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工程制图基础.doc

工程制图基础

王德盛
2018-10-29 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《工程制图基础doc》,可适用于活动策划领域

工程制图基础第章点、直线、平面的投影第章点、直线、平面的投影在工程图样中为了在平面上表达空间物体的形状广泛采用投影的方法。本章介绍投影法的基本概念和如何在平面上表示空间几何要素(点、直线和平面)的方法。投影法的基本知识在日常生活中物体在光线的照射下就会在地面或墙壁上产生一个物体的影子。人们根据这一自然物理现象创造了用投影来表达物体形状的方法即:光线通过物体向选定的面投射并在该面上得到图形,这种现象就叫投影(projection)。这种确定空间几何元素和物体投影的方法称为投影法(projectionmethod)。投影法通常分为中心投影法(perspectiveprojectionmethod)和平行投影法(parallelprojectionmethod)两种。中心投影法如图所示设一平面P(投影面)与光源S(投影中心)之间有一个ABC(被投影物)。经投影中心S分别向ABC顶点A、B、C各引一直线SA、SB、SC(称为投射线)并与投影面P交于a、b、c三点。则a、b、c三点就是空间A、B、C三点在P平面上的投影abc就是空间ABC在P平面上的投影。S投影中心被投影物投射线C投影A投影面BacPb图中心投影法这种投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。中心投影法的投影中心位于有限远处该投影法得到的投影图形称为中心投影。由于中心投影法得到的物体投影的大小与物体的位置有关如果改变物体(ABC)与投工程制图基础影中心(S)的距离投影(abc)的大小也随之改变即不能反映空间物体的实际大小。因此中心投影法通常不用于绘制机械图样而用于建筑物的外观透视图等。平行投影法如图所示若将投影中心S沿一不平行于投影面的方向移到无穷远处则所有投射线将趋于相互平行。这种投射线相互平行的投影方法称为平行投影法。平行投影法的投影中心位于无穷远处该投影法得到的投影图形称为平行投影。投射线的方向称为投影方向。由于平行投影法中平行移动空间物体即改变物体与投影面的距离时它的投影的形状和大小都不会改变。平行投影法按照投射线与投影面倾角的不同又分为正投影法(Orthogonalmethod)和斜投影法(Obliqueprojectionmethod)两种:当投影方向(即投射线的方向)垂直于投影面时称为正投影法如图(a)所示当投影方向倾斜于投影面时称为斜投影法如图(b)所示。正投影法得到的投影称为正投影斜投影法得到的投影称为斜投影。CCAASSBBaaccPbbP(a)正投影法(b)斜投影法图平行投影法正投影法是机械图样绘制中最常用的一种方法。本教材后续章节中提及的投影若无特殊说明均指正投影。点的投影点(point)是构成形体最基本的几何元素,一切几何形体都可看作是点的集合。点的投影(pointprojection)是线(line)、面(surface)、体(body)的投影基础。点的单面投影如图所示已知投影面P和空间点A过点A作P平面的垂线(投射线)得唯一投影a。反之若已知点的投影a就不能唯一确定A点的空间位置。也就是说点的一个投影不能确定点的空间位置即:单面投影不具有“可逆性”。因此常将几何形体放置在相互垂直的两个或三个投影面之间然后向这些投影面作投影形成多面正投影。第章点、直线、平面的投影SAAa(a)P图点的单面投影及其空间位置关系点的两面投影如图(a)所示设置两个互相垂直的平面为投影面(projectionplane),其中一个是正立投影面(verticalprojectionplane)用V表示另一个是水平投影面(horizontalprojectionplane)用H表示V面和H面组成两投影面体系。两投影面的交线为投影轴(projectionaxis)用OX表示。a'a'a'VVAaaxxaxOOOXXXaaaHH(a)立体图(b)投影面展开后(c)投影图图点在V、H两面体系中的投影在两面投影体系中设一空间点A从A点分别向H面、V面作垂线(投射线)其垂足分别是点A的水平投影a和正面投影a,。由于Aa,V、AaH故投射面Aaa,OX轴并交于点a因此a,aOX、aaOX。XXX如图(a)中A点投影a、a,分别在H面、V面上要把两个投影表示在一个平面上按照国家制图标准规定:V面不动将H面绕OX轴、按图(a)中所示箭头的方向自前向下旋转与V面重合如图(b)所示称为点的两面投影图。由于投影面是无限的故在投影图上通常不画出它的边框线这样便得到如图(c)所示的点的两面投影图。从图(a)和图(c)根据立体几何知识可以知道平面Aaaa,为一矩形展开后aa,X形成一条投影连线并与OX轴交于点a且aa,OX轴。同时a,a=Aa反映点A到H面的XX距离aa=Aa,反映点A到V面的距离。X工程制图基础这里需要说明的是:规定空间点用大写字母表示(如A)点的水平投影用相应的小写字母表示(如a)点的正面投影用相应的小写字母并在右上角加一撇表示(如a,)。从上面可以概括出点的两面投影特性:()点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴即:aa,OX)点的正面投影到OX轴的距离等于点到H面的距离点的水平投影到OX轴的距离(等于点到V面的距离即:a,a=Aaaa=Aa,。XX点的三面投影虽然点的两面投影已能确定该点的位置但为了更清楚地图示某些几何形体在两投影面体系的基础上再增加一个与V面、H面都垂直的侧立投影面(profileprojectionplane),用W表示如图(a)所示。三个投影面之间两两相交产生三条交线即三条投影轴OX、OY、OZ它们相互垂直并交于O点形成三投影面体系。ZZZaaa'zza'a'a"Wa"VVAa"WaaOOxxaYXOWYXXWaaYWYWaayaaHaaYHYHYHYHYH(a)立体图(b)投影面展开后(c)投影图图点在V、H、W三面体系中的投影如图(a)所示:从A向W面作垂线(投射线)垂足即为A点的侧面投影记作a,。这里需要指出的是规定点的侧面(W面)投影用空间点的相应小写字母右上角加两撇表示。在三投影面体系中三条投射线每两条可以确定一个投射面即平面Aaa,、Aaa,、Aa,a,,它们分别与三投影轴OX、OY、OZ交于点a、a、a。XYZ为了将三个投影a、a,、a,表示在一个平面上参照两面投影体系根据国家制图标准规定:V面不动H面、W面按图(a)中箭头所示方向分别绕OX轴自前向下旋转、绕OZ轴自前向右旋转。这样H面、W面与V面就重合成一个平面。这里投影轴OY被分成Y、Y两支随H面旋转的OY轴用OY表示随W面旋转的OY轴用OY表示且OYHWHW轴上的a点也相应地用a、a表示如图(b)。与两面投影体系一样投影图上不画边YYHYW框线得到空间点A在三投影面体系中的投影图如图(c)。在投影图中OY轴上的点aY因展开而分成a、a。为了方便作图可以过O点作一条的辅助线aa、a,a的延YHYWYHYW长线必与该辅助线相交于一点。从图(a)和图(c)同样根据立体几何知识可知:展开后a,a,形成一条投影连线并与OZ轴交于点a且a,a,OZ轴。同时a,a=a,a=Aa反映点A到H面的距离ZXYWa,a=aa=Aa,反映点A到W面的距离a,a=aa=Aa,反映点A到V面的距离。ZYHZX第章点、直线、平面的投影从上面可以概括出点的三面投影特性:()点的投影连线垂直于相应的投影轴即:aa,OXa,a,OZ()点的投影到相应投影轴的距离等于点到相应投影面的距离即:a,a=a,a=AaXYWa,a=aa=Aa,a,a=aa=Aa,。ZYHZX利用点在三投影面体系中的投影特性只要知道空间一点的任意两个投影就能求出该点的第三面投影(简称为二求三)。点的三面投影与直角坐标的关系如图(a)若将三投影面当作三个坐标平面三投影轴当作三坐标轴三轴的交点O作为坐标原点则三投影面体系便是一个笛卡儿空间直角坐标系。因此空间点A到三个投影面的距离也就是A点的三个直角坐标X、Y、Z。即点的投影与坐标有如下关系:点A到W面的距离Aa,=a,a=aa=Oa=XZYHXA点A到V面的距离Aa,=a,a=aa=Oa=YZXyA点A到H面的距离Aa=a,a=a,a=Oa=Z。XYWXA由此可见若已知A点的投影(a、a,、a,)即可确定该点的坐标也就是确定了该点的空间位置反之亦然。从图(b)可知点的每个投影包含点的两个坐标点的任意两个投影包含了点的三个坐标所以根据点的任意两个投影也可确定点的空间位置。ZZaaZVZa'a'a"XAYZa"YWaOXZOXYXWaaYWXXaaYaaYHHYYH(a)立体图(b)投影图图点的三面投影与直角坐标【例】已知A点的直角坐标为()求点A的三面投影(图样中的尺寸单位为mm时不需标注计量单位)。〖解〗步骤如下:()作相互垂直的两条细直线为投影轴并且过原点O作一条辅助线平分YOY。HW依据X=Oa沿OX轴取Oa=mm得到点a如图(a)AXXX()过点a作OX轴的垂线在此垂线上依据Y=Oa从a向上取aa,=mm得XAyXX到点A的正面投影a,依据Z=Oa从a向下取aa=mm得到点A的水平投影a如图AXXX(b)()现已知点A的两面投影a,、a可求第三投影。即:过a作直线垂直于OY并与H工程制图基础辅助线交于一点过此点作垂直于OY的直线并与过a,所作OZ轴的垂线a,a的延长线交WZ于a,a,即为点A侧面投影如图(c)。(也可不作辅助角平分线而在a,a的延长线上直Z接量取aa,=aa而确定a,)。ZXZZZaZa"a'a'OOOXYWYYaXXWWXaaXXaaYHYYHH(a)(b)(c)图由点的坐标求其投影两点的相对位置及重影点两点的相对位置空间两点的相对位置是指它们之间的左右、前后、上下的位置关系可以根据两点的各同面投影之间的坐标关系来判别。其左右关系由两点的X坐标差来确定X值大者在左方其前后关系由两点的Y坐标差来确定Y值大者在前方其上下关系由两点的Z坐标差来确定Z值大者在上方。(a)中可以直观地看出A点在B点的左方、后方、下方。在图(b)中也可从在图坐标值的大小判别出同样的结论。ZZVb'b"b'a"a'a'b"ABWOa"OXYWaabHbYHY(a)立体图(b)投影图图两点的相对位置重影点(overlappingpoints)若空间的两点位于某一个投影面的同一条投射线上则它们在该投影面上的投影必重合这两点称之为对该投影面的重影点。重影点存在着在投影重合的投影面上的投影有一个可见而另一个不可见的问题。如图(a)A、B两点的水平投影重合沿水平投影方向从上往下第章点、直线、平面的投影看先看见A点B点被A点遮住则B点不可见。在投影图上若需判断可见性应将不可见点的投影加圆括号以示区别如图(b)。需要指出的是空间两点只能有一个投影面的投影重合重影点的可见性判断方法如下:()若两点的水平投影重合称为对H面的重影点且Z坐标值大者可见)若两点的正面投影重合称为对V面的重影点且Y坐标值大者可见(()若两点的侧面投影重合称为对W面的重影点且X坐标值大者可见。上述三原则也可概括为:前遮后上遮下左遮右。ZZVa'a'a"Aa"b'b'b"WOOYXXWb"Ba(b)Ha(b)YHY(a)立体图(b)投影图图重影点及可见性直线的投影空间任意两点确定一条直线因此直线的投影(lineprojection)就是直线上两点的同面投影(同一投影面上的投影)的连线。需要注意的是直线的投影线(空间直线在某个投影面上的投影)规定用粗实线画。如图所示直线的投影一般仍为直线(如图中直线CE)但在特殊情况下当直线垂直于投影面时其投影积聚为一点(如图中直线AB)。此外点相对于直线具有从属性如图中D点属于CE则同面投影中d属于ce。AEDCBca(b)deH图直线的投影工程制图基础各种位置的直线在三面投影体系中直线相对于投影面的位置有三种:投影面的平行线、投影面的垂直线、一般位置直线。前两种又统称为特殊位置直线。另外根据国家标准规定:空间直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角且直线与H、V、W三个投影面的夹角依次用,、,、,表示。投影面的平行线(parallellineofprojectionplane)平行于某一投影面而倾斜于另两投影面的直线称为投影面的平行线。根据直线所平行的投影面的不同又可分为:水平线(horizontalline)平行于H面倾斜于V、W面的直线正平线(frontalline)平行于V面倾斜于H、W面的直线侧平线(profileline)平行于W面倾斜于V、H面的直线。表列出了这三种平行线的立体图、投影图及其投影特性。表投影面的平行线投影特性投影图立体图直线的位置ZVb,,ba,a,a,b,a,a'b'OXA,,a"b"ABb,BW水平线O,、,角大小O反映XXYWaa,,,,bHbYHZZcdOXVd,d,d,c,,d,,OZ,,cd,CDDd,,,c,c,c,W反映,、,角大小正平线O,OXXYWC,c,cdcHdYYHZZe,Ve,ee,,f,OZe,E,e,f,OY,B,,f,f,f,W侧平线,,c,,f,,EFOOXXYWef,e反映,、,角大小FffHYYH从表可以概括出投影面平行线的投影特性:()直线平行于某投影面则直线在该投影面的投影反映实长且该投影与投影轴的夹角分别反映直线对另外两投影面的真实倾角。第章点、直线、平面的投影()直线另两个投影面的投影平行于相应的投影轴且不反映实长比实长短。投影面的垂直线(verticallineofprojectionplane)垂直于某一投影面(必与另外两个投影面平行)的直线称为投影面的垂直线。根据直线所垂直的投影面的不同又可分为:铅垂线(verticalline)垂直于H面平行于V、W面的直线正垂线(horizontalprofileline)垂直于V面平行于H、W面的直线侧垂线(frontalprofileline)垂直于W面平行于V、H面的直线。表列出了这三种垂直线的立体图、投影图及其投影特性。表投影面的垂直线立体图投影图直线的位置投影特性ZZab积聚为一点Va'a'a'b'OXa"a"b"OYWAa"a'b'=a"b"=ABb'b'b"铅垂线OOXXYWBb"a(b)a(b)YHYZZVc'd'积聚为一点c'(d')c'(d')d"c"cdOXDd"c"d"OZc"Ccd=c"d"=CD正垂线OOXXYWddccYHYZZVe"f"积聚为一点"e"'(f)e'f'fe'efOYHe'f'OZe"FE侧垂线ef=e'f'=EFO"(f)XXYWOefefYHY从表可以概括出投影面垂直线的投影特性:()直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。()直线另两个投影面的投影垂直于相应的投影轴并反映实长。一般位置直线(generalpositionline)倾斜于各投影面的直线称为一般位置直线。如图(a)所示空间直线AB对三个投影面都是倾斜关系则直线的三面投影分别为ab=ABcos,,a,b,=ABcos,,a,b,=ABcos,均小于实工程制图基础长AB。图(b)为直线AB的三面投影图其投影特性是:()三面投影都倾斜于投影轴且投影长度小于空间直线的实长。()投影与投影轴的夹角不反映空间直线对投影面的倾角。ZZb'b'b"VBa'a'a"b"γβAαa"OYXXWObbaaYHY(a)立体图(b)投影图图一般位置直线的投影两直线的相对位置空间两直线的相对位置关系有三种:平行(parallel)、相交(intersection)和交叉(cross)。其中平行和相交属于共面直线交叉是异面直线。平行两直线若空间两直线相互平行则它们的同面投影必相互平行。如图(a)空间两直线ABCD因为两投射平面ABbaCDdc所以在H面上的投影abcd。同理可以得到a,b,c,d,a,b,c,d,如图(b)。反之若两空间直线的同面投影是相互平行的则该两直线在空间是平行关系。Zd'd"c'c"DCb'b"Ba"a'AOYXWccaadbdbYH(a)立体图(b)投影图图平行两直线第章点、直线、平面的投影相交两直线若空间两直线相交则它们的同面投影必相交且其交点符合点的投影规律。如图(a)空间两直线AB、CD相交于点K因交点K在两直线上故其投影也应在两直线的同面投影线上。因此空间相交两直线的同面投影一定相交且交点的投影符合点的投影规律如图(b)。反之若空间两直线的同面投影相交且交点的投影符合点的投影规律则该两直线在空间必定是相交关系。ZAa"a'd"d'Dk"Kk'c'c"Cb"b'OBXYWddaakbcHkbcYH(a)立体图(b)投影图图相交两直线交叉两直线空间两直线既不平行又不相交的是交叉直线。交叉两直线的同面投影可能相交如图(a)但投影交点是两直线对该投影面的一对重影点图中ab与cd的交点分别对应AB上的点和CD上的点按重影点可见性的判别规定对于不可见点的投影加括号表示。交叉两直线同面投影的交点不符合点的投影规律如图(b)。a''d'AID'(')'(')'c'CIIb'BOXaIVdad()bcIIIH()bc(a)立体图(b)投影图图交叉两直线工程制图基础【例】已知如图(a)所示两侧平线判断其是否平行。分析:两直线处于一般位置时只要其任意两面投影相互平行即可判断空间两直线相互平行。但是当两直线同时平行于某一投影面时则要检验两直线在所平行的投影面上的投影是否平行才可判断空间两直线是否平行。如图(b)虽然abcd、a,b,c,d,但是,b,不平行于c,d,因此空间直线AB与CD不平行是交叉两直线。aZZc"c'c'a"a'a'd"d'd'b"b'b'OOYWXXYWddaaccbbYHYHH(a)已知条件(b)作图过程与结果判断两直线是否平行图【例】已知如图(a)所示一般位置直线AB与侧平线CD判断其是否相交。Zc"Zc'c'b'b'b"d"d'd'a'a'OOa"YXWXYWddaabbccYHYH(a)已知条件(b)作图过程与结果图判断两直线是否相交分析:对于两条一般位置直线通常只要其任意两面投影分别相交且交点符合点的投影规律则可判断空间两直线相交。但是当两直线中有投影面平行线时则要检验它所平行的那个投影面上的投影才能判断是否相交。如图(b)a,b,与c,d,虽然相交但该交点与两直线正面投影交点的连线与Z轴不垂直即:交点不符合点的投影规律因此两直线不相交为交叉两直线。第章点、直线、平面的投影平面的投影平面的表示法在投影图上表示空间平面可以用下列几种方法来确定:()不在同一直线的三点如图(a)所示()一直线和该直线外一点如图(b)所示()两条平行直线如图(c)所示()两条相交直线如图(d)所示()任意的平面图形(如三角形、四边形、圆等)如图(e)所示。以上几种确定平面的方法是可以相互转化的且以平面图形来表示最为常见。b'b'b'b'b'd'c'c'c'c'c'a'a'a'a'a'XOXOXOXOXObbbbbdcccccaaaaa(a)(b)(c)(d)(e)图用几何元素表示平面各种位置平面及其投影特性在三面投影体系中平面相对于投影面有三种不同的位置:投影面垂直面垂直于某一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面投影面平行面平行于某一个投影面的平面一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面。通常我们将前两种统称为特殊位置平面。平面对H、V、W三投影面的倾角依次用,、,、,表示。平面的投影(planesprojection)一般仍为平面特殊情况下积聚为一直线。画平面图形的投影时一般先画出组成平面图形各顶点的投影然后将它们的同面投影相连即可。下面分别介绍各种位置平面的投影及其特性。投影面的垂直面(Verticalplaneofprojectionplane)在投影面的垂直面中只垂直于V面的平面称为正垂面只垂直于H面的平面称为铅垂面只垂直于W面的平面称为侧垂面。表列出了三种垂直面的立体图、投影图及其投影特性。由表可以概括出投影面垂直面的投影特性:()平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线该直线与投影轴的夹角反映工程制图基础该平面对另外两个投影面的真实倾角()另外两个投影面上的投影均为小于空间平面图形的类似形。投影面的平行面(Parallelplaneofprojectionplane)在投影面的平行面中平行于H面的平面称为水平面平行于V面的平面称为正平面平行于W面的平面称为侧平面。表投影面垂直面平面的位置立体图投影图投影特性ZZ水平投影积聚成V一直线并反映真实倾角p,p,p,,、,。W铅垂面XXYPp,W正面投影、侧面投OO影不反映实形为空间平,,,pp,面的类似形。HYYHZZV正面投影积聚成q,q,一直线并反映真实倾角,,,q,,,、,。Wq,Q正垂面XXY水平投影、侧面投WOO影不反映实形为空间平qq面的类似形。HYHYZZ,V侧面投影积聚成r,r,r,一直线并反映真实倾角,,,、,。r,R,W侧垂面OXYXW水平投影、正面投O影不反映实形为空间平rr面的类似形。HYYYH表列出了三种平行面的立体图、投影图及其投影特性。由表可以概括出投影面平行面的投影特性:()在所平行的投影面上的投影反映实形()另两个投影面上的投影均积聚为平行于相应投影轴的直线。第章点、直线、平面的投影表投影面平行面平面的位置立体图投影图投影特性ZZ水平投影反映实Vp'p'p"形正面投影、侧面p"投影均积聚为直线P水平面且分别平行于XXYWOOOX、OYW轴ppYHYZZ正面投影反映实V形q"q'q'水平投影、侧面投影均积聚为直线正平面QY且分别平行于XOX、OZXWq"OO轴qqYHYZZ侧面投影反映实V形水平投影、正面r"r'r'投影均积聚为直线侧平面r"RY且分别平行于XXWOOOYH、OZ轴rrYHY一般位置平面(generalpositionplane)一般位置平面与三个投影面都是倾斜关系如图所示。ZZVb'b"b'Bc'b"c'c"a'a'a"Wa"OAYXXOWc"bCbaaHcYcYH(a)立体图(b)投影图图一般位置平面工程制图基础一般位置平面的投影特性是:三面投影均是小于空间平面图形的类似形不反映实形也不反映空间平面对投影面的倾角真实大小。特殊位置平面的迹线(vestigeline)表示法当平面垂直于投影面而在投影图上只需要表明其所在位置时则可以用平面与该投影面的交线迹线来表示。用迹线表示垂直平面时是用粗实线画出平面有积聚性的迹线并注上相应的标记即可如图所示。平面P与H面的交线称为水平迹线用P标记平面Q与V面的交线称为H正面迹线用Q标记。VQVVVQVOOXOXXXPHPH(a)铅垂面的迹线表示(b)水平面的迹线表示图用迹线表示特殊位置平面平面上的点和直线点和直线在平面上的几何条件是:()平面上的点必定在该平面的某条直线上。由此可见在平面内取点必须先在平面内取直线然后在此直线上取点。()平面上的直线必定通过平面上的两点或者通过平面内一点且平行于平面内任一条直线。图给出了上述几何条件的立体图图是其投影图。ABFADAMECNKCBCB(a)点在平面ABC内的条件(b)直线在平面ABC内的条件图平面上的点和直线立体图b'a'b'c'm'e'k'c'n'c'f'b'a'd'a'OOOXXXabdafmaecnkbccb(a)点在平面ABC内(b)直线在平面ABC内图一般位置平面内取点、线投影图第章点、直线、平面的投影特殊位置平面由于其所垂直的投影面上的投影积聚成直线因此这类平面上的点和直线在该平面所垂直的投影面上的投影位于平面有积聚性的投影或迹线上如图。a'b'n'k'm'n'k'c'm'OXOXakcnkmmPHnb(a)在三角形平面内取点线(b)在迹线面内取点线图特殊位置平面内取点、线投影图【例】如图(a)已知平面ABC以及点D的两面投影求:()判断点D是否在平面上()在平面上作一条正平线EF使EF到V面距离为mm。b'b'b'e'''m''fd'd'c'c'c'a'a'a'XOXOXOaaacccddmefbbb(a)已知条件(b)判断点D是否在平面上(c)求正平线EF图判断点是否在平面上及平面上取线〖解〗分析与作图()D点若在ABC平面内的某条直线上则点D在平面上否则就不在平面上。判断方法如图(b)所示:连接ad并延长交bc于点m在b,c,上作出m对应的正面投影点m,连接a,m,则AM必在平面ABC上但d,不在a,m,上故点D不在平面上。()因为EF是正平线根据正平线的投影特性EF的水平投影应平行于OX轴且到OX轴的距离为EF到V面的距离。因此先从水平投影开始作图。如图(c)作ef平行于OX轴且到OX轴的距离为mm。ef交ab、bc于点、分别在a,b,、b,c,上作出其对应点,、,连接,、,即得e,f,。ef、e,f,即为直线EF的两面投影。【例】如图(a)已知平面四边形ABCD的正面投影和AB、BC的水平投影试完成该四边形的水平投影。〖解〗分析与作图四边形的四个顶点在同一平面内已知A、B、C三点的投影。因此本题实际上是已知平面ABC上一点D的正面投影d,求其水平投影d。如图(b)可以先连接ac和a,c,再连接b,d,交a,c,于e,在ac上作出e,的对应点e连接be并在其延长线上作出d,的对应点d。工程制图基础最后连接ad和cd即完成四边形的水平投影。d'd'c'c'e'a'a'b'b'XOXOaaccebb(a)已知条件(b)作图过程与结果图完成四边形的水平投影直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置分为平行和相交两种。其中直线位于平面上或两平面共面是平行的特例而垂直是相交的特殊情况。下面只讨论直线与平面、平面与平面的相对位置中有特殊位置直线或者特殊位置平面的情况。平行(直线与特殊位置平面平行直线与平面平行的几何条件是:空间直线平行于平面上的任意一条直线则该直线与平面平行。这样将直线与平面平行的问题转化成直线与直线平行的问题。如图当平面为投影面的垂直面时只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影线平行或直线为该投影面的垂线则直线与平面也必定平行。e'Eh'c'Ca'AHd'D'fg'b'BFXOGe(f)ca(b)e(f)a(b)cdh(g)dh(g)(a)立体图(b)投影图图直线与特殊位置平面平行第章点、直线、平面的投影(两特殊位置平面平行两平面平行的几何条件是:一平面内的两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线则这两个平面相互平行。如图当两平面同为某一投影面的垂直面时只要它们所垂直的投影面上的投影平行则两平面必定平行。e'Eh'c'CHb'B'fg'Aa'FXOOaGe(f)ae(f)cch(g)bbh(g)(a)立体图(b)投影图图两特殊位置平面平行相交直线与平面、平面与平面在空间不平行必相交。其中直线与平面相交有一个交点该点是直线与平面的共有点两平面相交有一条交线该交线是两平面的共有线。因为两点确定一直线所以求交线时可以转化为求交线上的两点。(直线和特殊位置平面相交如图由于平面DEF的水平投影有积聚性因此交点K的水平投影k必在ab上这样直接确定直线AB和DEF的交点K的水平投影然后根据K点在AB直线上作出K点的正面投影k,。d'DAa'''(')k'fKFb'EBe'XOaaffkdkebbde(a)立体图(b)投影图图直线和铅垂面相交直线与平面图形重影的部分有可见和不可见之分判别可见性的方法通常利用交叉直线的重影点。由图可见交点K把直线AB分成两部分在投影图上直线未被平面遮住部分的投工程制图基础影为可见画成粗实线被平面遮住部分的投影为不可见画成虚线所以交点是可见与不可见的分界点。如图(b)取交叉直线DE、AB对V面的重影点、由,、,作出、由于点的Y坐标较大故,可见,不可见则k,,也为不可见用虚线画出k,为a,b,的可见性分界点k,b,段可见用粗实线画出。也可以用“上遮下、前挡后”的直观法进行判别:由水平投影可以看出直线AB的KB段位于平面DEF的前面因而KB段正面投影可见用粗实线画出可类似判断出KA段正面投影不可见。(一般位置平面和特殊位置平面相交求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题。如图(a)欲求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线只要求出属于交线的任意两点(如M、N)就可以了。显然M、N是AC、BC两边与铅垂面DEF的交点利用一般线与特殊面交点的求法(如图)即可求得。交线求出后需要对两平面重影部分判断可见性。方法同线、面相交时的可见性判别通常运用重影点来判断但要注意两平面的交线总是可见的应用粗线画出其他如图(b)所示。d'DCc'n''(')Nb'Me'm'EB'fa'XOFcAcdfdfenmnmbbaea(a)立体图(b)投影图图一般位置平面与铅垂面相交换面法空间直线或平面在投影体系中处于特殊位置时投影反映实长、实形及对投影面的倾角但当它们是一般位置时就没有这些投影特性。这时如能通过变换投影面的方法把它们由一般位置变换成为特殊位置,就可以使这些问题得以解决换面法就是常用的一种方法。基本概念如图在VH两面体系中AB为一般位置直线其投影ab、a,b,均不反映实长与倾角。现用平行于AB且垂直于H面的V面来替换V面则使原VH投影体系中的一般位置直第章点、直线、平面的投影线变换为新VH投影体系中的V面的平行线在V面上的投影便反映了AB直线的实长及其与水平面的夹角。这种用V面替换V面的方法称为换面法。如图有下列一些基本概念:a'a'AOOb'aBb'XbX图换面法的投影关系)原投影面体系VH体系)原轴OX轴)新投影面体系VH体系)新轴OX轴)被替换投影面V面)保留投影面H面)新投影面V面)被更换投影V面投影a,b,)保留投影H面投影ab)新投影V面投影a,b,。显然新投影面是不能任意选取的必须满足下列两个条件:()新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。()新投影面必须垂直于一个不变投影面以构成新的投影面体系。点的一次换面点是最基本的几何元素因此点的一次换面是一切换面法的基础。由于换面法是在两投影面体系基础上进行的一次只更换一个投影面所以有两种换法:更换V面或更换H面。下面仅讨论更换V面更换H面的情形类似于更换V面。如图(a)在VH体系中有一空间点A其水平投影为a正面投影为a,。取一铅垂工程制图基础面V替换原正投影面V形成一个新的投影体系VH。过A点作V面垂线得到A点在V面上的正投影a,。则a,是被替换投影a是保留投影a,是新投影。a'a'a'AVXOaHXOOOaaXa'aXaXaHVXXVa'X(a)原理(b)作图图点的一次换面(更换V面)从图(a)可知a,a=Aa=a,a。当V面沿图示方向旋转后a与a,的连线垂直XX于OX。由此可以得到点的换面规律:()新投影和保留投影的连线垂直于新轴即aa,OX()新投影到新轴的距离等于被替换投影到原轴的距离即a,a=a,a。XX根据上述换面规律点的一次换面过程如图(b)作图步骤如下:()根据解题需要在适当位置画出新投影轴OX()自保留投影a作OX的垂线(即新的投影连线)交OX于aX()在垂线延长线上量取a,a=a,a即得到新投影a,。XX换面法的应用换面法可以把一般位置直线变换成新投影面的平行线把平面变换成新投影面的平行面。下面讨论只需一次换面的应用实例:求一般位置直线的实长及其对投影面的倾角如图求直线AB的实长及其对H面的倾角,。由图可见在VH投影体系中AB为一般位置直线其两面投影均不反映实长和倾角。根据投影面平行线的投影特性知正平线的正面投影反映实长及其,角且其水平投影平行于投影轴。因此需用新的V面替换V面使VAB且垂直于H面构成新的两面体系VH直线在V上的投影就反映实长及其,角。图(b)是其投影图作图步骤如下:()在适当的位置作OXab()按照点的换面规律在新投影面V上分别作出A、B两点的新投影a,、b,()连接a,、b,则a,b,=AB实长并且a,b,与OX的夹角就是AB对H面的倾角,。若在VH投影体系中用新的H面替换H面使HAB且垂直于V面构成新的两面第章点、直线、平面的投影体系VH则可求出AB的实长和,角如图(c)作图步骤如下:aOa'a'a'bHb'b'b'VVVVXOXXOXOHHHaaaObbbHXVb'a'(a)已知投影条件(b)求实长和,(c)求实长和β图用换面法求直线的实长和倾角()在适当的位置作OXa,b,()按照点的换面规律在新投影面H上分别作出A、B两点的新投影a、b()连接a、b则a=AB实长并且a与OX的夹角就是AB对V面的倾角。,(b)(b)这里需要说明的是:新投影面到直线AB的距离远近与所得的结果无关因此在投影图上新轴距离保留投影的远近可以是任意的。如图(b)中OX与ab的距离、图(c)中OX与a,b,的距离是任意确定的只需要选择合适位置方便作图即可。求垂直面图形的实形如图(a)平面ABC为一铅垂面其水平投影有积聚性正面投影为ABC的类似形但不反映实形。为求ABC的实形需用新的V面替换V面使VABC。因ABC为铅垂面则V面必垂直于H面即V面、H面构成新的两面投影体系VH。根据投影面a'a'a'Ac'c'Cc'b'OVOXOHcOcb'aVaBc'b'bXHbXb'Xa'(a)立体图(b)投影图图用换面法求铅垂面的实形工程制图基础平行面的投影特性ABC在V中的投影a,b,c,反映实形且abcOX。投影图如图(b)作图步骤如下:()在适当的位置作OXabc()按照点的换面规律在V上分别作出A、B、C三点的新投影a,、b,、c,)顺次连接a,、b,、c,得到a,b,c,即为ABC的实形。(思考题试述点在三面投影体系中的投影规律。试述各种位置直线的投影特性。如何判断交叉两直线在投影图中重影点的可见性,试述各种位置平面的投影特性。直线与平面平行、两平面平行的几何条件是什么,如何判断线面相交、面面相交时的可见性,换面的实质是什么,换面法需要满足什么条件,如何求解一般位置直线的实长及倾角和垂直面的实形,

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