冲刺60天2012年高考文科数学解题策略专题八第五节推理证明与算法初步

冲刺60天2012年高考文科数学解题策略专题八第五节推理证明与算法初步 推理证明与算法初步是我们高考关注的几个新课标中重点话题，主要涉及到合情推理和演绎推理，直接证明和间接证明，以及算法初步中的框图知识和算法案例等. 题型可能是选择题、填空题，主要考查类比或归纳推理、循环结构为主的框图等;也可能是解答题，结合多个知识点进行命题的综合试题.其中推理与证明部分常与数列、不等到式问题综合，难度一般在之间. 0.3~0.7 考试要求 (1)合情推理与演绎推理? 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;? 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;? 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;(2)直接证明与间接证明? 了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;? 了解间接证明的一种基本方法??反证法;了解反证法的思考过程、特点;(3)了解算法的含义;理解程序框图的三种基本结构:顺序、选择、循环;理解几种基本算法语句. 题型一:合情推理 1例1(1)若?ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则?ABC的面积S, r (a+b+c) 类比到2空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S、S 、S 、S，则四面体的体积1234 , ( 10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这(2)在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6， 些数对应的点可以排成一个正三角形, 则第个三角形数为( ). n 112n,1 A.n B. C. D.n(n，1)n(n,1)22 点拨:(1)类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征;(2)这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式. 解:(1)比较两个对象，三边对四面，面积对体积，内切圆对内切球，三边长对四个面的面 11积，由S, r (a+b+c)等式两边的量，类比对应到体积、系数 、半径R、面积S，S，S，S.123423 1答: R(S，S，S，S). 12343 (2)在给出的一三角形数中，其中第一个三角形数1，第二个三角形数3=1+2，第三个三角形数6=1+2=3,第四个三角形数10=1+2+3+4，第五个三角形数15=1+2+3+4+5，故推测出的一般 1n结论是:第个三角形数为 123(1)，，，,,,，,，nnn2 易错点:(1)类似特征不明确，类比结论错误;(2)不善于寻找数字间的 规律，导致结论错误. 变式与引申1:(1) 在Rt?ABC中，CA?CB，斜边AB上的高为h， 1 111O 则;类比此性质，如图，在四 ,，D 222hCACB1 图332,,面体P—ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底 面ABC上的高为h，则得到的正确结论为 ; 2342011(2)(2011江西文数)观察下列各式:则，…，则的末两位749,7343,72401,,,7数字为( ) A.01 B.43 C.07 D.49 题型二:演绎推理 E,F例2如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，ABCABC,DAB,ACBC1111111 . ADBC,11 求证:(1)?; EF平面ABC (2). 平面平面AFDBBCC,111 点拨:数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，证明线面平行时一定要注意注明直线在平面内及直线在平面外这两个条件. E,FEF//BCEF,面ABC解:证明:(1)因为分别是的中点，所以，又，AB,AC11 BC,面ABC，所以?; EF平面ABC BBABC,面(2)因为直三棱柱，所以， ABCABC,1111111 ADBCC,面B，又，所以， BBAD,ADBC,1111111 ADAFD,面又，所以. 平面平面AFDBBCC,11111 易错点:三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、 结论三部分，在书写证明的过程中，很多学生会出现跳步现象， 逻辑关系不清楚是常见的错误. 变式与引申2:(1)已知?正方形的对角相等;?平行四边形的对角 相等; ?正方形是平行四边形(根据三段论推理得到一个结论，则这个结论的序号是 . (2)如图，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，?ACD为等边三角形，，FADDEAB,,2 B 为CD的中点. E (?)求证:AF?平面BCE; (?)求证:平面BCE?平面CDE. A 题型三:直接证明 aba,0,b,0,，,a，b.例3 已知求证: C D baF 334,,图 点拨:综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知 条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述简洁， 但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来. a证法1:(综合法) ，当且仅当时等号成立，a,b？a,0,b,0,？，b,2a b b ？，a,2b a ab 当且仅当时等号成立， 即 a,b？，b，，a,2a，2b, ba ab ，,a，b. ba ab证法2:(分析法) 要证，只要证 即证 ，,a，b.aa，bb,ab，ba, ba ，即证 即a(a,b)，b(b,a),0(a,b)(a,b),0, 2 (a,b)(a，b),0 22 得， 由？a,0,b,0,(a,b),0,a，b,0,(a,b)(a，b),0所以原不等式成立 易错点: (1)用综合法证明时难找到突破口，解题受阻;(2)分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立. nn(1)，*nN,ann,,，,，,,,，，1223(1)变式与引申3:设 ()，比较、、ann2 2(1)n，的大小，并证明你的结论. 2 题型四:间接证明 x,2x例4:已知函数y=a+(a,1). x，1 (1)证明:函数f(x)在(-1,+?)上为增函数; (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 点拨:用反证法证明把握三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，(3)导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的. 证明 (1)任取x,x?(-1,+?), 不妨设x,x,则x-x,0,由于a,1, 121221 x,xxx,xxxx21221111?a,1且a,0, ?a-a=a (a-1),0. 又?x+1,0,x+1,0, 12 (x,2)(x，1),(x,2)(x，1)3(x,x)x,2x,221122121?-==,0, x，1x，1(x，1)(x，1)(x，1)(x，1)211212 x,2x,2xx2121于是f(x)-f(x)=a-a+-,0, 故函数f(x)在(-1,+?)上为增函数. 21x，1x，121 x,2xx000(2)方法一 假设存在x,0 (x?-1)满足f(x)=0, 则a=-. ?a,1,?0,a,1, 000x，10 x,210?0,-,1,得,x,2，与假设x,0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根. 00x，120 x,2x00方法二 假设存在x,0 (x?-1)满足f(x)=0, ?若-1,x,0，则,-2,a,1, 0000x，10?f(x),-1,与f(x)=0矛盾. 00 x,2x00?若x,-1,则,0,a,0, ?f(x),0,与f(x)=0矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根. 000x，10 易错点:(1)不是把求证结论的反面作为条件证题(2)不写明与什么相矛盾. 变式与引申4:证明:若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x),0在区间[a，b]上 至多只有一个实数根 题型五: 算法初步 例5 若程序框图如图输出的 S 是 126，则?应为( ) A(n?5? B(n?6? C(n?7? D(n?8? nS,S，2点拨 由知，在第次循环时，n 12nS,2，2，...，2， 12n2，2，...，2,126由题意只需找到满足方程的的值. n n,n，1再结合语句推出判断框?. 123456S,2，2，2，2，2，2,126解析 因，则当 n,7 时退出循环，所以 n?6.故选 B. 易错点 不能准确判断循环终止的条件 变式与引申 5. 下面是一个用基本语句编写的程序如图，阅读后解决所给出的问题: INPUT x x,2IF THEN y,x，5 ELSE y,x,x,2,x END IF PRINT y END (1)请说明该算法程序的功能，并写出程序中的函数表达式; (2)将该程序语句转化为相应的程序框图. 本节主要考查:(1)知识点有:归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理;直接证明与间接证明;算法的含义、几种基本的算法语句、程序框图( (2)推理渗透在每个高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧(推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中;(3)常见的论证方法有:综合法、分析法及反证法等( 点评:(1)归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理;结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大( (2)类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题( (3)综合法的特点是:以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程;分析法的特点是:从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程( (4)一般来说:分析法有两种证明途径:?由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去;?由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去( (5)反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性( (6)算法是指解决某类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，且在有限步内完成(算法过程要简练，每一步执行的操作必须为下一步做准备(程序框图是由框图和流程线组成的，是算法的一种表现形式(通常是先写出算法步骤，再转化为程序框图(算法初步在高考中的要求不高，同学们在学习时要通过对解决具体问题过程与步骤的分析， 体会 针灸治疗溃疡性结肠炎昆山之路icu常用仪器的管理名人广告失败案例两会精神体会 算法的基本思想. 习题8-5 1.(2011高考天津卷?理)阅读右边的程序框图，运行相应的 i程序，则输出的值为( ) A(3 B(4 C(5 D(6 2(将正奇数数列1，3，5，7，9，…进行如下分组:第一组含一个数 {1};第二组含两个数{3，5};第三组含三个数{7，9，11};第四组含 四个数{13，15，17，19};……记第n组内各数之和为S，则S与n nn 的关系为 ( ) 23n，1n,1A(S,n B(S,n C(S,2 D(S,3 nnnn3(为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入 i,012，，,{01}，aaaa，haaah相关数据组成传输信息(设定原信息为()，传输信息为，012i00121 ,000,,011,,101,,110,,haahha,,,,，其中，运算规则为:，，，，001102 例如原信息为111，则传输信息为01111(传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息:(1)11010(2)01100(3)10111，一定有误的是 (填序号)( lnx4. 已知函数. fxx(),,x (,)求函数的单调区间; fx() 11，，nn,nN,(2)试证明:对任意，不等式恒成立( ln,2nn 5.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-ABC的侧棱BB上一点，PM?BB交AA于点M，111111PN?BB交CC于点N. 11 (1)求证:CC?MN; 1222(2)在任意?DEF中有余弦定理:DE=DF+EF-2DF?EF?cos?DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个 侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. 图335,, 6.已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点， 当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k，k时，那么k与k之积是与点P的位置无PMPNPMPN 22xy关的定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质，并加以证明. ,22ab 【答案】 1111变式与引申1【解析】(1); ,，，2222hPAPBPC (2)答案:B xfx,7,f2,49,f3,343,f4,2401,f5,16807，，，，，，，，，，？ 解析: ，，2011,2,2009,？f2011,***343 变式与引申2 【解析】 (1)演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，三段论是演绎推理的一般 形式，包括大前提、小前提、结论三部分(这里??可推出?，其中?是大前提，?是小前 题?是结论; 答:?; CEGFGBG、(2)19(方法一:(1)证:取的中点，连. 1CDGFDE//?为的中点，?且. GFDE,F2 ACDACD?平面，平面， AB,DE, ABDE//GFAB//?，?. 1GFAB,又，?. ABDE,2 GFABAFBG//?四边形为平行四边形，则. AF,BCEBG,BCE ?平面，平面， AF//BCE?平面. ,ACDCDAFCD,(2)证:?为等边三角形，为的中点，? F ACDACD?平面，平面，?. DE,AF,DEAF, CDDED:,CDE又，故平面. AF, BGAF//BG,CDE?，?平面. BG,BCE?平面， ?平面平面. BCE,CDE 方法二:设，建立如图所示的坐标系， ADDEABa,,,22Axyz,则. ACaBaDaaEaaa000200,0,0,,,3,0,,3,2，，,，，，，，，，，，，，， ,,33Faa,,0?为的中点，?. CDF,,,,22,, ,,,,,,,,,,,,,,33AFaaBEaaaBCaa,,,,,,0,,3,,2,0,(1)证:， ，，,,，，,,22,, ,,,,,,,,,,,,1?，平面，?平面. AF,BCEAF//BCEAFBEBC,，，，2 ,,,,,,,,,,,,,,33AFaaCDaaEDa,,,,,,,0,,3,0,0,0,2(2)证:?， ，，,,，，,,22,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?，?. AFCDAFED,,,,0,0AFCDAFED,,,,,,,?平面，又平面， AF,CDEAF//BCE ?平面平面. BCE,CDE nn(1)，变式与引申3 【解析】? annn,,，,，,,,，，,，，，,1223(1)12？n2 又? ann,,，,，,,,，，1223(1)n 1223(1)，，，，nn ,，，，？1223(1)，，，，nn,，，，？222222 22nnnnnnn(1)(3)2(1)，，，，，,,,422 2nn(1)，(1)n，?<< an22 变式与引申4证明:假设方程fx()0,在区间[,]ab上至少有两个不同的实数根,、,,即 ff()()0,,,,. ff()()0,,,,不妨设,,,,由于函数f(x)在区间[,]ab上是增函数,故ff()(),,,,这与矛盾, 所以方程fx()0,[,]ab在区间上至多只有一个实数根. 5. 解:(1)由算法程序可知，该算法程序的功能是计算分段函数 x，5,(x,2),y,的函数值. ,2xxx,2,(,2), (2)程序框图如图: 5 习题8- 1 . B; 2 .B; 3. 【解析】新背景下的信息转换问题，需要认真分析对应关系，在对应关系下求出原象，如 对于第一个接受信息，依据对应关系可知，求得，同理haa,,,,,101aaa,101012001求得，故(1)正确;对于(3)，若原信息为011，则接收信应为10110(答:(3); h,01 1ln,x4. 【解析】解:(1)? fx'()1,,2x2xx,,1ln令得 fx'()0, 显然x,1是上方程的解 12令，，则,0 x,，,(0,)gxxx()ln1,，,gxx'()2,，x ?函数在上单调递增 gx()(0,)，, x,1?是方程的唯一解 fx'()0, 1ln,x01,,x,0x,1?当时，当时 fx'()0,fx'()1,,2x ?函数在上单调递增，在上单调递减 fx()(0,1)(1,)，, (2)由(1)知当时， x,，,(0,)fxf()(1)1,,,max lnxx,1?在上恒有，当且仅当时“,”成立 (0,)，,,,1fxx(),,x 恒有 ?对任意的x,，,(0,)ln(1)xxx,, 1，n1111，，，，nnnn? ? ,1ln(1),,,2nnnnn 11，，nn,,,nN即对，不等式恒成立( ln,2nn 5【解析】(1)?PM?BB，PN?BB， ?BB?平面PMN.?BB?MN. 1111又CC?BB，?CC?MN. 111 222(2)在斜三棱柱ABC-ABC中，有S=S+S,2SScos.其中为,,111ABBABCCBACCABCCBACCA1111111111 平面CCBB 11 与平面CCAA所成的二面角. ?CC?平面PMN，?上述的二面角的平面角为?MNP. 111222在?PMN中， ?PM=PN+MN,2PN?MNcos?MNP 222222?PM?CC=PN?CC+MN?CC-2(PN?CC)?(MN?CC)cos?MNP， 11111 由于S=PN?CC，S=MN?CC， 11BCCBACCA1111 222S=PM?BB=PM?CC，?S=S+S,2S?S?cos. ,11ABBA11ABBABCCBACCABCCBACCA1111111111 上， 22bb222222所以n=m-b.同理y=x-b.则k?k PMPN22aa 222222y,ny，nbbx,my,n=?==?=(定值). 222222x,mx，maax,mx,m