函数的零点
无锡市第一中学 倪乾峰 一、教学内容:(苏教版必修一)?2.5.1 函数的零点
二、教学目标:
1、知识和技能 通过本节的学习,学会结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的
存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程的关系。
2、过程与方法 从具体的一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与X轴交点横坐
标之间的关系到一般的求方程的根与零点的求法,揭示方程的根与对应的函数的零点
之间的关系。
3、情感态度价值观 体会函数的零点与方程根之间的关系,初步形成函数观点处理问题
的意识。
三、教学过程:
(一)、问题提出
情景引入: 跳水皇后郭晶晶入水前瞬间的图片及其入水后的瞬间(
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) (感受穿过水面时的瞬间)
2x,2x,3,01. 求关于的方程的实根.(ppt) x
32x,x,1,02. 求关于的方程的实根.(ppt) x
T: 会求吗?(提问S)
那我们就试着寻找求方程实根的其他途经?回到刚才的二次方程(ppt),
3或-1这两个实根还可以用其他的方式来解释吗?(提问S)
根据图像二次方程的实根与该函数的图像之间的关系(提问S)(ppt)
(引出函数零点的定义)
(二)、新授
y,f(x)y,f(x)一般地,我们使函数值为0的实数称为函数的零点。(ppt) x
T: 根据函数零点的定义,如何来求函数的零点呢?(提问S)(ppt)
这两种求法体现出数学的重要思想方法---数形结合
T: 对于二次函数的零点问题,我们先来复习巩固一下(ppt)
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2?=b-4ac ?>0 ?=0 ?<0 22ax,bx,c,0 b,b,b,4ac==- 方程无实数根 x12x= x1,22a(a>0) 2a
2fx() = x-3()+22fx() = x-x-1
yyy
2 y,ax,bx,c
(a>0)
xx00=xxxx0x1221
(三)、例题
例1、填空:
21,2,1,2函数的零点为(ppt) f(x),x,2x,1
2 解:?x-2x-1=0 ?(不板
书
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) x,1,2or1,2
T: 有时候对于二次方程我们并不关心它的实根是什么?而只需要探究实根的个数,那么
我们不求根来证(ppt)
2例2、求证:函数由两个不同的零点. f(x),x,2x,1
2 (提问s)证法:??=4-4×(-1)=20,0
2x,2x,1,0 ?方程有两个不相等的实数根(板书)
T:这是从代数的角度来证明的,能否再从图象的角度来解释呢? (提问s)
图像与x轴有两个不同的交点(ppt),也就是说图像上有且仅有两个点在x轴上,那么
图像上的其他点与x轴的位置关系呢?(提问S)
既然有的在x轴上方有的在x轴下方,能不能说明有点在x轴上了?
也就是说在x轴上方和下方都有图像.必与x轴相交了.
那么我们就可以从图像的角度来解释了?(ppt)
下面我们再从数的角度来解释这段话,在x轴下方有图像(提问S),在x轴上方有图像
先看左支(提问S),再看右支(提问S).
回过来看一下我们的解法,我们惊奇的发现了一种不用判别式,以及求根公式就可以
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判断二次函数在区间上有零点的方法.好我们再找一个二次项系数为负的二次函数来
验证刚才的解法(ppt),然后请同学们自己
总结
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(提问S)
2 例3:函数f(x),,x,2x,1在(,1,1)和(1,3)上是否有零点?
(根据学生给出的区间加以调整)
f(,1)f(1),0,f(1)f(3),0板书:,即在给定区间上都有零点. 结论:
若一元二次函数y,f(x)在区间[a,b]上满足f(a),f(b),0,则y,f(x)在
(a,b)上有零点.(提问S)
将这个结论中的二次函数推广到一般的函数结论还成立吗?(ppt) 若定义在区间[,1,1]函数y,f(x)上满足f(,1),f(1),0,则下面函数图象中在
(,1,1)上有零点是A,Dy
y
,1,1 1xx010
BA y
y
,10.51x0,1 01x
D
C
y,f(x)[a,b]函数零点存在性的判定:一般地,若函数在区间上地图像是不间断的曲线,且f(a)f(b),0y,f(x)(a,b),则函数在区间上有零点.
思考: 零点唯一吗?反之成立吗?试举例说明.(提问S)ppt
32(问题解决) 判断(ppt)(提问S) 方程x,x,1,0在(,2,,1)上是否有的实根.
32解:设即在区间上有实根. f(x),x,x,1,f(,2)f(,1),0.
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32T: 判断? (ppt) 方程x,x,1,0在(,1.5,,1)上是否有的实根.实根到底是多少呢?我们将在下一节课要解决这个问题.
(五)小结:
y,f(x)f(x),0y,f(x)(1) 函数的零点方程的实数根函数的图象与轴有,,x
交点的横坐标。
y,f(x)[a,b](2) 函数零点存在性的判定:一般地,若函数在区间上的图像是不间断的曲
f(a)f(b),0y,f(x)(a,b)线,且,则函数在区间上有零点.
2x,2x,m,0备用1: 已知关于的方程的两实根α,β,满足,2,α,-1,β,1,求x
实数m的取值范围。
2解:令. f(x),x,2x,m
m(m,1),0.?f(-2)f(-1),0,即即 ?,2,,,,10,m,1
(m,1)(m,3),0又?-1,β,1 ?f(-1)f(1),0,即,即 ,3,m,1综上所述实数m的取值范围为(0,1)。
4x备用探究.:判断并证明方程根的个数, 2,x,,03
4x2f(x),g(x),x,分析:令,作出在同一坐标系中的图像 3
发现有两个不同的交点。
4xf(x),2,x,解:令 3
11?f(-1)f(0)=×(-),0 63
?f(x)的一个零点在(-1,0)内。
同理另一个零点在(1,2)内,
即原方程有两个根,在(-1,0)和(1,2)内。
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