) 的距离三最小值是( ) d，则d,limnnn,，, 210A.;B.;C.;D.1 22 答案:, 11122解析:双曲线方程两边同时除以，得到x,(1，)y,，当n,，,，,0，nnnn 22即方程，即求点的距Q(1，0)到直线y,,xx,y,0，这就是方程的极限位置离，选, 评注:这是一类要考虑极限位置的极限体型，在高考中出现过类似的题目，一般找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的位置，。而像,想把d用n表示出来就复杂了n 例,(14闵行)若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条f(x，y),0 切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是( ) 22222x,4,y，1,0x，y,x,x,1,0A.;B.;C.;D. x，y,1,03x,xy，1,0 答案:, 解析:A、B、C、D选项图像依次如下图所示，根据题意，选, 评注:利用数形结合的方法，考查了含绝对值曲线方程的画法，一般根据图像的对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像，再结合题意解题。 ,、与向量的运用, G是,ABC的重心，过G作直线与AB、AC例,(14徐汇)如下图所示，已知点两 13 数形结合 xy边分别交于 M、N两点去，且AM,xAB，AN,yAC，则,x，y 1答案: 3 解析:法一:，， AM,xABM、G、N三点共线，设AG,,AM，,AN，有,，,,1 1G是重心，所以AG,，因为 AN,yAC,AG,,AM，,AN,,xAB，,yAC3 1111xy1 AB，AC，即x,y,，，,1，化简,,,333x3yx，y3 2取x,y,法二:取特殊值，。 3 评注:作为填空题，本题的第一做法是法二，同时也要知道具体过程，注意向量一些常用知识点及一些转化技巧。 ,,,,例,(14闵行)设i、j依次表示平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，且a,j ,,,,，a,2j,5,则a，2i的取值范围是 65答案:[，3] 5 ,,,,(1，0)a,j，a,2j,5解析:根据题意，的几何意义为一个点到的距离加上这 (0，2 )5个点到的距离等于，如下图所示，即到,点的距离加上到,点的距离等 5AB,5AB于，而，所以这个点的轨迹为线段，而我们要求的取值范围的几 -2，0AB何意义即转化成线段上的点到点()的距离的取值范围，最短距离是下 65CDCD,,因为BC,图中的长度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得 522，AC,3，距离的最大值为3。 14 数形结合评注:用代数的方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。 ABCDEF例3 (14徐汇)如下图所示，在边长为,的正六边形中，动圆的半Q径为,，圆心在线段 CD(含端点)三上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量 AP,mAB，nAF(m、n,R)，则m，n的最大值为 5答案: 5AP,(AB，AF)解析:如上图所示，。 2 评注:本题结合动态图像考查了向量的分解，要求能够理解题意，本题也可建系分析 5、与其他知识点的综合运用, S集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称(A，B，C)例1 (14浦东)用 A、B、C满足A,B,B,C,A,C,1，且A,B,C有序三元组。如果集合，则称有序三元组(A、B、C)为一最小相交，由集合{1，2，3，4}的子集构成,, 的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 15 数形结合 96答案: 解析:设A、B、C为，如下图所示，因为A,B,C，所以S, {1，2，3，4}的三个子集 A,B,B,C,A,C,1，所以M，M，M中个各有,不含任何元素，因为123 333一个元素，将的元素排入，有种方法，由题意得，还剩下的{1，2，3，4}中CP,P434 1一个元素，可排在种方法，由分步原理得P、Q、R，也可不排入，共有1，P,43 3。 4P,964 评注:本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型，从而使问 A、B、C题得到解决，当然也可以用列举法，，显然中{1，2，3，4}有15个非空子集 1个或者4个元素的子集不符合题意，A为含有2个或者3个元素的子集，,为含有列举即可求解。对于新定义题型，要善于将陌生问题化为熟悉模型，注重基本原理的运用。 ,例2 (14十三校联考)集合 S,({x，y，z)|x、y、z,N且x,y,z、y,z,x、，则下列选项正确z,x,y恰有一个成立}，若(x，y，z),S且(z，w，x),S 的是( ) (y，z，w),S，(x，y，w),S(y，z，w),S，(x，y，w),SA.;B.;C. (y，z， ;D. w),S，(x，y，w),S(y，z，w),S，(x，y，w),S 答案:, 解析:根据题意，可将题目中的定义画成直方图，如下图所示，各个元素只要在顺时针方向，即满足题目要求，就可得到答案。 16 数形结合评注:这是一个非典型的数形结合题型，题目的定义很抽象，但可以用图形将其具象化，从而能够更好的理解，帮助解题。 11A,{x|x,kt，，,t,1}，其中k,2，3，？？，2014，则所有A的交集例3 为 kk2ktk 5[2，]答案: 2 11k,2，3，？？，2014，所以,,1解析:因为，结合耐克函数的图像，如下图所2kk 111k,2，3，？？，2014时，k，递增，所以所,t,1，A,[2，k，]示，当，因为k2kkk 5A的交集为[2，]有。 k2 评注:本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像及函数的定义域，求值域问 A、题，难度不大，但学生可能会因为含参数,而产生畏惧心理，可让学生先求 2A、A，发现一般规律，再总结归纳。 34 17 数形结合 18

                    本文档为【数形结合例题选集】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
                    图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。 
 该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。

                    [版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。

                    本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。

                    网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
                

下载需要：免费已有0 人下载

立即下载

数形结合例题选集

你可能还喜欢