欧式空间中线性变换和正交变换的关系

欧式空间中线性变换和正交变换的关系 欧氏空间中线性变换和正交变换的关系 摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论 关键词:欧式空间 线性变换 正交变换 线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变 换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便，本文从最基本的概 念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。 定义1 设不是空集，P为一个数域，在中定义加法和数量乘法(简称数乘)，VV ,,,,,,,V,,k,l,P若对，满足: ,，,,V(1)，(关于加法封闭) ,，,,,，,(2)，(交换律) (,，,)，,,,，(,，,)(3)，(结合律) (4)，(零元) ，0,V,使,，0,,，,,,V ,,,V，，(,,),V，使,，(,,),0(5)，(负元) (6)k,,,V(关于数乘封闭) (7) 1,,,, (8)k(l,),(kl), (9) (k，l),,k,，l, k(,，,),k,，k,(10) P则称V为数域上的线性空间。 R定义2 设V是上的一个线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记(,,,),,,,,,V,k,R为，它具有以下性质(): (,,,),(,,,)(1) (k,,,),k(,,,)(2) ,(，,,,),(,,,)，(,,,)(3) (,,,),0(,,,),0(4)，当且仅当,,0时，。 V定义3 定义2中的线性空间就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 ,,,,,V,,k,PP设V是一个线性空间，为一个数域，对于，有 定义4 AAA()()(),,,,，,，(1) AkkA()(),,,,(2) AV则称为上的线性变换。 A,,,,V, 定义5 设是欧氏空间V的一个变换，如果对于任意的即保持内积不变， 第 1 页 共 5 页 都有: ((),())(,)AA,,,,,。 A则称是正交变换。 由上述定义可以得到如下命题: A命题1 正交变换保持向量的长度不变。 ,,,,(,)因为欧氏空间V的向量的长度是， , 所以就有 AAA()((),())(,),,,,,,,,,。 但是，欧氏空间中保持向量长度不变的变换不一定是一个正交变换。 2例如，在欧氏空间R中，令向量在直角坐标系下的表示为，有 ,,(,)xx,12 。 AAxxxx()(,)(||,||),,,1212 2显然A是R的一个变换。且因为 22， |(,)||(||,||)|||||Axxxxxx,,，121212 22。 |(,)|xxxx,，1212 可知A保持向量的长度不变。但A不是正交变换，因为对于任意的 ,,,,(,),(,)xxyy1212 则有: ((),())((,),(,))AAxxyyxyxy,,,,，， 12121122 。 (,)((,),(,)),,,,，xxyyxyxy12121122 二者未必相等。 A命题2 正交变换保持任意两个向量的夹角不变。 ,,,,0,因为欧氏空间V的向量、的夹角的余弦可以表示为: ,,, (,),,cos,， ,,,, A(),A(),那么、的夹角,'的余弦是: ((),())(,)AA,,,,cos'cos,,,， ,,,,AA()(),,,, ,,',故。 但是，欧氏空间中保持任意两个向量夹角不变的变换不一定是一个正交变换。 Ak(),,,A,,VkR,例如，设是欧氏空间的一个变换，对于任意的,有，其中。 第 2 页 共 5 页 ,,,,V,A(),A(),因为对于任意的、的夹角的余弦为: 2(,)(,)(,)kkk,,,,,,， ,,2,,,kkk,,,,,, ,,,,V,所以变换A保持了向量夹角。但是A不是正交变换，因为对于任意的有: 2， Akkk(,)(,)(,),,,,,,,, (,),,这未必与相等。 这样就容易得到一个可以判定正交变换的命题: A命题3 欧氏空间V的保持向量长度不变和任意两个向量的夹角不变的变换是一 个正交变换。 下面我们首先讨论欧氏空间的正交变换和线性变换的关系。 A命题4 欧氏空间V的正交变换一定是一个线性变换。 ,,V证明 任取，，由于 , (()()(),()()())AAAAAA,,,,,,,,，,,，,, ((),())2((),())AAAA,,,,,,,，，,，= ,，，2((),())((),())AAAA,,,,, ，，2((),())((),())AAAA,,,, ,，，,，,，(,)2(,)2(,),,,,,,,,,, ，，，,(,)2(,)(,)0,,,,,, AAA()()()0,,,,，,,,故 AAA()()(),,,,，,，即 AaaAaR()()0,,,,,,同理可证 AaaA()(),,,即 A故是线性变换。 A命题5 欧氏空间V的保持向量长度不变的线性变换一定是一个正交变换。 A,,V证明 任取，，由于是保持向量长度不变的变换，即有 , ((),())(,)AA,,,,,, ((),())(,)AA,,,,,, ((),())(,)AA,,,,,,,,，，,，，。 A又因为是一个线性变换，故有: ((),())((),())2((),())((),())AAAAAAAA,,,,,,,,,,，，,，，, ((),())(,)2(,)(,),,,,,,,,,,，，,，，, 第 3 页 共 5 页 ((),())(,)AA,,,,,故 。 A所以一定是一个正交变换。 2例如，在欧氏空间R中，关于横轴的对称变换是一个正交变换。设任意向量在坐标 系下的表示为，A为关于横轴的对称变换，这样就有: ,,(,)xx12 AAxxxx()((,))((,)),,,,1212 下面证明这是一个线性变换。因为: ， AAxxyyAxyxyxyxy()((,)(,))((,))(,),,，,，,，，,，,,121211221122 ， AAAxxAyyxxyyxyxy()()((,))((,))(,)(,)(,),,，,，,,，,,，,,121212121122 AAA()()(),,,,，,，所以 。 又因为: ， AkAkxxAkxkxkxkx()((,))(,)(,),,,,,121212 ， kAkAxxkxxkxkx()((,))(,)(,),,,,,,121212 其中。 kR, AkkA()(),,,所以 。 故A为线性变换。 显然对称变换A又是保持长度的，因此根据命题5，它是一个正交变换。 2同样，我们常见的欧氏空间R的旋转变换也是一个正交变换。设任意向量在坐标系 下的表示为，A为逆时针方向旋转的变换，这样就有: ,,,(,)xx12 。 AAxxxxxx()((,))(cossin,cossin),,,,,,,,，121221 显然这是一个线性变换。因为: AAxxyyAxyxy()((,)(,))((,)),,，,，,，，12121122 ,，,，，，，(()cos()sin,()cos()sin)xyxyxyxy,,,,11222211 AAAxxAyy()()((,))((,)),,，,，1212 ,,，(cossin,cossin)xxxx,,,,1221 ，,，(cossin,cossin)yyyy,,,,1221 ,，,，，，，(()cos()sin,()cos()sin)xyxyxyxy,,,,11222211 AAA()()(),,,,，,，所以 又因为: AkAkxxAkxkxkxkxkxkx()((,))(,)(cossin,cossin),,,,,,,,,， 12121221 ,,，,kxxxxkA(cossin,cossin)(),,,,,1221 下面我们证明这个旋转变换是一个保持长度的变换。因为: AAxxxxxx()((,))(cossin,cossin),,,,,,,,， 121221 22= (cossin)(cossin)xxxx,,,,,，，1221 第 4 页 共 5 页 22 ,，,,xxxx(,),1212 2所以，欧氏空间R的旋转变换是一个正交变换。 A命题6 欧氏空间V的保持任意两个向量夹角不变的线性变换不一定是一个正交变换。 Ak(),,,前面我们举的例子:A是欧氏空间的一个变换，对于任意的,有，,,V其中。说明了尽管A保持了任意两个向量夹角不变，但并不是一个正交变换。事kR, 实上，这个变换A还是一个线性变换。因为: Akkk()(),,,,,,，,，,，， AlklkllklA()()()()(),,,,,,,,,， lR, 参 考 文 献 [1] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社，1983. 321-328. [2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第二版)[M] . 北京:高等教育出版社，1988. 372-393. 第 5 页 共 5 页