第四章 大数定律与中心极限定理
4.1 设
为退化分布:
讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数?
解:(1)(2)不是;(3)是。
4.2 设分布函数
如下定义:
问
是分布函数吗?
解:不是。
4.3设分布函数列
弱收敛于分布函数
,且
为连续函数,则
在
上一致收敛于
。
证:对任意的
,取
充分大,使有
对上述取定的
,因为
在
上一致连续,故可取它的
分点:
,
使有
,
再令
,则有
(1)
这时存在
,使得当
时有
(2)
成立,对任意的
,必存在某个
,使得
,由(2)知当
时有
(3)
(4)
由(1),(3),(4)可得
,
即有
成立,结论得证。
4.5 设随机变量序列
同时依概率收敛于随机变量
与
,证明这时必有
。
证:对任意的
有
,故
即对任意的
有
成立,于是有
从而
成立,结论得证。
4.6 设随机变量序列
,
分别依概率收敛于随机变量
与
,证明:
(1)
;(2)
。
证:(1)因为
故
即
成立。
(2)先证明这时必有
。对任给的
取
足够大
,使有
成立,对取定的
,存在
,当
时有
成立.这时有
从而有
由
的任意性知
,同理可证
,由前述(1)有
故
,结论成立。
4.7 设随机变量序列
,
是一个常数,且
,证明
。
证:不妨设
对任意的
,当
时有
,
因而
。于是有
。
结论成立。
4.9 证明随机变量序列
依概率收敛于随机变量
的充要条件为:
证:充分性,令
,
,则
,故
是
的单调上升函数,因而
,于是有
对任意的
成立,充分性得证。
必要性,对任给的
,令
,因为
,故存在充分大的
使得当
时有
,于是有
,
由
的任意性知
,结论为真。
4.10 设随机变量
按分布收敛于随机变量
,又数列
,
,证明
也按分布收敛于
。
证:先证明
按分布收敛于
。
时为显然,不妨设
(
时的修改为显然),若
,
,
,
的分布函数分别记作
,
,
与
,则
=
,当
是
的连续点时,
是
的连续点,于是有
成立,结论为真。由4.12知
,再由4.6(1)知
,于是由前述结论及4.11知
按分布收敛于
,结论得证。
4.11设随机变量序列
按分布收敛于随机变量
,随机变量序列
依概率收敛于常数
,证明
按分布收敛于
。
证:记
的分布函数分别为
,则
的分布函数为
,设
是
的连续点,则对任给的
,存在
,使当
时有
(1)
由于F(x)在
只能有有限个间断点,可取
,使得
都是
的连续点,这时存在
,当
时有
(2)
(3)
对取定的
,存在
,当
时有
(4)
于是当
时,由(1),(2),(4)式有
又因为
于是由(1),(3),(4)式有
(6)
由(5),(6)两式可得
由
的任意性即知
按分布收敛于
,结论得证。
4.12设随机变量序列
按分布收敛于
,随机变量序列
依概率收敛于
,证明
。
证:记
的分布函数分别为
,对任给的
,取
足够大,使
是
的连续点且
因为
,故存在
,当
时有
令
,因为
,故存在
,当
时有
而
其中
,当
时有
因而
,由
的任意性知
,结论为真。
4.13 设随机变量
服从柯西分布,其密度函数为
证明
。
证:对任意的
,有
故
。
4.14 设
为一列独立同分布随机变量,其密度函数为
其中
为常数,令
,证明
。
证:对任意的
,
为显然,这时有
对任意的
,有
故
成立,结论得证。
4.15 设
为一列独立同分布随机变量,其密度函数为
令
,证明
。
证:设
的分布函数为
,有
这时有
对任意的
,有
故
成立,结论得证。
4.17设
为一列独立同分布随机变量,都服从
上的均匀分布,若
,证明
。
证:这时
也是独立同分布随机变量序列,且
由辛钦大数定律知
服从大数定理,即有
,令
,则
是直线上的连续函数,由4.8题知
结论成立。
4.18设
为一列独立同分布随机变量,每个随机变量的期望为
,且方差存在,证明
。
证:已知
,记
,令
,则
对任给的
,由契贝晓夫不等式有
故
,结论得证。
4.19设
为一列独立同分布随机变量,且
存在,数学期望为零,证明
。
证:这时
仍独立同分布,且
,由辛钦大数定律知结论成立。
4.21 设随机变量序列
按分布收敛于随机变量
,又随机变量序列
依概率收敛于常数
,则
按分布收敛于
。
证:由4.7题知
,于是由4.12题有
,而
按分布收敛于
(见4.10题的证明),因而由4.11题知
按分布收敛于
,结论成立。
4.22设
为独立同
分布的随机变量序列,证明
的分布函数弱收敛于
分布。
证:这时
也为独立同分布随机变量序列,且
,由辛钦大数定律知
,又
服从
分布,当然弱收敛于
分布,由4.21题即知
按分布收敛于
分布,结论得证。
4.23 如果随机变量序列
,当
时有
,证明
服从大数定律(马尔柯夫大数定律)
证:由契贝晓夫不等式即得。
4.26 在贝努里试验中,事件
出现的概率为
,令
证明
服从大数定律。
证:
为同分布随机变量序列,且
,因而
,又当
时,
与
独立,由4.24知
服从大数定律,结论得证。
4.28设
为一列独立同分布随机变量,方差存在,又
为绝对收敛级数,令
,则
服从大数定律。
证:不妨设
。否则令
,并讨论
即可。记
,又
。因为
,故有
由4.23知
服从大数定律,结论得证。
4.30设
为一列独立同分布随机变量,共同分布为
试问
是否服从大数定律?
答:因为
存在,由辛钦大数定律知
服从大数定律。
4.31设
为一列独立同分布随机变量,共同分布为
其中
,问
是否服从大数定律?
答:因为
存在,由辛钦大数定律知
服从大数定律。
4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率,为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率
的差小于
,问至少应该做多少次试验?
解:令
据题意选取试验次数
应满足
,因为
比较大,由中心极限定理有
故应取
,即
,但图钉底部重,尖头轻,由直观判断有
,因而
,故可取
。
4.33 一本
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
共有一百万个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为0.0001,校对时每个排版错误被改正的概率为0.9,求在校对后错误不多于15个的概率。
解:令
因为排版与校对是两个独立的工序,因而
是独立同分布随机变量序列,
,令
,其中
,由中心极限定理有
其中
,查
分布
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
即可得
,即在校对后错误不多于15个的概率。
4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年里一个人死亡的概率为0。006,死亡时家属可向保险公司领得1000元,问:
(1)保险公司亏本的概率多大?
(2)保险公司一年的利润不少于40000元,60000元,80000元的概率各为多大?
解:保险公司一年的总收入为120000元,这时
(1) 若一年中死亡人数
,则公司亏本;
(2) 若一年中死亡人数
,则利润中死亡人数
元;
若一年中死亡人数
,则利润中死亡人数
元;
若一年中死亡人数
,则利润中死亡人数
元;
令
则
,记
已足够大,于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为
(1)
同理可求得
(2)
4.35 有一批种子,其中良种占
,从中任取6000粒,问能以0.99的概率保证其中良种的比例与
相差多少?
解:令
则
,记
,其中
,据题意即
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
使满足
。令
,因为
很大,由中心极限定理有
由
分布表知当
时即能满足上述不等式,于是知
,即能以0.99的概率保证其中良种的比例与
相差不超过
。
4.36 若某产品的不合格率为0.005,任取10000件,问不合格品不多于70件的概率等于多少?
解:令
则
,记
,其中
,记
,由中心极限定理有
即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。
4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95?
解:令
则
,记
,其中
尚待确定,它应满足
,由中心极限定理有
查
分布表可取
,由此求得
,即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。
4.39 用特征函数的
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。
证:设
独立同二项分布,即
的特征函数为
,记
的特征函数记作
,因为
,故
,于是有
而
是参数为
的普哇松分布的特征函数,由特征函数的逆极限定理即知定理成立,证毕。
4.40 设随机变量
服从
---分布,其分布密度为
证:当
时,
的分布函数弱收敛于
分布。
证:
的特征函数为
,易知
的特征函数为
而
因而有
故
,所以相应的分布函数弱收敛于
分布,命题得证。
4.41设
为一列独立同分布随机变量,且
服从
上的均匀分布,证明对
成立中心极限定理。
证:易知
,于是
故
,对任意的
,存在
,使当
时有
,因而
,从而当
,
,若
,由此知
即林德贝尔格条件满足,所以对
成立中心极限定理,结论得证。
4.42 设
皆为独立同分布随机变量序列,且
独立,其中
,证明:
的分布函数弱收敛于正态分布
。
证:这时
仍是独立同分布随机变量序列,易知有
由林德贝尔格---勒维中心极限定理知:
的分布函数弱收敛于正态分布
,结论得证。
4.45 利用中心极限定理证明:
证:设
是独立同分布随机变量序列,共同分布为
的Poisson分布,故
,由林德贝尔格---勒维中心极限定理知
由Poisson分布的可加性知
服从参数为
的Poisson分布,因而
,但
,所以
成立,结论得证。