[集锦]1-5多项式的因式分化定理

[集锦]1-5多项式的因式分化定理[集锦]1-5多项式的因式分化定理 ?1-5多项式的因式分解定理 4多项式在有理数域、实数域、复数域上的因式分解x,4 引入课题初等数学中422x,4,(x,2)(x，2)(不能再分)Q[x]的因式分解, 42何为不能再 x,4,(x,2)(x，2)(x，2)(不能再分)R[x] 分? 4x,4,(x,2)(x，2)(x,2i)(x，2i)C[x]在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分, 平凡因式: 零次多项式(不等于零的常数)、多项式自身、前两个的乘积 Definition8:(不可约...

[集锦]1-5多项式的因式分化定理 ?1-5多项式的因式分解定理 4多项式在有理数域、实数域、复数域上的因式分解x,4 引入课题初等数学中422x,4,(x,2)(x，2)(不能再分)Q[x]的因式分解, 42何为不能再 x,4,(x,2)(x，2)(x，2)(不能再分)R[x] 分? 4x,4,(x,2)(x，2)(x,2i)(x，2i)C[x]在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分, 平凡因式: 零次多项式(不等于零的常数)、多项式自身、前两个的乘积 Definition8:(不可约多项式)令的一个次数大于f(x)是P[x] 零的多项式，如果中只有平凡因式，就称f(x)为f(x)在P[x] 数域P上(或在P[x]中)的不可约多项式。(p(x)在数域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积) 若除平f(x)凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x)就说是在数域P上(或在P[x]中)是可约的。 f(x),g(x)h(x),g(x)不是平凡因式如果，则g(x)和h(x)的次数显然f(x)都小于的次数。反之，若能写成两个这样多项式的乘积，那么有f(x)f(x)非平凡因式;如果P[x]的一个n次多项式能够分解成P[x]中两个次数都小于n的多项式 g(x)和h(x)的乘积即那么在P上可约。f(x),g(x)h(x)f(x) 由不可约多项式的定义可知, 任何一次多项式都是不可约多项式的。不可约多项式的重要性质: 一个多项式是否不可约是依赖于系数域; 1.如果多项式不可约，那么P中任意不为零的元素cf(x) 与的乘积c都不可约。 f(x)f(x) 2.设是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，f(x) 那么或者与P(x)互素，或者整除P(x).f(x)f(x) 3.如果多项式与的乘积能被不可约多项式P(x)整f(x)g(x) 除，那么至少有一个因式被P(x)整除。 Theorem5.如果p(x)是一个不可约多项式,P(x)整除一些多 f(x),f(x),？,f(x)项式p(x)的乘积,那么一定整除这些多项12s 式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s用数学归纳法当s=1时,显然成立; 假设s=n-1 时,结论成立; 当s=n时,令, g(x),f(x),g(x),f(x)f(x)？f(x)11223n 如果命题成立, p(x)|g(x),则p(x)|f(x)11 如果,从而,即p(x)|g(x),则(p(x),g(x)),1p(x)|g(x),112 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设p(x)整除f(x),f(x),？,f(x)23n 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证.p(x) 因式分解及唯一性定理:多项式环P[x]的每一个次多项n(n,0)式都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积; f(x) 证明因f(x),p(x)p(x)？p(x) 12s式分所谓唯一性是说，如果有两个分解式解定f(x),p(x)p(x)？p(x),q(x)q(x)？q(x) 12s12t理那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有 p(x),cq(x)(i,1,2,？s) ii rrrs12 标准分解式(典型分解式):f(x),cp(x)p(x)？p(x)12s 其中c是f(x)的首项系数，是不同的、首p(x),p(x),？p(x)12s 项系数为1的不可约多项式，而正整数。r,r,？r12s 32例1:在有理数域上分解多项式，。f(x),x，x,2x,2 322 f(x),x，x,2x,2,(x，1)(x，x,2),(x，1)(x,1)(x，2) 5432。例2:求 f(x),x,x,2x，2x，x,1在Q[x]内的典型分解式 54324232 f(x),x,x,2x，2x，x,1,(x,1)(x,2x，1),(x,1)(x，1) 5432例3.求 f(x),2x,10x，16x,16x，14x,6在R[x]内的典型 22分解式. f(x),2(x，1)(x,1)(x,3) 例4:分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 56x,1x,1和为不可约多项式的乘积。突出不5432解: Q[x] (x,1),(x,1)(x，x，x，x，1)同数域上不同5432(x,1),(x,1)(x，x，x，x，1)多项式 2,4,22的因式,(x,1)(x,2cos，1)(x,2cos，1)R[x]55分解的特点 5432(x,1),(x,1)(x，x，x，x，1) 4 2k2k,,,(x,1)(x,cos,isin)C[x],55k,1 在Q[x]上 63322;(x,1),(x,1)(x，1),(x,1)(x，x，1)(x，1)(x,x，1) 布置作业在R[x]上 P-15 4563322;(x,1),(x,1)(x，1),(x,1)(x，x，1)(x，1)(x,x，1) 在C[x]上 131313136 x,1,(x,1)(x,，i)(x,,i)(x，1)(x，，i)(x，,i)22222222

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