圆的直径式方程在解题中的妙用

圆的直径式方程在解题中的妙用圆的直径式方程在解题中的妙用高中教学教与学 .短文集锦o 2011年圆韵直径式方程在怒题中的妙用曾庆宝 (广西贺州第二高级中学,542800) 我们知道,如果M(,Y,),(,Y2)是已知圆的直径的两个端点,p(x,,,)是该圆上的任意一点,则借助两个向量=(—.,Y — Y.),?p=(—,y一)垂直的等价条件, 很容易得到圆的方程为 (一1)(—2)+(Y—Y1)(y—y2)=0. 常称此方程为圆的直径式方程.若已知直径两端点,则很容易求出圆心和半径,从而得到圆的方程,何必要如此...

圆的直径式方程在解题中的妙用高中教学教与学 .短文集锦o 2011年圆韵直径式方程在怒题中的妙用曾庆宝 (广西贺州第二高级中学,542800) 我们知道,如果M(,Y,),(,Y2)是已知圆的直径的两个端点,p(x,,,)是该圆上的任意一点,则借助两个向量=(—.,Y — Y.),?p=(—,y一)垂直的等价条件, 很容易得到圆的方程为 (一1)(—2)+(Y—Y1)(y—y2)=0. 常称此方程为圆的直径式方程.若已知直径两端点,则很容易求出圆心和半径,从而得到圆的方程,何必要如此求方程?下面举例介绍圆的直径式方程在解题中的妙用. 例1已知0为坐标原点,点A为(4,2), 设点P是线段OA的垂直平分线上的一点,若 /OPA为钝角,试求点P的横坐标的取值范围. 解由圆的直径式方程,可得以OA为直径的圆的方程为 (一4)+y(),一2)=0. /OPA为钝角等价于点P在该圆的内部, 但不在线段0A上.设点P(,),.),则由点P在该圆的内部,可得 (一4)+(一2)<0.? 1 注意到:?,易得直线OA的方程为厶一 2y=0.由点P不在该直线上,得一 2),?0.? 注意到线段OA的中点M为(2,1),线段 0A的垂直平分线的斜率后=一2,故线段oA的垂直平分线的方程为Y一1=一2(一2),即2 +Y一5:0.由点P在此直线上,得 =一2xp+5.? 将?代入?,整理得;一4+3<0,解 . 46? 得1<<3.将?代人?知5一10?0, 所以?2,所以所求点P的横坐标的范围为 (1,2)u(2,3). 例2(1)自圆外一点P(2,1)向圆0: +),=1引两条切线,切点分别为A,,求经过 A,B两点的直线方程; (2)已知直线Y=一1与抛物线,,2=2x 交于M(.,Y,),N(:,)两点,求以线段肘? 为直径的圆的方程. 解(1)由圆的直径式方程,可得以OP 为直径的圆的方程为x(x一2)+y(y一1)=0. ,因此将两因为点,既在该圆上,也在圆0上圆方程相减,可得两圆公共弦的方程为+y一 1=0,即为经过A,两点的直线方程. (2)由fy1一'消去y,得L=2x 一 4x+1:(,1)(一2)=0.( 消去得一 2y一2=(y—Y1)(Y—Y2)=0.? 因为M(.,y),?(,)为直径的两端点,所以以线段MN为直径的圆的方程为 (—)(—2)+(y—y1)(y一),2)=0. 所以?+?即得所求圆的方程. 于是有(一4x+1)+(y2—2y一2)=0, 即所求圆的方程为 (一2)+(Y—1)=6. 例3直线Z:Y=kx+1与双曲线C:2x 一 ),2=1的右支交于不同的两点A,. (1)求实数J}的取值范围; (2)是否存在实数,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线c的右焦点F?若存在, 第4期等比数列性质的运用王俊胜 (江苏省南京市溧水县第二高级中学,211200) 等比数列是高考的重点,解决等数列的问题时,简化解题过程是我们追求的目标. 灵活运用等比数列的性质,不仅可以做到选择捷径,避繁就简,合理解题,而且可以提高解题的正确率.下面举例介绍等比数列的性质的运用,希望能给大家带来启发. 一 ,与通项有关的性质性质1等比数列{6/,}中,若m+n=s+ t,则0a=aa(m,n,s,tEN). 例1已知等比数列{a}满足n>0, = 1,2,…,且a5?a2一5=2(n?3),贝4当fl,? +log2a2l=() I时,log2al+log2a3+… (A)n(2n一1)(B)(rt+1) 高中数学教与学 (C)n(D)(n一1)' 解由a5?n2=2(n?3)得?i= 2,a>0,故?=2,log2a1+log2?3+…+ log2a2一】=1+3+…+(2n一1)=n. 选C. 评注巧妙利用性质解题比基本量法更简捷,能大大减少运算量.特别地,当"+n= 时有a(t=nj(m,n,P?N),注意在应用时,必须保证等式两边项数相同. 性质2等比数列{a}中任意两项n, a之间的关系为.:o,mq…. 例2等比数列{n的公比q>0,已知 r上:=1,n+?=6a则,的前4项和 ??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…? ?…??…??…-?…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…? ?…??…t?…??…??…??…??…??…??…??…-? 求出k的值;若不存在,说明理由. 解(1)k的取值范同是一2:k< 一 ~,2(过程略). (2)设A,B两点的坐标分别为(,), (2,y2),将Y=kx+1代入2x,Y=1,得 f2一k)一2kx一2 = (2一)(一)(—)=0.? 将=(显然k?0)代人2一y2: 1,得 (2一k)Y一4y—k+2 = (2一)(Y—Y,)(Y—y)=0.? 因为A(.,),B(,y)为直径的两端点,所以?+?即得所求的方程: (2一)(—.)(—)+(2一k)(,一 Y,)(Y—Y2)=0, 即(2一k).一2kx一2+(2一k)v 一 4v一+2=0.( 假设存在实数k,使得以线段A日为直径的圆经过双曲线C的右焦点'(c,0),则由C= , 将,(入圆的方程?儡 5+2?石一6=0. 斛得k一鱼或k=f一 2, 一 ?2)(舍太). 所以存在实数k:一,使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点. 解析几何给人的感觉一直是难化简,计算量大,如果能巧妙利用圆的直径式方程斛题,不仅求解思路清晰,和谐,优美,而且解题过程简捷,明快,可收到事半功倍的效果,不失是一种好方法. ? 47?

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