第六章 不等式推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式(x＋1)
≥0的解集是 ( )
A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－1} D．{x|x≥－1或x＝1}
解析：∵
≥0，∴x≥1.
同时x＋1≥0，即x≥－1.∴x≥1.
答案：B
2．下列命题中的真命题是 ( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2
解析：由a＞|b|，可得a＞|b|≥0?a2＞b2.
答案：D
3．已知函数f(x)＝
，若f(x)≥1，则x的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：将原不等式转化为：
或
，从而得x≥1或x≤－1.
答案：D
4．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝{x|
＜0}，则A∩B是 ( )
A．{x|－1＜x＜－
或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}
C．{x|－
＜x＜2} D．{x|－1＜x＜－
}
解析：∵|2x－1|＜3，∴－3＜2x－1＜3.∴－1＜x＜2.
又∵
＜0，∴(2x＋1)(x－3)＞0，
∴x＞3或x＜－
.∴A∩B＝{x|－1＜x＜－
}．
答案：D
5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b
＝c＋d
?a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b＞0?a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0?a＞b”．
其中类比得到的结论正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1＞0，但复数a与b不能比较大小．
答案：C
6．已知实数a，b，则“ab≥2”是“a2＋b2≥4”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当ab≥2时，a2＋b2≥2ab≥4，故充分性成立，而a2＋b2≥4时，当a＝－1，b＝3时成立，但ab＝－3＜2，显然ab≥2不成立，故必要性不成立．
答案：A
7．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②某艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中小前提是 ( )
A．① B．② C．①② D．③
解析：大前提是①，小前提是②，结论是③.
答案：B
8．不等式组
，所
表
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示的平面区域的面积等于 ( )
A.
B.
C.
D.
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
由
得交点A的坐标为(1,1)．
又B、C两点的坐标为(0,4)，(0，
)．
故S△ABC＝
(4－
)×1＝
.
答案：C
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,3)和(1,1)，若0＜c＜1，则实数a的取值范围是 ( )
A．[2,3] B．[1,3] C．(1,2) D．(1,3)
解析：由题意：
得b＝－1，∴a＋c＝2.
又0＜c＜1，∴0＜2－a＜1，∴1＜a＜2.
答案：C
10．(2010·淄博模拟)若f(a)＝(3m－1)a＋b－2m，当m∈[0,1]时f(a)≤1恒成立，则a＋b的最大值为 ( )
A.
B.
C.
D.
解析：设g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a，由于当m∈[0,1]时
g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a≤1恒成立，于是
满足此不等式组的点(a，b)构成图中的阴影部分，
其中A(
)，设a+b=t，显然直线a+b=t过点
A时，t取得最大值
.
答案：D
9．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，
则
＋
＋
＋
等于 ( )
A．36 B．24 C．18 D．12
解析：由f(p＋q)＝f(p)f(q)，
令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)．
原式＝
＋
＋
＋
＝2f(1)＋
＋
＋
＝8f(1)＝24.
答案：B
12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( )
A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处
解析：由题意可设y1＝
，y2＝k2x，
∴k1＝xy1，k2＝
，
把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＝
，y2＝0.8x(x为仓库与车站距离)，
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋
≥2
＝8，
当且仅当0.8x＝
，即x＝5时等号成立．
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab＞0的解集是{x|x＜－1或x＞4}，则实数a、b的值分别为________．
解析：由不等式的解集为{x|x＜－1或x＞4}可得，－1,4是方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，
∴
，解得a＝－4，b＝1.
答案：－4,1
14．关于x的不等式ax2＋4x－1≥－2x2－a恒成立，那么实数a的取值范围是________．
解析：不等式ax2＋4x－1≥－2x2－a
可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0，
当a＋2＝0，即a＝－2时，不恒成立，不合题意．
当a＋2≠0时，要使不等式恒成立，
需
解得a≥2.
所以a的取值范围为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．
答案：2300
16．已知点P(a，b)与点Q(1,0)在直线2x－3y＋1＝0的两侧，则下列说法正确的是________．
①2a－3b＋1＞0；
②a≠0时，
有最小值，无最大值；
③?M∈R＋，使
＞M恒成立；
④当a＞0且a≠1，b＞0时，则
的取值范围为
(－∞，－
)∪(
，＋∞)．
解析：由已知(2a－3b＋1)(2－0＋1)＜0，
即2a－3b＋1＜0，∴①错；
当a＞0时，由3b ＞2a＋1，
可得
＞
＋
，
∴不存在最小值，∴②错；
表示为(a，b)与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得：
＞
＝
恒成立，
∴③正确；
表示为(a，b)和(1,0)两点的斜率．
由线性规划知识可知④正确．
答案：③④
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)当不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值．
解：(1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a2＋6a＋b－3，
∵f(1)＞0，∴a2－6a＋3－b＜0.
Δ＝24＋4b，当Δ≤0
即b≤－6时，f(1)＞0的解集为?；
当b＞－6时，3－
＜a＜3＋
，
∴f(1)＞0的解集为{a|3－
＜a＜3＋
}．
(2)∵不等式－3x2＋a(6－a)x＋b＞0的解集为(－1,3)，
∴
解之，得
18．(本小题满分12分)若a1＞0，a1≠1，an＋1＝
(n＝1,2，…)
(1)求证：an＋1≠an；
(2)令a1＝
，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.
解：(1)证明：(采用反证法)．若an＋1＝an，
即
＝an，解得an＝0,1.
从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0,1，与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，
故an＋1≠an成立．
(2)a1＝
、a2＝
、a3＝
、a4＝
、a5＝
，an＝
，
n∈N*.
19．(本小题满分12分)(2010·吉林模拟)沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？
解：(1)依题意得：y＝(200＋0.02v2)×
＝166(0.02v＋
)(60≤v≤120)．
(2)y＝166(0.02v＋
)≥166×2
＝664(元)
当且仅当0.02v＝
即v＝100千米/时时取等号．
答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664元．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋4(a为非零实数)，设函数F(x)＝
.
(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；
(2)设mn＜0，m＋n＞0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?
解：(1)由f(－2)＝0,4a＋4＝0?a＝－1，
∴F(x)＝
(2)∵
，∴m，n一正一负．
不妨设m＞0且n＜0，则m＞－n＞0，
F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋4－(an2＋4)
＝a(m2－n2)，
当a＞0时，F(m)＋F(n)能大于0，
当a＜0时，F(m)＋F(n)不能大于0.
21．(本小题满分12分)某
工艺
钢结构制作工艺流程车尿素生产工艺流程自动玻璃钢生产工艺2工艺纪律检查制度q345焊接工艺规程
品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为A、B两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒．若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？
解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x，y套，月利润为z元，
由题意得
目标函数为z＝700x＋1200y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：
目标函数可变形为y＝－
x＋
，
∵－
＜－
＜－
，
∴当y＝
x＋
通过图中的点A时，
最大，z最大．解
得点A坐标为(20,24)．
将点A(20,24)代入z＝700x＋1200y
得zmax＝700×20＋1200×24＝42800元．
答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元．
22．[理](本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax－
－2lnx，f(1)＝0.
(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0，且an＋1＝f′(
)－n2＋1，已知a1＝4，求证：an≥2n＋2.
解：(1)因为f(1)＝a－b＝0，所以a＝b，
所以f(x)＝ax－
－2lnx，
所以f′(x)＝a＋
－
.
要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
则在(0，＋∞)内f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.
当a＝0时，则f′(x)＝－
＜0在(0，＋∞)内恒成立；适合题意．
当a＞0时，要使f′(x)＝a(
－
)2＋a－
≥0恒成立，则a－
≥0，解得a≥1；
当a＜0时，由f′(x)＝a＋
－
＜0恒成立，适合题意．
所以a的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．
(2)根据题意得：f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，得a＝1，
所以f′(x)＝(
－1)2，
于是an＋1＝f′(
)－n2＋1＝(an－n)2－n2＋1
＝a
－2nan＋1.
用数学归纳法证明如下：
当n＝1时，a1＝4＝2×1＋2，
当n＝2时，a2＝9＞2×2＋2；
假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式ak＞2k＋2成立，即ak－2k＞2成立，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－2k)＋1＞(2k＋2)×2＋1＝4k＋5＞2(k＋1)＋2，
所以当n＝k＋1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N*时，都有an≥2n＋2.
[文](本小题满分14分)已知不等式x2＋px＋1＞2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的范围．
解：(1)原不等式为
(x－1)p＋(x－1)2＞0，
令f(p)＝(x－1)p＋(x－1)2，它是关于p的一次函数，
定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性知
，
解得x＜－1或x＞3.
即x的取值范围是{x|x＜－1或x＞3}．
(2)不等式可化为(x－1)p＞－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1＞0.
∴p＞
＝1－x.
对x∈[2,4]恒成立，
所以p＞(1－x)max.
当2≤x≤4时，(1－x)max＝－1，
于是p＞－1.故p的范围是{p|p＞－1}．
浙公网安备 33021202002483